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📚 कक्षा 9 गणित (Mathematics)हिंदी माध्यमसत्र 2026-27 सम्पूर्ण हल

पाठ 2: बहुपद

Polynomials

📅 शैक्षणिक सत्र: 2026-27•📖 RBSE/NCERT डिजिटल पासबुक•🎯 संपूर्ण प्रश्नोत्तर
📚 कक्षा 9 गणित (RBSE) 📘 गणित सत्र 2026-27 सम्पूर्ण हल

Polynomials

बहुपद

त्वरित नेविगेशन: 📚 पाठ्यपुस्तक प्रश्न

620

=[(2838)3]18= \left[ \left( \frac{2^8}{3^8} \right)^3 \right]^{\frac{1}{8}}
[क्योंकि 256=28256 = 2^8 तथा 6561=386561 = 3^8]

=[(2838)]38= \left[ \left( \frac{2^8}{3^8} \right) \right]^{\frac{3}{8}} [सूत्र (ab)m=ambm\left( \frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m} के अनुसार]
=[224324]18= \left[ \frac{2^{24}}{3^{24}} \right]^{\frac{1}{8}} [सूत्र (xm)n=xm×n(x^m)^n = x^{m \times n} के अनुसार]

=[(23)24]18= \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{24} \right]^{\frac{1}{8}} [सूत्र xmym=(xy)m\frac{x^m}{y^m} = \left( \frac{x}{y} \right)^m के अनुसार]
=(23)24×18= \left( \frac{2}{3} \right)^{24 \times \frac{1}{8}} [[(ab)m]n=(ab)mn\left[ \left( \frac{a}{b} \right)^m \right]^n = \left( \frac{a}{b} \right)^{mn} के अनुसार]

=(23)3=2333= \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} [सूत्र (ab)m=ambm\left( \frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m} के अनुसार]
=827= \frac{8}{27} उत्तर

3. सरल कीजिए-
72572+3288−2648\frac{\sqrt{72}}{5\sqrt{72} + 3\sqrt{288} - 2\sqrt{648}}

हल- दिया है- 72572+3288−2648\frac{\sqrt{72}}{5\sqrt{72} + 3\sqrt{288} - 2\sqrt{648}}

=72572+34×72−29×72= \frac{\sqrt{72}}{5\sqrt{72} + 3\sqrt{4 \times 72} - 2\sqrt{9 \times 72}}
=72572+3⋅4⋅72−2⋅9⋅72= \frac{\sqrt{72}}{5\sqrt{72} + 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{72} - 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{72}}

=72572+3×2×72−2×3×72= \frac{\sqrt{72}}{5\sqrt{72} + 3 \times 2 \times \sqrt{72} - 2 \times 3 \times \sqrt{72}}
=72572+672−672= \frac{\sqrt{72}}{5\sqrt{72} + 6\sqrt{72} - 6\sqrt{72}}

=72(5+6−6)72=15= \frac{\sqrt{72}}{(5 + 6 - 6)\sqrt{72}} = \frac{1}{5}

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 2.1

1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए-

(i) 4x2−3x+74x^2 - 3x + 7
(ii) y2+2y^2 + \sqrt{2}
(iii) 3t+t23\sqrt{t} + t\sqrt{2}
(iv) y+2yy + \frac{2}{y}
(v) x10+y3+t50x^{10} + y^3 + t^{50}

उत्तर-

(i) 4x2−3x+74x^2 - 3x + 7
दिया गया व्यंजक xx के पदों में अर्थात् एक चर में बहुपद है। चूँकि व्यंजक में xx की सभी घातें पूर्ण संख्या हैं।
(ii) y2+2y^2 + \sqrt{2}
दिया गया व्यंजक yy के पदों में अर्थात् एक चर में बहुपद है। चूँकि व्यंजक में yy की सभी घातें पूर्ण संख्या हैं।
(iii) 3t+t23\sqrt{t} + t\sqrt{2}
दिया गया व्यंजक tt के पदों में एक बहुपद नहीं है क्योंकि चर tt का प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या नहीं है।
(iv) y+2y=y+2y−1y + \frac{2}{y} = y + 2y^{-1}
दिया गया व्यंजक yy के पदों में एक बहुपद नहीं है क्योंकि चर yy का प्रत्येक घातांक पूर्ण संख्या नहीं है।
(v) x10+y3+t50x^{10} + y^3 + t^{50}
दिया गया व्यंजक एक चर में बहुपदीय नहीं है क्योंकि इस व्यंजक में तीन चर दिये गये हैं।

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x2x^2 का गुणांक लिखिए-
(i) 2+x2+x2 + x^2 + x
(ii) 2−x2+x32 - x^2 + x^3
(iii) π2x2+x\frac{\pi}{2}x^2 + x
(iv) 2x−1\sqrt{2}x - 1

उत्तर-

(i) 2+x2+x2 + x^2 + x
इस दिए गए बहुपदीय व्यंजक में x2x^2 का गुणांक 11 है।
(ii) 2−x2+x32 - x^2 + x^3
इस दिए गए बहुपदीय व्यंजक में x2x^2 का गुणांक −1-1 है।

(iii) π2x2+x\frac{\pi}{2} x^2 + x
इस दिए गए बहुपदीय व्यंजक में x2x^2 का गुणांक π2\frac{\pi}{2} है।

(iv) 2x−1=0.x2+2x−1\sqrt{2} x - 1 = 0.x^2 + \sqrt{2} x - 1
इस दिए गए व्यंजक में x2x^2 का पद है ही नहीं, यदि प्रदर्शित भी करें तो x2x^2 का गुणांक शून्य होगा।

3. 3535 घात के द्विपद का और 100100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।

हल- 3535 घात का द्विपद =3x35−4= 3x^{35} - 4

100100 घात का एकपदी =2y100= \sqrt{2} y^{100}
विद्यार्थी इन दोनों उदाहरणों के अतिरिक्त भी अलग-अलग गुणांकों वाले कुछ और पद स्वयं भी लिख सकते हैं।

4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए-
(i) 5x3+4x2+7x5x^3 + 4x^2 + 7x
(ii) 4−y24 - y^2
(iii) 5t−75t - \sqrt{7}
(iv) 33

