पाठ 10: हीरोन का सूत्र

10. हीरोन का सूत्र

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 10.1

प्रश्न 1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर 'आगे स्कूल है' लिखा है और यह भुजा '$a$' वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप $180\text{ cm}$ है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

हल— यातायात संकेत बोर्ड '$a$' भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। माना कि यह $\triangle PQR$ है। प्रश्नानुसार त्रिभुज $PQR$ की प्रत्येक भुजा $= a$

इस समबाहु त्रिभुज का परिमाप $= a + a + a = 3a$

तथा अर्द्ध-परिमाप $(s) = \frac{3a}{2}$

हीरोन के अनुसार $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल

$= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-a)}$

$= \sqrt{\frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}}$
$= \sqrt{3(\frac{a}{2})^4} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{(\frac{a}{2})^4}$

$= \sqrt{3} \cdot (\frac{a}{2})^2$
$= \sqrt{3} \cdot \frac{a^2}{4}$ उत्तर

प्रश्नानुसार समबाहु त्रिभुज का परिमाप $= 180\text{ सेमी.}$
या $a + a + a = 180\text{ सेमी.}$
या $3a = 180\text{ सेमी.}$
या $a = \frac{180}{3}\text{ सेमी.}$
या $a = 60\text{ सेमी.}$

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{3} \cdot \frac{a^2}{4}$

$= \sqrt{3} \cdot \frac{(60)^2}{4}\text{ सेमी.}^2$
$= \sqrt{3} \cdot \frac{3600}{4}\text{ सेमी.}^2$

$= \sqrt{3} \cdot 900\text{ सेमी.}^2$
$= 900\sqrt{3}\text{ सेमी.}^2$

अतः बोर्ड का क्षेत्रफल $= 900\sqrt{3}\text{ सेमी.}^2$ उत्तर

प्रश्न 2. किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लम्बाइयाँ $122\text{ m}$, $22\text{ m}$ और $120\text{ m}$ हैं (देखिए आकृति)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष $5000$ रू. प्रति $\text{m}^2$ की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए $3$ महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

हल— माना कि फ्लाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ क्रमशः $a, b$ तथा $c$ हैं। प्रश्नानुसार $a = 122\text{ m}$, $b = 22\text{ m}$ तथा $c = 120\text{ m}$

त्रिभुज का परिमाप $= (122 + 22 + 120)\text{ m} = 264\text{ m}$
$\therefore$ अर्द्ध-परिमाप $(s) = \frac{264}{2} = 132\text{ m}$

हीरोन के सूत्र से इस त्रिभुज का क्षेत्रफल

$= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{132(132-122)(132-22)(132-120)}$

$= \sqrt{132 \times 10 \times 110 \times 12}\text{ m}^2$
$= \sqrt{11 \times 12 \times 10 \times 10 \times 11 \times 12}\text{ m}^2$

$= \sqrt{10 \times 10 \times 11 \times 11 \times 12 \times 12}\text{ m}^2$

$= 10 \times 11 \times 12 \text{ m}^2 = 1320 \text{ m}^2$
दीवार पर 1 वर्ष का विज्ञापन किराया

$\therefore$ दीवार पर 1 माह का विज्ञापन किराया

$= ₹ \frac{5,000}{12} /\text{m}^2$
अतः दीवार पर 3 माह का विज्ञापन किराया

$= ₹ \frac{5,000}{12} \times 3 \text{ m}^2$
$= ₹ \frac{5,000}{4} \text{ m}^2$
अर्थात् प्रति वर्ग मीटर विज्ञापन का किराया