उत्तर-

(i) 5x3+4x2+7x5x^3 + 4x^2 + 7x
दिए गए बहुपदीय व्यंजक में बहुपद की अधिकतम घात 33 है। अतः बहुपद की घात 33 है।
(ii) 4−y24 - y^2
दिए गए बहुपदी व्यंजक में बहुपद की अधिकतम घातांक 22 है। अतः बहुपद की घात 22 है।
(iii) 5t−75t - \sqrt{7}
दिए गए बहुपदी व्यंजक में बहुपद की अधिकतम घातांक 11 है। अतः बहुपद की घात 11 है।
(iv) 33
दिए गए व्यंजक में एक ही पद है जो xx से रहित है। अतः यहाँ इस पद की घात 00 है।

5. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं-
(i) x2+xx^2 + x
(ii) x−x3x - x^3
(iii) y+y2+4y + y^2 + 4
(iv) 1+x1 + x
(v) 3t3t
(vi) r2r^2
(vii) 7x37x^3

उत्तर-

(i) x2+xx^2 + x
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 22 है। अतः दिया गया व्यंजक द्विघाती बहुपद है।
(ii) x−x3x - x^3
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 33 है। अतः दिया गया व्यंजक त्रिघाती बहुपद है।
(iii) y+y2+4y + y^2 + 4
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 22 है। अतः दिया गया व्यंजक द्विघाती बहुपद है।
(iv) 1+x1 + x
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 11 है। अतः दिया गया व्यंजक एक रैखिक बहुपद है।
(v) 3t3t
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 11 है। अतः दिया गया व्यंजक एक रैखिक बहुपद है।
(vi) r2r^2
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 22 है। अतः दिया गया व्यंजक एक द्विघाती बहुपद है।
(vii) 7x37x^3
दिए गए व्यंजक का अधिकतम घातांक 33 है। अतः दिया गया व्यंजक एक त्रिघाती बहुपद है।

प्रश्नावली 2.2

1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x−4x2+35x - 4x^2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए-
(i) x=0x = 0
(ii) x=−1x = -1
(iii) x=2x = 2

हल- प्रश्नानुसार 5x−4x2+3=p(x)5x - 4x^2 + 3 = p(x)

(i) x=0x = 0
∴p(0)=5.0−4.(0)2+3\therefore p(0) = 5.0 - 4.(0)^2 + 3

=0−0+3= 0 - 0 + 3
=3= 3 उत्तर

(ii) x=−1x = -1
p(−1)=5(−1)−4(−1)2+3p(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3

=−5−4+3= -5 - 4 + 3
=−6= -6 उत्तर

(iii) x=2x = 2
p(2)=5(2)−4(2)2+3p(2) = 5(2) - 4(2)^2 + 3

=10−16+3= 10 - 16 + 3
=−3= -3 उत्तर

2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0)p(0), p(1)p(1) और p(2)p(2) ज्ञात कीजिए-
(i) p(y)=y2−y+1p(y) = y^2 - y + 1
(ii) p(t)=2+t+2t2−t3p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3
(iii) p(x)=x3p(x) = x^3
(iv) p(x)=(x−1)(x+1)p(x) = (x - 1)(x + 1)

हल-

(i) p(y)=y2−y+1p(y) = y^2 - y + 1

p(0)⇒p(0)=(0)2−(0)+1=1p(0) \Rightarrow p(0) = (0)^2 - (0) + 1 = 1
p(1)⇒p(1)=(1)2−(1)+1=1−1+1=1p(1) \Rightarrow p(1) = (1)^2 - (1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
p(2)⇒p(2)=(2)2−(2)+1=4−2+1=3p(2) \Rightarrow p(2) = (2)^2 - (2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3
(ii) p(t)=2+t+2t2−t3p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3
p(0)⇒p(0)=2+0+2(0)2−(0)3=2+0+0−0=2p(0) \Rightarrow p(0) = 2 + 0 + 2(0)^2 - (0)^3 = 2 + 0 + 0 - 0 = 2
p(1)⇒p(1)=2+1+2(1)2−(1)3=2+1+2−1=4p(1) \Rightarrow p(1) = 2 + 1 + 2(1)^2 - (1)^3 = 2 + 1 + 2 - 1 = 4
p(2)⇒p(2)=2+2+2(2)2−(2)3=2+2+8−8=4p(2) \Rightarrow p(2) = 2 + 2 + 2(2)^2 - (2)^3 = 2 + 2 + 8 - 8 = 4
(iii) p(x)=x3p(x) = x^3
p(0)⇒p(0)=(0)3=0p(0) \Rightarrow p(0) = (0)^3 = 0
p(1)⇒p(1)=(1)3=1p(1) \Rightarrow p(1) = (1)^3 = 1
p(2)⇒p(2)=(2)3=8p(2) \Rightarrow p(2) = (2)^3 = 8
(iv) p(x)=(x−1)(x+1)=x2−1p(x) = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1
p(0)⇒p(0)=(0)2−1=−1p(0) \Rightarrow p(0) = (0)^2 - 1 = -1
p(1)⇒p(1)=(1)2−1=0p(1) \Rightarrow p(1) = (1)^2 - 1 = 0
p(2)⇒p(2)=(2)2−1=4−1=3p(2) \Rightarrow p(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3

3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं-

(i) p(x)=3x+1;x=−13p(x) = 3x + 1; x = -\frac{1}{3}
(ii) p(x)=5x−π;x=45p(x) = 5x - \pi; x = \frac{4}{5}
(iii) p(x)=x2−1;x=1,−1p(x) = x^2 - 1; x = 1, -1
(iv) p(x)=(x+1)(x−2);x=−1,2p(x) = (x + 1)(x - 2); x = -1, 2
(v) p(x)=x2;x=0p(x) = x^2; x = 0
(vi) p(x)=lx+m;x=−mlp(x) = lx + m; x = -\frac{m}{l}
(vii) p(x)=3x2−1;x=−13,23p(x) = 3x^2 - 1; x = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}
(viii) p(x)=2x+1;x=12p(x) = 2x + 1; x = \frac{1}{2}

हल-(i) प्रश्नानुसार p(x)=3x+1;x=−13p(x) = 3x + 1; x = -\frac{1}{3}

इस बहुपद में x=−13x = -\frac{1}{3} प्रतिस्थापित करने पर
p(−13)=3⋅(−13)+1=−1+1=0p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x=−13x = -\frac{1}{3} बहुपद 3x+13x + 1 का शून्यक है।

(ii) प्रश्नानुसार p(x)=5x−π;x=45p(x) = 5x - \pi; x = \frac{4}{5}
इस बहुपद में x=45x = \frac{4}{5} प्रतिस्थापित करने पर
p(45)=5⋅45−π=4−π≠0p\left(\frac{4}{5}\right) = 5 \cdot \frac{4}{5} - \pi = 4 - \pi \neq 0
⇒p(45)≠0\Rightarrow p\left(\frac{4}{5}\right) \neq 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x=45x = \frac{4}{5} बहुपद 5x−π5x - \pi का शून्यक नहीं है।

(iii) p(x)=x2−1;x=1,−1p(x) = x^2 - 1; x = 1, -1
सर्वप्रथम इस बहुपद में x=1x = 1 रखने पर
p(1)=(1)2−1=1−1=0p(1) = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0
पुनः इस बहुपद में x=−1x = -1 रखने पर
p(−1)=(−1)2−1=1−1=0p(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x=1x = 1 तथा x=−1x = -1 बहुपद x2−1x^2 - 1 के शून्यक हैं।

(iv) p(x)=(x+1)(x−2);x=−1,2p(x) = (x + 1)(x - 2); x = -1, 2
सर्वप्रथम इस बहुपद में x=−1x = -1 रखने पर
p(−1)=(−1+1)(−1−2)=0⋅(−3)=0p(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2) = 0 \cdot (-3) = 0
पुनः इस बहुपद में x=2x = 2 रखने पर
p(2)=(2+1)(2−2)=3⋅0=0p(2) = (2 + 1)(2 - 2) = 3 \cdot 0 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x=−1x = -1 व 22 बहुपद (x+1)(x−2)(x + 1)(x - 2) के शून्यक हैं।

(v) p(x)=x2;x=0p(x) = x^2; x = 0
इस बहुपद में x=0x = 0 मान प्रतिस्थापित करने पर
p(0)=(0)2=0p(0) = (0)^2 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x=0x = 0 बहुपद p(x)=x2p(x) = x^2 का शून्यक है।

(vi) p(x)=lx+m;x=−mlp(x) = lx + m; x = -\frac{m}{l}
इस बहुपद में x=−mlx = -\frac{m}{l} प्रतिस्थापित करने पर
p(x)=l⋅(−ml)+m=−m+m=0p(x) = l \cdot \left(-\frac{m}{l}\right) + m = -m + m = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x=−mlx = -\frac{m}{l} बहुपद p(x)=lx+mp(x) = lx + m का एक शून्यक है।

(vii) p(x)=3x2−1p(x) = 3x^2 - 1; x=−13,23x = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}

इस बहुपद में सर्वप्रथम x=−13x = -\frac{1}{\sqrt{3}} प्रतिस्थापित करने पर
p(−13)=3⋅(−13)2−1p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1

=3⋅13−1=1−1=0= 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0

अतः यह सत्यापित होता है कि मान x=−13x = -\frac{1}{\sqrt{3}} इस बहुपद 3x2−13x^2 - 1 का एक शून्यक है।

अब पुनः इस बहुपद में x=23x = \frac{2}{\sqrt{3}} प्रतिस्थापित करने पर
p(23)=3⋅(23)2−1p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 3 \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1

=3⋅43−1=3= 3 \cdot \frac{4}{3} - 1 = 3

अर्थात् p(23)≠0p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \neq 0

अतः यह सत्यापित होता है कि मान x=23x = \frac{2}{\sqrt{3}} इस बहुपद 3x2−13x^2 - 1 का एक शून्यक नहीं है।

(viii) p(x)=2x+1p(x) = 2x + 1; x=12x = \frac{1}{2}

इस बहुपद में x=12x = \frac{1}{2} प्रतिस्थापित करने पर
p(12)=2⋅(12)+1=1+1=2p\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2

अर्थात् p(12)≠0p\left(\frac{1}{2}\right) \neq 0

अतः यह सत्यापित होता है कि x=12x = \frac{1}{2} इस बहुपद 2x+12x + 1 का एक शून्यक नहीं है।

4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए-
(i) p(x)=x+5p(x) = x + 5
(ii) p(x)=x−5p(x) = x - 5
(iii) p(x)=2x+5p(x) = 2x + 5
(iv) p(x)=3x−2p(x) = 3x - 2
(v) p(x)=3xp(x) = 3x
(vi) p(x)=ax;a≠0p(x) = ax; a \neq 0
(vii) p(x)=cx+d;c≠0,c,dp(x) = cx + d; c \neq 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

हल-

(i) p(x)=x+5p(x) = x + 5
इस पद में p(x)p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0p(x) = 0 को हल करना।

अर्थात् x+5=0x + 5 = 0
या x=−5x = -5
अतः −5-5 बहुपद x+5x + 5 का एक शून्यक है।

(ii) p(x)=x−5p(x) = x - 5
इस पद में p(x)p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0p(x) = 0 को हल करना।

अर्थात् x−5=0x - 5 = 0
या x=5x = 5
अतः 55 बहुपद x−5x - 5 का एक शून्यक है।

(iii) p(x)=2x+5p(x) = 2x + 5
इस पद में p(x)p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0p(x) = 0 को हल करना।

अर्थात् 2x+5=02x + 5 = 0
या 2x=−5⇒x=−522x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}
अतः −52-\frac{5}{2} इस बहुपद का एक शून्यक है।

(iv) p(x)=3x−2p(x) = 3x - 2
इस पद में p(x)p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0p(x) = 0 को हल करना।

अर्थात् 3x−2=03x - 2 = 0
या 3x=2⇒x=233x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}
अतः 23\frac{2}{3} इस बहुपद का एक शून्यक है।

(v) p(x)=3xp(x) = 3x
इस पद में p(x)p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0p(x) = 0 को हल करना।

अर्थात् 3x=03x = 0
या x=0x = 0
अतः x=0x = 0 इस बहुपद का एक शून्यक है।

(vi) p(x)=ax;a≠0p(x) = ax; a \neq 0
इस पद में p(x)p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0p(x) = 0 को हल करना।