$= ₹ \frac{5,000}{4}$
अतः $1320 \text{ m}^2$ का विज्ञापन किराया

$= ₹ \frac{5,000}{4} \times 1320$

अतः कम्पनी द्वारा दिया गया किराया

3. किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पाश्र्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर "पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए" लिखा हुआ है (देखिए आकृति)। यदि इस दीवार की विमाएँ $15 \text{ m}, 11 \text{ m}$ और $6 \text{ m}$ हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल-प्रश्नानुसार रंग से पेंट की हुई त्रिभुजाकार दीवार की तीनों भुजाएँ क्रमशः $15 \text{ m}, 11 \text{ m}$ और $6 \text{ m}$ हैं। अतः इस त्रिभुजाकार दीवार का परिमाप

$= 15 + 11 + 6 = 32 \text{ m}$
त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप $(S) = \frac{32}{2} = 16 \text{ m}$
हीरोन के क्षेत्रफल के सूत्रानुसार

$= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{16(16-15)(16-11)(16-6)}$

$= \sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10} \text{ m}^2$
$= \sqrt{4 \times 4 \times 1 \times 5 \times 5 \times 2} \text{ m}^2$

$= 4 \times 5 \sqrt{2} \text{ m}^2$
$= 20 \sqrt{2} \text{ m}^2$
अतः पेन्ट किये हुये भाग का क्षेत्रफल

$= 20 \sqrt{2} \text{ m}^2$ उत्तर

4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ $18 \text{ cm}$ और $10 \text{ cm}$ हैं तथा उसका परिमाप $42 \text{ cm}$ है।

हल-प्रश्नानुसार त्रिभुज की दो भुजाएँ $= 18 \text{ cm}$ तथा $10 \text{ cm}$ और परिमाप $= 42 \text{ cm}$

माना तीसरी भुजा की लम्बाई $x$ सेमी है।

अर्थात् $18 \text{ cm} + 10 \text{ cm} + x = 42 \text{ cm}$
या $28 \text{ cm} + x = 42 \text{ cm}$
या $x = 42 \text{ cm} - 28 \text{ cm}$
या $x = 14 \text{ cm}$
$\therefore$ इस त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{18+10+14}{2}$

$= \frac{42}{2} = 21 \text{ cm}$
हीरोन के सूत्र से इस त्रिभुज का क्षेत्रफल

$= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{21(21-18)(21-10)(21-14)} \text{ cm}^2$

$= \sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7} \text{ cm}^2$
$= \sqrt{7 \times 3 \times 3 \times 11 \times 7} \text{ cm}^2$

$= \sqrt{3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 11} \text{ cm}^2$
$= 3 \times 7 \sqrt{11} \text{ cm}^2$

$= 21 \sqrt{11} \text{ cm}^2$
अतः $\Delta$ का क्षेत्रफल $= 21 \sqrt{11} \text{ cm}^2$ उत्तर

708

5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात $12 : 17 : 25$ है और उसका परिमाप $540\text{ cm}$ है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल- प्रश्नानुसार त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात $= 12 : 17 : 25$

माना कि अनुपात के आधार पर त्रिभुज की तीनों भुजाएँ क्रमशः $12x, 17x$ तथा $25x$ हैं।
त्रिभुज का परिमाप $= 540\text{ cm}$ (दिया है)
या $12x + 17x + 25x = 540$
या $54x = 540$
या $x = \frac{540}{54} = 10\text{ cm}$
अतः त्रिभुज की भुजाएँ होंगी-
$12x = 12 \times 10 = 120\text{ cm}$
$17x = 17 \times 10 = 170\text{ cm}$
तथा $25x = 25 \times 10 = 250\text{ cm}$
$\therefore$ अर्द्ध-परिमाप $(s) = \frac{120 + 170 + 250}{2}$

$= \frac{540}{2} = 270\text{ cm}$
अब हीरोन के त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र से

$= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{270(270-120)(270-170)(270-250)}\text{ cm}^2$

$= \sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20}\text{ cm}^2$
$= \sqrt{30 \times 3 \times 3 \times 30 \times 5 \times 10 \times 10 \times 2 \times 2 \times 5}\text{ cm}^2$

$= \sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 10 \times 10 \times 30 \times 30}\text{ cm}^2$
$= 2 \times 3 \times 5 \times 10 \times 30\text{ cm}^2$