अर्थात् ax=0ax = 0
या x=0a=0x = \frac{0}{a} = 0

अतः 00 बहुपद axax का शून्यक है।
(vii) p(x)=cx+dp (x) = cx + d; c≠0c \neq 0, c,dc, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
इस पद में p(x)p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0p (x) = 0 को हल करना।

अर्थात् cx+d=0cx + d = 0
या cx=−dcx = - d
या x=−dcx = -\frac{d}{c}
अतः −dc-\frac{d}{c} बहुपद cx+dcx + d का एक शून्यक है।

प्रश्नावली 2.3

1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x+1x + 1 है-
(i) x3+x2+x+1x^3 + x^2 + x + 1
(ii) x4+x3+x2+x+1x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
(iii) x4+3x3+3x2+x+1x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1
(iv) x3−x2−(2+2)x+2x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}

हल-(i) माना कि p(x)=x3+x2+x+1p (x) = x^3 + x^2 + x + 1

(x+1)(x + 1), p(x)p(x) का गुणनखंड होगा यदि p(−1)=0p(-1) = 0
p(−1)=(−1)3+(−1)2+(−1)+1p (- 1) = (- 1)^3 + (- 1)^2 + (- 1) + 1

=−1+1−1+1= - 1 + 1 - 1 + 1
=0= 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x+1x + 1, बहुपद x3+x2+x+1x^3 + x^2 + x + 1 का एक गुणनखंड है।

(ii) माना कि p(x)=x4+x3+x2+x+1p (x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
(x+1)(x + 1), p(x)p(x) का गुणनखंड होगा यदि p(−1)=0p(-1) = 0
p(−1)=(−1)4+(−1)3+(−1)2+(−1)+1p (- 1) = (- 1)^4 + (- 1)^3 + (- 1)^2 + (- 1) + 1

=1−1+1−1+1= 1 - 1 + 1 - 1 + 1
=1≠0= 1 \neq 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x+1x + 1, बहुपद x4+x3+x2+x+1x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है।

(iii) माना कि p(x)=x4+3x3+3x2+x+1p (x) = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1
(x+1)(x + 1), p(x)p(x) का गुणनखंड होगा यदि p(−1)=0p(-1) = 0
p(−1)=(−1)4+3(−1)3+3(−1)2+(−1)+1p (- 1) = (- 1)^4 + 3 (- 1)^3 + 3 (- 1)^2 + (- 1) + 1

=1−3+3−1+1= 1 - 3 + 3 - 1 + 1
=1≠0= 1 \neq 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x+1x + 1, बहुपद x4+3x3+3x2+x+1x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है।

(iv) माना कि
p(x)=x3−x2−(2+2)x+2p (x) = x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}
(x+1)(x + 1), p(x)p(x) का गुणनखंड होगा यदि p(−1)=0p(-1) = 0
p(−1)=(−1)3−(−1)2−(2+2)(−1)+2p (- 1) = (- 1)^3 - (- 1)^2 - (2 + \sqrt{2}) (- 1) + \sqrt{2}

=−1−1+2+2+2= - 1 - 1 + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}
=22≠0= 2\sqrt{2} \neq 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x+1x + 1, बहुपद x3−x2−(2+2)x+2x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} का एक गुणनखंड नहीं है।

2. गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x)g (x), p(x)p (x) का एक गुणनखंड है या नहीं-
(i) p(x)=2x3+x2−2x−1p (x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1, g(x)=x+1g (x) = x + 1
(ii) p(x)=x3+3x2+3x+1p (x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1, g(x)=x+2g (x) = x + 2
(iii) p(x)=x3−4x2+x+6p (x) = x^3 - 4x^2 + x + 6, g(x)=x−3g (x) = x - 3

हल-(i) प्रश्नानुसार

p(x)=2x3+x2−2x−1p (x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1
तथा g(x)=x+1g (x) = x + 1
अब x+1=0x + 1 = 0 या x=−1x = - 1
x=−1x = - 1 का मान p(x)p (x) में प्रतिस्थापित करने पर
p(−1)=2(−1)3+(−1)2−2(−1)−1p (- 1) = 2 (- 1)^3 + (- 1)^2 - 2 (- 1) - 1

=−2+1+2−1= - 2 + 1 + 2 - 1
=0= 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x)=x+1g (x) = x + 1 दिए गए बहुपद p(x)=2x3+x2−2x−1p (x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1 का एक गुणनखंड है।

(ii) प्रश्नानुसार p(x)=x3+3x2+3x+1p (x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
तथा g(x)=x+2g (x) = x + 2
अब x+2=0x + 2 = 0 या x=−2x = - 2
x=−2x = - 2 मान दिए गए p(x)p (x) में प्रतिस्थापित करने पर
p(−2)=(−2)3+3(−2)2+3(−2)+1p (- 2) = (- 2)^3 + 3 (- 2)^2 + 3 (- 2) + 1

=−8+12−6+1= - 8 + 12 - 6 + 1
=−14+13= - 14 + 13

=−1≠0= - 1 \neq 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x)=x+2g (x) = x + 2 दिए गए बहुपद p(x)=x3+3x2+3x+1p (x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है।

(iii) प्रश्नानुसार p(x)=x3−4x2+x+6p (x) = x^3 - 4x^2 + x + 6

तथा g(x)=x−3g(x) = x - 3
अब x−3=0x - 3 = 0 या x=3x = 3
x=3x = 3 मान दिए गए p(x)p(x) में प्रतिस्थापित करने पर
p(3)=(3)3−4(3)2+(3)+6p(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + (3) + 6

=27−36+3+6= 27 - 36 + 3 + 6
=36−36= 36 - 36

=0= 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x)=x−3g(x) = x - 3 दिए गए बहुपद p(x)=x3−4x2+x+6p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6 का एक गुणनखंड है।

3. kk का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x−1)(x - 1), p(x)p(x) का एक गुणनखंड हो-
(i) p(x)=x2+x+kp(x) = x^2 + x + k
(ii) p(x)=2x2+kx+2p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}
(iii) p(x)=kx2−2x+1p(x) = kx^2 - \sqrt{2}x + 1
(iv) p(x)=kx2−3x+kp(x) = kx^2 - 3x + k