$= 9000\text{ cm}^2$ उत्तर

6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप $30\text{ cm}$ है और उसकी बराबर भुजाएँ $12\text{ cm}$ लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल- प्रश्नानुसार त्रिभुज का परिमाप $= 30\text{ cm}$

अर्थात् $12\text{ cm} + 12\text{ cm} + x = 30\text{ cm}$
या $24\text{ cm} + x = 30\text{ cm}$
या $x = 30\text{ cm} - 24\text{ cm}$
या $x = 6\text{ cm}$

$\therefore$ त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप $(s)$

$= \frac{12 + 12 + 6}{2}$
$= \frac{30}{2} = 15\text{ cm}$
हीरोन के सूत्रानुसार $\Delta$ का क्षेत्रफल

$= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)}\text{ cm}^2$

$= \sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9}\text{ cm}^2$
$= \sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}\text{ cm}^2$

$= 3 \times 3\sqrt{15}\text{ cm}^2$
$= 9\sqrt{15}\text{ cm}^2$ उत्तर

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

1. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा $6$ सेमी है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) $6\sqrt{3}$ वर्ग सेमी. (B) $9\sqrt{3}$ वर्ग सेमी.
(C) $16\sqrt{3}$ वर्ग सेमी. (D) $3\sqrt{3}$ वर्ग सेमी.

2. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः $50\text{ cm}, 78\text{ cm}$ तथा $112\text{ cm}$ हों, न्यूनतम लम्ब की लम्बाई होगी-
(A) $40\text{ cm}$ (B) $50\text{ cm}$
(C) $20\text{ cm}$ (D) $30\text{ cm}$

3. एक त्रिभुज की भुजाएँ $40\text{ cm}, 70\text{ cm}$ तथा $90\text{ cm}$ हैं, त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) $600\sqrt{5}\text{ cm}^2$ (B) $500\sqrt{6}\text{ cm}^2$
(C) $482\sqrt{5}\text{ cm}^2$ (D) $60\sqrt{5}\text{ cm}^2$

4. हीरोन का सूत्र है-
(A) $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}$
(B) $\sqrt{(s-a) \div (s-b) \times (s-c)}$
(C) $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
(D) $\frac{s}{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}$

5. समबाहु त्रिभुज की एक भुजा $a$ है तो इसका परिमाप है-

(A) $3a$ (B) $2a$
(C) $4a$ (D) $5a$

6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा, यदि इसकी समान भुजा $6\text{ cm}$ एवं अन्य भुजा $8\text{ cm}$ हो -
   (A) $8\sqrt{5}\text{ cm}^2$ (B) $5\sqrt{8}\text{ cm}^2$
   (C) $3\sqrt{55}\text{ cm}^2$ (D) $3\sqrt{8}\text{ cm}^2$

उत्तर-तालिका

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो -

1. किसी त्रिभुज की भुजाएँ $a, b$ व $c$ हैं, तब उसका अर्द्धपरिमाप $s = \frac{a+b+c}{2}$ एवं क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
2. समबाहु त्रिभुज जिसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई $a$ है, तब क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
3. यदि किसी त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई को दोगुना कर दिया जाये, तब उसका क्षेत्रफल $4$ गुना हो जाता है।
4. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल तथा उस त्रिभुज की सभी भुजाओं को दुगुना कर देने पर प्राप्त होने वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात $1 : 4$ है।
5. यदि किसी त्रिभुज की तीन भुजाओं की लम्बाई क्रमशः $50$ सेमी, $78$ सेमी तथा $112$ सेमी है तब सबसे छोटे लम्ब की लम्बाई $30$ सेमी है।

उत्तर - 1. $\frac{a+b+c}{2}, \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 2. $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ 3. $4$ 4. $1 : 4$ 5. $30$ सेमी

सत्य/असत्य - निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए -

1. किसी समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं, जो समकोण बनाती हैं, के गुणनफल के बराबर होता है।
2. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात $12 : 17 : 25$