हल-(i) प्रश्नानुसार (x−1)(x - 1) बहुपद p(x)=x2+x+kp(x) = x^2 + x + k का एक गुणनखंड है अतः बहुपद में x=1x = 1 रखने पर

p(1)=0p(1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् (1)2+1+k=0(1)^2 + 1 + k = 0
या 1+1+k=01 + 1 + k = 0
या 2+k=02 + k = 0
या k=−2k = -2 उत्तर

(ii) प्रश्नानुसार (x−1)(x - 1) बहुपद p(x)=2x2+kx+2p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2} का एक गुणनखंड है अतः बहुपद में x=1x = 1 रखने पर
p(1)=0p(1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् 2(1)2+k(1)+2=02(1)^2 + k(1) + \sqrt{2} = 0
या 2+k+2=02 + k + \sqrt{2} = 0
या k=−(2+2)k = -(2 + \sqrt{2}) उत्तर

(iii) प्रश्नानुसार (x−1)(x - 1) बहुपद p(x)=kx2−2x+1p(x) = kx^2 - \sqrt{2}x + 1 का एक गुणनखंड है अतः बहुपद में x=1x = 1 रखने पर
p(1)=0p(1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् k(1)2−2(1)+1=0k(1)^2 - \sqrt{2}(1) + 1 = 0
या k−2+1=0k - \sqrt{2} + 1 = 0
या k=2−1k = \sqrt{2} - 1 उत्तर

(iv) प्रश्नानुसार (x−1)(x - 1) बहुपद p(x)=kx2−3x+kp(x) = kx^2 - 3x + k का एक गुणनखंड है अतः बहुपद में x=1x = 1 रखने पर
p(1)=0p(1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् k(1)2−3(1)+k=0k(1)^2 - 3(1) + k = 0
k−3+k=0k - 3 + k = 0
2k−3=02k - 3 = 0
या 2k=32k = 3
या k=32k = \frac{3}{2} उत्तर

4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए-
(i) 12x2−7x+112x^2 - 7x + 1
(ii) 2x2+7x+32x^2 + 7x + 3
(iii) 6x2+5x−66x^2 + 5x - 6
(iv) 3x2−x−43x^2 - x - 4

हल-(i) 12x2−7x+112x^2 - 7x + 1

यहाँ पर xx का गुणांक =−7= -7
∴\therefore दो संख्याओं का योग −4+(−3)-4 + (-3) लेना है।
और x2x^2 का गुणांक ×\times स्थिर पद =12×1=12= 12 \times 1 = 12
∴\therefore दो संख्याओं का गुणा −4×(−3)-4 \times (-3) लेना है।

=12x2−4x−3x+1= 12x^2 - 4x - 3x + 1
=4x(3x−1)−1(3x−1)= 4x(3x - 1) - 1(3x - 1)

=(3x−1)(4x−1)= (3x - 1)(4x - 1) उत्तर

(ii) 2x2+7x+32x^2 + 7x + 3
xx का गुणांक =7=1+6= 7 = 1 + 6
x2x^2 का गुणांक ×\times स्थिर पद =2×3=6= 2 \times 3 = 6
∴\therefore दो संख्याओं का गुणा 6×16 \times 1 लेना है।

=2x2+6x+x+3= 2x^2 + 6x + x + 3
=2x(x+3)+1(x+3)= 2x(x + 3) + 1(x + 3)

=(x+3)(2x+1)= (x + 3)(2x + 1) उत्तर

(iii) 6x2+5x−66x^2 + 5x - 6
यहाँ पर xx का गुणांक =5= 5
x2x^2 का गुणांक ×\times स्थिर पद =6×(−6)=−36= 6 \times (-6) = -36
∴\therefore दो संख्याओं का योग 9+(−4)=59 + (-4) = 5 लेना है।
और दो संख्याओं का गुणनफल 9×(−4)=−369 \times (-4) = -36 लेना है।

=6x2+9x−4x−6= 6x^2 + 9x - 4x - 6
=3x(2x+3)−2(2x+3)= 3x(2x + 3) - 2(2x + 3)

=(2x+3)(3x−2)= (2x + 3)(3x - 2) उत्तर

(iv) 3x2−x−43x^2 - x - 4
यहाँ पर xx का गुणांक =−1= -1

626

x2x^2 का गुणांक ×\times स्थिर पद
3×(−4)=−123 \times (-4) = -12
∴\therefore दो संख्याओं का योग =−4+3=−1= -4 + 3 = -1
और दो संख्याओं का गुणनफल

=−4×3=−12= -4 \times 3 = -12
=∴3x2−4x+3x−4= \therefore 3x^2 - 4x + 3x - 4

=x(3x−4)+1(3x−4)= x(3x - 4) + 1(3x - 4)
=(3x−4)(x+1)= (3x - 4)(x + 1) उत्तर

5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए-
(i) x3−2x2−x+2x^3 - 2x^2 - x + 2
(ii) x3−3x2−9x−5x^3 - 3x^2 - 9x - 5
(iii) x3+13x2+32x+20x^3 + 13x^2 + 32x + 20
(iv) 2y3+y2−2y−12y^3 + y^2 - 2y - 1

हल-(i) माना कि p(x)=x3−2x2−x+2p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2

दिए गए बहुपद के अचर पद 22 के समस्त गुणनखंड क्रमशः ±1\pm 1 तथा ±2\pm 2 हैं। निरीक्षण द्वारा बहुपद में x=−1x = -1 रखने पर
p(−1)=(−1)3−2(−1)2−(−1)+2p(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2

=−1−2+1+2=0= -1 - 2 + 1 + 2 = 0
अर्थात् गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x+1)(x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अब बहुपद p(x)p(x) को x+1x + 1 से भाग देने पर-

Polynomial Division: <span class=(x3−2x2−x+2)÷(x+1)(x^3 - 2x^2 - x + 2) \div (x + 1)" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
Polynomial Division: (x3−2x2−x+2)÷(x+1)(x^3 - 2x^2 - x + 2) \div (x + 1)

अतः x3−2x2−x+2=(x+1)(x2−3x+2)x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x + 1)(x^2 - 3x + 2)
अब x2−3x+2x^2 - 3x + 2 के गुणनखंड करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करने पर-
अर्थात् x3−2x2−x+2x^3 - 2x^2 - x + 2

=(x+1)(x2−3x+2)= (x + 1)(x^2 - 3x + 2)
=(x+1)[x2−2x−x+2]= (x + 1)[x^2 - 2x - x + 2]

=(x+1)[x(x−2)−1(x−2)]= (x + 1)[x(x - 2) - 1(x - 2)]
=(x+1)(x−2)(x−1)= (x + 1)(x - 2)(x - 1)

=(x+1)(x−1)(x−2)= (x + 1)(x - 1)(x - 2) उत्तर

(ii) माना कि p(x)=x3−3x2−9x−5p(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5
दिए गए बहुपद के अचर पद 55 के समस्त गुणनखंड क्रमशः ±1\pm 1 तथा ±5\pm 5 हैं। निरीक्षण द्वारा बहुपद में x=−1x = -1 रखने पर
p(−1)=(−1)3−3(−1)2−9(−1)−5p(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 5

=−1−3+9−5= -1 - 3 + 9 - 5
=−9+9=0= -9 + 9 = 0
अर्थात् गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x+1)(x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
x3−3x2−9x−5x^3 - 3x^2 - 9x - 5

=x3+x2−4x2−4x−5x−5= x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x - 5x - 5
=x2(x+1)−4x2−4x−5x−5= x^2(x + 1) - 4x^2 - 4x - 5x - 5

=x2(x+1)−4x(x+1)−5(x+1)= x^2(x + 1) - 4x(x + 1) - 5(x + 1)
=(x+1)(x2−4x−5)= (x + 1)(x^2 - 4x - 5)

=(x+1)[x2+x−5x−5]= (x + 1)[x^2 + x - 5x - 5]
=(x+1)[x(x+1)−5(x+1)]= (x + 1)[x(x + 1) - 5(x + 1)]

=(x+1)(x+1)(x−5)= (x + 1)(x + 1)(x - 5) उत्तर

(iii) माना कि p(x)=x3+13x2+32x+20p(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20
दिए गए बहुपद के अचर पद 2020 के समस्त गुणनखंड क्रमशः ±1,±2,±4,±5,±10\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10 तथा ±20\pm 20 हैं। निरीक्षण द्वारा बहुपद में x=−1x = -1 रखने पर
p(−1)=(−1)3+13(−1)2+32(−1)+20p(-1) = (-1)^3 + 13(-1)^2 + 32(-1) + 20

=−1+13−32+20= -1 + 13 - 32 + 20
=33−33=0= 33 - 33 = 0
अर्थात् गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x+1)(x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अब बहुपद p(x)p(x) को x+1x + 1 से भाग देने पर-

Polynomial long division of <span class=x3+13x2+32x+20x^3 + 13x^2 + 32x + 20 by x+1x+1" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
Polynomial long division of x3+13x2+32x+20x^3 + 13x^2 + 32x + 20 by x+1x+1

अतः x3+13x2+32x+20=(x+1)(x2+12x+20)x^3 + 13x^2 + 32x + 20 = (x + 1) (x^2 + 12x + 20)
अब x2+12x+20x^2 + 12x + 20 के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करने पर-
अर्थात् x3+13x2+32x+20x^3 + 13x^2 + 32x + 20

=(x+1)(x2+12x+20)= (x + 1) (x^2 + 12x + 20)
=(x+1)[x2+10x+2x+20]= (x + 1) [x^2 + 10x + 2x + 20]

=(x+1)[x(x+10)+2(x+10)]= (x + 1) [x (x + 10) + 2 (x + 10)]
=(x+1)(x+10)(x+2)= (x + 1) (x + 10) (x + 2)

=(x+1)(x+2)(x+10)= (x + 1) (x + 2) (x + 10) उत्तर

(iv) माना कि p(y)=2y3+y2−2y−1p (y) = 2y^3 + y^2 - 2y - 1
दिए गए अचर पद 11 के समस्त गुणनखंड ±1\pm 1 हैं। निरीक्षण द्वारा बहुपद में y=1y = 1 रखने पर
p(1)=2(1)3+(1)2−2(1)−1p (1) = 2 (1)^3 + (1)^2 - 2 (1) - 1

=2+1−2−1= 2 + 1 - 2 - 1
=3−3=0= 3 - 3 = 0
अर्थात् गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (y−1)(y - 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अब बहुपद p(y)p (y) को y−1y - 1 से भाग देने पर-

Polynomial long division of <span class=2y3+y2−2y−12y^3 + y^2 - 2y - 1 by y−1y-1" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
Polynomial long division of 2y3+y2−2y−12y^3 + y^2 - 2y - 1 by y−1y-1

अतः 2y3+y2−2y−1=(y−1)(2y2+3y+1)2y^3 + y^2 - 2y - 1 = (y - 1) (2y^2 + 3y + 1)

अब 2y2+3y+12y^2 + 3y + 1 के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करने पर-
अर्थात् 2y3+y2−2y−12y^3 + y^2 - 2y - 1

=(y−1)(2y2+3y+1)= (y - 1) (2y^2 + 3y + 1)
=(y−1)[2y2+2y+y+1]= (y - 1) [2y^2 + 2y + y + 1]

=(y−1)[2y(y+1)+1(y+1)]= (y - 1) [2y (y + 1) + 1 (y + 1)]
=(y−1)(y+1)(2y+1)= (y - 1) (y + 1) (2y + 1) उत्तर

प्रश्नावली 2.4

  1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए-
    (i) (x+4)(x+10)(x + 4) (x + 10)
    (ii) (x+8)(x−10)(x + 8) (x - 10)
    (iii) (3x+4)(3x−5)(3x + 4) (3x - 5)
    (iv) (y2+32)(y2−32)\left(y^2 + \frac{3}{2}\right) \left(y^2 - \frac{3}{2}\right)
    (v) (3−2x)(3+2x)(3 - 2x) (3 + 2x)

हल-(i) (x+4)(x+10)(x + 4) (x + 10)

दी गई सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a=4a = 4 व b=10b = 10 है।
(x+4)(x+10)=x2+(4+10)x+4.10(x + 4) (x + 10) = x^2 + (4 + 10) x + 4.10

=x2+14x+40= x^2 + 14x + 40 उत्तर

(ii) (x+8)(x−10)(x + 8) (x - 10)
दी गई सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a=8a = 8 तथा b=−10b = - 10
अर्थात् (x+8)(x−10)=x2+(8−10)x+8.(−10)(x + 8) (x - 10) = x^2 + (8 - 10)x + 8 . (- 10)