है और उसका परिमाप $540$ सेमी. है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल $900$ सेमी.$^2$ है।

3. यदि किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को दोगुना कर दिया जाए, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $400$ प्रतिशत बढ़ जायेगा।

4. यदि किसी समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को तीन गुना कर दिया जाये तब त्रिभुज के क्षेत्रफल में $800$ की वृद्धि होगी।

5. किसी त्रिभुज के परिमाप की लम्बाई $144$ मीटर है और उसकी भुजाओं का अनुपात $3 : 4 : 5$ है तब त्रिभुज का क्षेत्रफल $646$ मीटर$^2$ होगा।

उत्तर-1. असत्य 2. असत्य 3. असत्य 4. सत्य 5. असत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. यदि $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं तो त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप लिखिए।

हल- अर्द्ध-परिमाप $= \frac{a+b+c}{2}$

2. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः $3\text{ m}, 4\text{ m}$ तथा $5\text{ m}$ हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल- $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+4+5}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}$

$\therefore \Delta$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$= \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}$
$= \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}$

$= \sqrt{36} = 6\text{ m}^2$ उत्तर

3. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिये, जिसका क्षेत्रफल $16\sqrt{3}\text{ cm}^2$ है।

हल- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$\Rightarrow 16\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$
$16 \times 4 = (\text{भुजा})^2$
$\therefore \text{भुजा} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$
अतः समबाहु $\Delta$ की भुजा की लम्बाई $= 8\text{ cm}$

4. उस समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार $8$ सेमी तथा प्रत्येक समान भुजा $6$ सेमी हो।

हल- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसका आधार $a$ तथा प्रत्येक समान भुजा $b$ लम्बाई की हो तो

$A = \frac{a}{4}\sqrt{4b^2 - a^2}$
यहाँ $a = 8$ सेमी तथा $b = 6$ सेमी
$\therefore A = \frac{8}{4}\sqrt{4 \times 6^2 - 8^2}$

$= 2\sqrt{144 - 64}$
$= 2\sqrt{80} = 8\sqrt{5}\text{ सेमी}^2$

5. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $240$ सेमी$^2$ है और कर्ण के अतिरिक्त अन्य एक भुजा की लम्बाई $30$ सेमी है तब त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करो।

हल- यदि किसी समकोण त्रिभुज के कर्ण के अतिरिक्त दो भुजाएँ $a$ व $b$ लम्बाई की हो तो, त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}ab$

यहाँ $a = 30$ सेमी, तब क्षेत्रफल $= 240$ सेमी$^2$
$\Rightarrow \frac{1}{2}ab = 240$
$\Rightarrow 30b = 480 \Rightarrow b = 16$ सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से,
कर्ण $= \sqrt{30^2 + 16^2}$

$= \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34$ सेमी
$\therefore \text{परिमाप} = 30 + 16 + 34 = 80$ सेमी

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी दो भुजायें $8\text{ cm}$ और $11\text{ cm}$ हैं और जिसका परिमाप $32\text{ cm}$ ( देखिये आकृति ) है।

हल- दिया गया है-

त्रिभुज का परिमाप $= 32\text{ cm}$
$a = 8\text{ cm}, b = 11\text{ cm}$ है।
$\therefore$ तीसरी भुजा $C = 32 - (8 + 11) = 32 - 19 = 13\text{ cm}$
अब $2s = 32$ है $\therefore s = 16\text{ cm}$

$s - a = (16 - 8)\text{ cm} = 8\text{ cm}$
$s - b = (16 - 11)\text{ cm} = 5\text{ cm}$
$s - c = (16 - 13)\text{ cm} = 3\text{ cm}$
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल

$= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3}$

$= 8\sqrt{30}\text{ cm}^2$ उत्तर

प्रश्न 2. एक त्रिभुजाकार पार्क $ABC$ की भुजायें $120\text{ m}$, $80\text{ m}$ और $50\text{ m}$ हैं (देखिये आकृति)। एक मालिन धनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अन्दर घास उगानी है। उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है? एक ओर $3\text{ m}$ चौड़े एक फाटक के लिये स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर $20$ रु. प्रति मीटर की दर से काँटेदार बाड़ लगाने का व्यय भी ज्ञात कीजिये।

हल -

$2s = 50\text{ m} + 80\text{ m} + 120\text{ m}$

$= 250\text{ m}$
अर्थात् $s = 125\text{ m}$
$\therefore s - a = 125 - 120 = 5\text{ m}$
$s - b = 125 - 80 = 45\text{ m}$
$s - c = 125 - 50 = 75\text{ m}$
अतः घास उगाने के लिए क्षेत्रफल

$= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75}$

$= 375\sqrt{15}\text{ m}^2$
पार्क का परिमाप $= AB + BC + CA = 250\text{ m}$
अतः बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लम्बाई

$= 250\text{ m} - 3\text{ m}$ (फाटक के लिये)
$= 247\text{ m}$
$\therefore$ बाड़ लगाने का व्यय $= 20 \times 247$

प्रश्न 3. निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) समबाहु त्रिभुज जिसका परिमाप $60\text{ सेमी.}$ है।
(ii) समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी समान भुजा $8\text{ सेमी.}$ तथा तीसरी भुजा $4\text{ सेमी.}$ हो।
(iii) समकोण त्रिभुज जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाओं की माप क्रमशः $20\text{ सेमी.}$ एवं $15\text{ सेमी.}$ है।

हल -

(i) यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ हो तो
परिमाप $= 3a$
$3a = 60$
$a = \frac{60}{3} = 20\text{ सेमी.}$
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ वर्ग सेमी.

$= \frac{(20)^2\sqrt{3}}{4}$
$= \frac{20 \times 20\sqrt{3}}{4}$

$= 5 \times 20 \times \sqrt{3}$
$= 100\sqrt{3}$ वर्ग सेमी. उत्तर

(ii) माना कि $a = 8\text{ सेमी.}$, $b = 4\text{ सेमी.}$
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

$= \frac{b}{4} \times \sqrt{4a^2 - b^2}$
$= \frac{4}{4} \times \sqrt{4(8)^2 - (4)^2}$

$= \sqrt{(4 \times 64) - 16}$
$= \sqrt{256 - 16}$

$= \sqrt{240}$
$= \sqrt{4 \times 4 \times 15}$

$= 4\sqrt{15}$ वर्ग सेमी. उत्तर

(iii) माना $a = 20\text{ सेमी.}$ व $b = 15\text{ सेमी.}$
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times b$

$= \frac{1}{2} \times 20 \times 15$
$= 10 \times 15$

$= 150$ वर्ग सेमी. उत्तर

प्रश्न 4. किसी त्रिभुज का परिमाप $40\text{ सेमी.}$ है। यदि इसकी दो भुजाएँ क्रमशः $8\text{ सेमी.}$ एवं $15\text{ सेमी.}$ हों, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एवं सबसे लम्बी भुजा पर शीर्ष से डाले गए लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

712

हल-त्रिभुज का परिमाप $= a + b + c = 40$ सेमी.

माना $a = 8$ सेमी., $b = 15$ सेमी.
$8 + 15 + c = 40$
$c = 40 - 23$
$c = 17$
त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप $(s)$

$= \frac{a + b + c}{2} = \frac{40}{2} = 20$ सेमी.
त्रिभुज का क्षेत्रफल

$= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{20(20 - 8)(20 - 15)(20 - 17)}$

$= \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3}$
$= \sqrt{3600}$

$= \sqrt{60 \times 60}$
$= 60$ वर्ग सेमी. उत्तर

सबसे लम्बी भुजा $\text{BC} = a = 17$ सेमी. है।
शीर्ष से डाले लम्ब $\text{AD}$ की लम्बाई