=x2−2x−80= x^2 - 2x - 80 उत्तर

(iii) (3x+4)(3x−5)(3x + 4) (3x - 5)
यहाँ माना 3x=y3x = y
∴\therefore दिया गया व्यंजक =(y+4)(y−5)= (y + 4) (y - 5)
दी गई सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a=4a = 4 तथा b=−5b = - 5
अर्थात् (y+4)(y−5)=y2+(4−5)y+4.(−5)(y + 4) (y - 5) = y^2 + (4 - 5) y + 4 . (- 5)

=y2−y−20= y^2 - y - 20
अब पुनः yy का मान रखने पर

=(3x)2−3x−20= (3x)^2 - 3x - 20
=9x2−3x−20= 9x^2 - 3x - 20 उत्तर

628

(iv) (y2+32)(y2−32)(y^2 + \frac{3}{2})(y^2 - \frac{3}{2})
यहाँ माना y2=xy^2 = x
∴\therefore दिया गया व्यंजक =(x+32)(x−32)= (x + \frac{3}{2})(x - \frac{3}{2})
सर्वसमिका (x+a)(x−a)=x2−a2(x + a)(x - a) = x^2 - a^2 का प्रयोग करने पर
अर्थात् (x+32)(x−32)=(x)2−(32)2(x + \frac{3}{2})(x - \frac{3}{2}) = (x)^2 - (\frac{3}{2})^2

=x2−94= x^2 - \frac{9}{4}
अब पुनः xx का मान रखने पर

=(y2)2−94= (y^2)^2 - \frac{9}{4}
=y4−94= y^4 - \frac{9}{4} उत्तर

(v) (3−2x)(3+2x)(3 - 2x) (3 + 2x)

=−(2x−3)(2x+3)= - (2x - 3) (2x + 3)
=−(2x+3)(2x−3)= - (2x + 3) (2x - 3)
यहाँ माना 2x=y2x = y
∴\therefore दिया गया व्यंजक =−(y+3)(y−3)= - (y + 3) (y - 3)
सर्वसमिका (x+a)(x−a)=x2−a2(x + a)(x - a) = x^2 - a^2 का प्रयोग करने पर
अर्थात् −(y+3)(y−3)- (y + 3) (y - 3)

=−[y2−9]= - [y^2 - 9]
yy के स्थान पर 2x2x मान प्रतिस्थापित करने पर

=−[(2x)2−9]=−[4x2−9]= - [(2x)^2 - 9] = - [4x^2 - 9]
=9−4x2= 9 - 4x^2

2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए-
(i) 103×107103 \times 107 (ii) 95×9695 \times 96
(iii) 104×96104 \times 96

हल-(i) 103×107103 \times 107

=(100+3)×(100+7)= (100 + 3) \times (100 + 7)
सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a=3,b=7a = 3, b = 7 तथा x=100x = 100
अर्थात् (100+3)(100+7)(100 + 3) (100 + 7)

=(100)2+(3+7)100+3×7= (100)^2 + (3 + 7) 100 + 3 \times 7
=10000+1000+21= 10000 + 1000 + 21

=11021= 11021 उत्तर

(ii) 95×96=(100−5)(100−4)95 \times 96 = (100 - 5) (100 - 4)
सर्वसमिका (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a=−5,b=−4a = - 5, b = - 4 तथा x=100x = 100
अर्थात् (100−5)(100−4)(100 - 5) (100 - 4)

=(100)2+(−5−4)100+(−5)×(−4)= (100)^2 + (- 5 - 4) 100 + (-5) \times (-4)
=10000−900+20= 10000 - 900 + 20

=10020−900=9120= 10020 - 900 = 9120 उत्तर

(iii) 104×96=(100+4)(100−4)104 \times 96 = (100 + 4) (100 - 4)

=(100)2−(4)2= (100)^2 - (4)^2
सर्वसमिका a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) का प्रयोग करने पर
यहाँ a=100a = 100 तथा b=4b = 4
अर्थात् (100)2−(4)2=10000−16(100)^2 - (4)^2 = 10000 - 16

=9984= 9984 उत्तर

3. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए-
(i) 9x2+6xy+y29x^2 + 6xy + y^2 (ii) 4y2−4y+14y^2 - 4y + 1
(iii) x2−y2100x^2 - \frac{y^2}{100}

हल-(i) 9x2+6xy+y29x^2 + 6xy + y^2

सर्वसमिका (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 का प्रयोग करने पर
अर्थात् 9x2+6xy+y29x^2 + 6xy + y^2

=(3x)2+2(3x)(y)+(y)2= (3x)^2 + 2 (3x) (y) + (y)^2
=(3x+y)2=(3x+y)(3x+y)= (3x + y)^2 = (3x + y) (3x + y) उत्तर

(ii) 4y2−4y+14y^2 - 4y + 1
सर्वसमिका (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 का प्रयोग करने पर
अर्थात् 4y2−4y+14y^2 - 4y + 1

=(2y)2−2(2y)(1)+(1)2= (2y)^2 - 2 (2y) (1) + (1)^2
=(2y−1)2= (2y - 1)^2

=(2y−1)(2y−1)= (2y - 1) (2y - 1) उत्तर

(iii) x2−y2100x^2 - \frac{y^2}{100}
सर्वसमिका a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b) (a + b) का प्रयोग करने पर
अर्थात् x2−y2100x^2 - \frac{y^2}{100}

=(x)2−(y10)2= (x)^2 - (\frac{y}{10})^2

=(x+y10)(x−y10)= \left(x + \frac{y}{10}\right)\left(x - \frac{y}{10}\right) उत्तर

4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए-
(i) (x+2y+4z)2(x + 2y + 4z)^2
(ii) (2x−y+z)2(2x - y + z)^2
(iii) (−2x+3y+2z)2(- 2x + 3y + 2z)^2
(iv) (3a−7b−c)2(3a - 7b - c)^2
(v) (−2x+5y−3z)2(- 2x + 5y - 3z)^2
(vi) [14a−12b+1]2\left[\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 1\right]^2