$= \frac{2 \times \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}}{\text{आधार}}$
$= \frac{2 \times 60}{17} = \frac{120}{17}$

$= 7 \frac{1}{17}$ सेमी. उत्तर

प्रश्न 5. समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी एक भुजा $2a$ है।

हल-समबाहु त्रिभुज की एक भुजा $= 2a$

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4}(2a)^2$

$= \sqrt{3} a^2$ वर्ग सेमी.
त्रिभुज की ऊँचाई $= \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}}$

$= \frac{2 \times \sqrt{3}a^2}{2a}$
$= \sqrt{3} a$
या त्रिभुज की ऊँचाई $= a\sqrt{3}$ इकाई उत्तर

प्रश्न 6. एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ $20$ मी., $51$ मी. एवं $37$ मी. हैं। $2 \times 3$ वर्ग मीटर माप की कितनी क्यारियाँ इस खेत में बनाई जा सकती हैं?

हल-माना त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ $a = 20$ मी., $b = 51$ मी., $c = 37$ मी. हैं।

खेत का अर्द्ध-परिमाप $(s)$

$= \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 51 + 37}{2}$
$= \frac{108}{2} = 54$ मी.
त्रिभुज का क्षेत्रफल

$= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{54(54 - 20)(54 - 51)(54 - 37)}$

$= \sqrt{54 \times 34 \times 3 \times 17}$
$= \sqrt{1836 \times 51}$

$= \sqrt{93636}$
$= \sqrt{306 \times 306}$

$= 306$ वर्ग मी.
एक क्यारी का क्षेत्रफल $= 2 \times 3 = 6$ वर्ग मीटर
खेत में क्यारियों की संख्या

$= \frac{\text{त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल}}{\text{एक क्यारी का क्षेत्रफल}}$
$= \frac{306}{6}$

$= 51$ क्यारियाँ उत्तर

प्रश्न 7. एक त्रिभुजाकार भूखण्ड (plot) की भुजाओं का अनुपात $3 : 5 : 7$ है और उसका परिमाप $300$ m है। इस भूखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल-मान लीजिए भुजाएँ (मीटरों में) $3x, 5x$ और $7x$ हैं।

तब, हम जानते हैं कि $3x + 5x + 7x = 300$ (त्रिभुज का परिमाप)
इसलिए, $15x = 300$ है, जिससे $x = 20$ प्राप्त होता है।
इसलिए, त्रिभुज की भुजाएँ $3 \times 20$ m, $5 \times 20$ m और $7 \times 20$ m हैं।
अर्थात् ये भुजाएँ $60$ m, $100$ m और $140$ m हैं।
अब, $s = \frac{60 + 100 + 140}{2} = 150$ m
इसलिए, क्षेत्रफल

$= \sqrt{150(150 - 60)(150 - 100)(150 - 140)} \text{ m}^2$
$= \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} \text{ m}^2$

$= 1500\sqrt{3} \text{ m}^2$ उत्तर

प्रश्न 8. यदि किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को दुगुना कर दिया जाए तो इस त्रिभुज के क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

हल—माना कि किसी त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः $a$, $b$ तथा $c$ हैं एवं $s$ इसका अर्द्ध-परिमाप है। अतः:

$s = \frac{a + b + c}{2}$
अब पुनः माना कि नए त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः $2a$, $2b$ तथा $2c$ हैं एवं $s'$ इसका अर्द्ध-परिमाप है। अतः:
$s' = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = a + b + c = 2s$
अब माना कि पुराने एवं नए त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः $\Delta$ तथा $\Delta'$ हैं। तो
$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
तथा $\Delta' = \sqrt{s'(s' - 2a)(s' - 2b)(s' - 2c)}$
$[\because s' = 2s]$ अतः:
$\Delta' = \sqrt{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}$

$= 4 \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= 4 \Delta$
$\therefore$ त्रिभुज में क्षेत्रफल में वृद्धि

$= \Delta' - \Delta = 4\Delta - \Delta = 3\Delta$
$\therefore$ क्षेत्रफल में (प्रतिशत) वृद्धि

$= \left[ \frac{3\Delta}{\Delta} \times 100 \right] = 300$ उत्तर

प्रश्न 9. यदि किसी त्रिभुज में प्रत्येक दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से $6$ सेमी अधिक हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो।

हल—माना त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप $s$ तथा त्रिभुज की भुजाएँ $a$ सेमी, $b$ सेमी तथा $c$ सेमी हैं।

तब $2s = a + b + c$
दिया है $a + b = c + 6$, $b + c = a + 6$ और $c + a = b + 6$
$\Rightarrow a + b - c = 6$,
$b + c - a = 6$, और
$c + a - b = 6$
$\Rightarrow (a + b + c) - 2c = 6$,
$\Rightarrow (b + c + a) - 2a = 6$ और
$\Rightarrow (c + a + b) - 2b = 6$
$\Rightarrow 2s - 2c = 6$, $2s - 2a = 6$, और $2s - 2b = 6$
$\Rightarrow s - a = 3$, $s - b = 3$ और $s - c = 3$
तीनों को जोड़ने पर,
$3s - (a + b + c) = 9$
$\Rightarrow 3s - 2s = 9$
$\Rightarrow s = 9$
अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल
$A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

$= \sqrt{9 \times 3 \times 3 \times 3} = 9\sqrt{3}$ सेमी$^2$ उत्तर

10. एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाओं की लम्बाई $41$ मीटर, $40$ मीटर तथा $9$ मीटर है। यदि गुलाब की क्यारी $900$ सेमी$^2$ क्षेत्र घेरती है तब खेत में कितनी गुलाब की क्यारियाँ लगाई जा सकती हैं?

हल—यदि $a$, $b$ तथा $c$ एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं तथा $s$ अर्द्धपरिमाप है तब इसका क्षेत्रफल $\Delta$ निम्न होगा-

$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
यहाँ $a = 41, b = 40$ और $c = 9$
$\Rightarrow s = \frac{1}{2}(a + b + c)$

$= \frac{1}{2}(41 + 40 + 9) = 45$
$\therefore \Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

$= \sqrt{45(45 - 41)(45 - 40)(45 - 9)}$
$= \sqrt{45 \times 4 \times 5 \times 36}$

$= \sqrt{3^2 \times 5 \times 2^2 \times 5 \times 2^2 \times 3^2}$
$= 3^2 \times 2^2 \times 5 = 180$ मी$^2$
गुलाब की एक क्यारी का क्षेत्रफल $= 900$ सेमी$^2$

$= \frac{900}{10000}$ मीटर$^2 = 0.09$ मीटर$^2$
$\therefore$ क्यारियों की कुल संख्या

$= \frac{180}{0.09} = 2000$ उत्तर

निबन्धात्मक प्रश्न—

प्रश्न 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $12$ वर्ग सेमी. है। इसका आधार ज्ञात कीजिए यदि इसकी समान भुजाओं की लम्बाई $5$ सेमी. हो।

हल—समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= 12$ वर्ग सेमी.

माना समान भुजा $a$ है व तीसरी भुजा $b$ है।
$a = 5$ सेमी. (दिया गया है)
$\therefore$ समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

$= \frac{b}{4} \times \sqrt{4a^2 - b^2}$

प्रश्नानुसार-
$\frac{b}{4} \times \sqrt{4a^2 - b^2} = 12$
या $\frac{b}{4} \times \sqrt{4(5)^2 - (b)^2} = 12$
या $b \times \sqrt{100 - b^2} = 12 \times 4 = 48$
दोनों तरफ वर्ग करने पर-
$b^2(100 - b^2) = 48 \times 48$
या $100b^2 - b^4 = 2304$
या $b^4 - 100b^2 + 2304 = 0$
या $(b^2)^2 - 100b^2 + 2304 = 0$
या $(b^2)^2 - 64b^2 - 36b^2 + 2304 = 0$
या $b^2(b^2 - 64) - 36(b^2 - 64) = 0$
या $b^2 - 36 = 0$
तथा $b^2 - 64 = 0$
या $b^2 = 36$
या $b^2 = 64$
या $b = \pm 6$
या $b = \pm 8$
अतः आधार $(b)$ का मान $8$ सेमी. या $6$ सेमी. होगा। उत्तर

प्रश्न 2. कमला के पास $240\text{ m}$, $200\text{ m}$ और $360\text{ m}$ भुजाओं वाला एक त्रिभुजाकार खेत है, जहाँ वह गेहूँ उगाना चाहती है। इसी खेत से संलग्न $240\text{ m}$, $320\text{ m}$ और $400\text{ m}$ भुजाओं वाला एक अन्य खेत है, जहाँ वह आलू और प्याज उगाना चाहती है (देखिए आकृति)। उसने इस खेत की सबसे लम्बी भुजा के मध्य-बिन्दु को सम्मुख शीर्ष से जोड़कर उसे दो भागों में विभाजित कर दिया। इनमें से एक भाग में उसने आलू उगाए और दूसरे भाग में प्याज उगाई। गेहूँ, आलू और प्याज के लिए कितने-कितने क्षेत्रफलों (हेक्टेयर में) का प्रयोग किया गया है? ($1$ हेक्टेयर = $10000\text{ m}^2$ है)

हल-मान लीजिए ABC वह खेत है, जहाँ गेहूँ उगाया गया है। साथ ही, ACD वह खेत है जिसकी भुजा AD के मध्य-बिन्दु E को C से जोड़कर इस खेत को दो भागों में विभाजित किया गया है।

$a = 200\text{ m}, b = 240\text{ m}, c = 360\text{ m}$
अतः $s = \frac{200 + 240 + 360}{2}\text{ m} = 400\text{ m}$
इसलिए, गेहूँ उगाने के लिए क्षेत्रफल

$= \sqrt{400(400 - 200)(400 - 240)(400 - 360)}\text{ m}^2$
$= \sqrt{400 \times 200 \times 160 \times 40}\text{ m}^2$

$= 16000\sqrt{2}\text{ m}^2 = 1.6 \times \sqrt{2}$ हेक्टेयर
$= 2.26$ हेक्टेयर (लगभग)
आइए अब $\triangle\text{ACD}$ का क्षेत्रफल परिकलित करें।
यहाँ, $s = \frac{240 + 320 + 400}{2}\text{ m} = 480\text{ m}$
अतः $\triangle\text{ACD}$ का क्षेत्रफल

$= \sqrt{480(480 - 240)(480 - 320)(480 - 400)}\text{ m}^2$
$= \sqrt{480 \times 240 \times 160 \times 80}\text{ m}^2$

$= 38400\text{ m}^2$
$= 3.84$ हेक्टेयर
हम जानते हैं कि AD के मध्य-बिन्दु E को सम्मुख शीर्ष C से जोड़ने वाला रेखाखण्ड त्रिभुज ACD को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो भागों में विभाजित करता है। क्योंकि वास्तव में, इन दोनों भागों के बराबर आधार AE और ED हैं तथा निःसन्देह इनकी संगत ऊँचाईयाँ भी बराबर हैं।
अतः आलू उगाने के लिए क्षेत्रफल

= प्याज उगाने के लिए क्षेत्रफल
$= (3.84 \div 2)$ हेक्टेयर $= 1.92$ हेक्टेयर

प्रश्न 3. दिए गए चित्र में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल-माना त्रिभुज ABC तथा DBC के अर्द्ध-परिमाप क्रमशः $s$ तथा $s'$ है। तब

$s = \frac{120 + 122 + 22}{2} = 132$
$s' = \frac{24 + 26 + 22}{2} = 36$