हल-

(i) (x+2y+4z)2(x + 2y + 4z)^2
सर्वसमिका (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद (x+2y+4z)2(x + 2y + 4z)^2 तथा (a+b+c)2(a + b + c)^2 की तुलना करने पर
a=x,b=2ya = x, b = 2y तथा c=4zc = 4z
∴(x+2y+4z)2=(x)2+(2y)2+(4z)2+2⋅x⋅2y+2⋅2y⋅4z+2⋅4z⋅x\therefore (x + 2y + 4z)^2 = (x)^2 + (2y)^2 + (4z)^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + 2 \cdot 2y \cdot 4z + 2 \cdot 4z \cdot x

=x2+4y2+16z2+4xy+16yz+8xz= x^2 + 4y^2 + 16z^2 + 4xy + 16yz + 8xz उत्तर

(ii) (2x−y+z)2=[2x+(−y)+z]2(2x - y + z)^2 = [2x + (- y) + z]^2
सर्वसमिका (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [2x+(−y)+z]2[2x + (- y) + z]^2 तथा (a+b+c)2(a + b + c)^2 की तुलना करने पर a=2x,b=−y,c=za = 2x, b = -y, c = z
∴[2x+(−y)+z]2=(2x)2+(−y)2+(z)2+2(2x)(−y)+2(−y)(z)+2(z)(2x)\therefore [2x + (- y) + z]^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(2x)

=4x2+y2+z2−4xy−2yz+4zx= 4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4zx उत्तर

(iii) (−2x+3y+2z)2=[(−2x)+3y+2z]2(- 2x + 3y + 2z)^2 = [(- 2x) + 3y + 2z]^2
सर्वसमिका (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद [(−2x)+3y+2z]2[(- 2x) + 3y + 2z]^2 तथा (a+b+c)2(a + b + c)^2 की तुलना करने पर
a=−2x,b=3y,c=2za = -2x, b = 3y, c = 2z
∴[(−2x)+3y+2z]2=(−2x)2+(3y)2+(2z)2+2(−2x)(3y)+2(3y)(2z)+2(2z)(−2x)\therefore [(- 2x) + 3y + 2z]^2 = (- 2x)^2 + (3y)^2 + (2z)^2 + 2(- 2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(- 2x)

=4x2+9y2+4z2−12xy+12yz−8zx= 4x^2 + 9y^2 + 4z^2 - 12xy + 12yz - 8zx उत्तर

(iv) (3a−7b−c)2=[(3a)+(−7b)+(−c)]2(3a - 7b - c)^2 = [(3a) + (- 7b) + (- c)]^2
सर्वसमिका (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(3a)+(−7b)+(−c)]2[(3a) + (- 7b) + (- c)]^2 तथा (a+b+c)2(a + b + c)^2 की तुलना करने पर a=3a,b=−7b,c=−ca = 3a, b = -7b, c = -c
∴[(3a)+(−7b)+(−c)]2=(3a)2+(−7b)2+(−c)2+2(3a)(−7b)+2(−7b)(−c)+2(−c)(3a)\therefore [(3a) + (- 7b) + (- c)]^2 = (3a)^2 + (- 7b)^2 + (- c)^2 + 2(3a)(- 7b) + 2(- 7b)(- c) + 2(- c)(3a)

=9a2+49b2+c2−42ab+14bc−6ca= 9a^2 + 49b^2 + c^2 - 42ab + 14bc - 6ca उत्तर

(v) (−2x+5y−3z)2=[(−2x)+5y+(−3z)]2(- 2x + 5y - 3z)^2 = [(-2x) + 5y + (- 3z)]^2
सर्वसमिका (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(−2x)+5y+(−3z)]2[(- 2x) + 5y + (- 3z)]^2 तथा (a+b+c)2(a + b + c)^2 की तुलना करने पर a=−2x,b=5y,c=−3za = -2x, b = 5y, c = -3z
∴[(−2x)+5y+(−3z)]2=(−2x)2+(5y)2+(−3z)2+2(−2x)(5y)+2(5y)(−3z)+2(−3z)(−2x)\therefore [(- 2x) + 5y + (- 3z)]^2 = (- 2x)^2 + (5y)^2 + (- 3z)^2 + 2(- 2x)(5y) + 2(5y)(- 3z) + 2(- 3z)(- 2x)

=4x2+25y2+9z2−20xy−30yz+12xz= 4x^2 + 25y^2 + 9z^2 - 20xy - 30yz + 12xz उत्तर

(vi) [14a−12b+1]2=[(14a)+(−12b)+(1)]2\left[\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 1\right]^2 = \left[\left(\frac{1}{4}a\right) + \left(-\frac{1}{2}b\right) + (1)\right]^2
सर्वसमिका (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
[(14a)+(−12b)+(1)]2=(14a)2+(−12b)2+(1)2+2(14a)(−12b)+2(−12b)(1)+2(1)(14a)\left[\left(\frac{1}{4}a\right) + \left(-\frac{1}{2}b\right) + (1)\right]^2 = \left(\frac{1}{4}a\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}b\right)^2 + (1)^2 + 2\left(\frac{1}{4}a\right)\left(-\frac{1}{2}b\right) + 2\left(-\frac{1}{2}b\right)(1) + 2(1)\left(\frac{1}{4}a\right)

=116a2+14b2+1−14ab−b+12a= \frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{4}b^2 + 1 - \frac{1}{4}ab - b + \frac{1}{2}a उत्तर

5. गुणनखंडन कीजिए-
(i) 4x2+9y2+16z2+12xy−24yz−16xz4x^2 + 9y^2 + 16z^2 + 12xy - 24yz - 16xz
(ii) 2x2+y2+8z2−22xy+42yz−8xz2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2\sqrt{2}xy + 4\sqrt{2}yz - 8xz

हल-

(i) 4x2+9y2+16z2+12xy−24yz−16xz4x^2 + 9y^2 + 16z^2 + 12xy - 24yz - 16xz
सर्वसमिका a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a+b+c)^2 के अनुसार

=(2x)2+(3y)2+(−4z)2+2(2x)(3y)+2(3y)(−4z)+2(−4z)(2x)= (2x)^2 + (3y)^2 + (- 4z)^2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(- 4z) + 2(- 4z)(2x)
=(2x+3y−4z)2= (2x + 3y - 4z)^2

=(2x+3y−4z)(2x+3y−4z)= (2x + 3y - 4z) (2x + 3y - 4z) उत्तर

(ii) 2x2+y2+8z2−22xy+42yz−8xz2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2\sqrt{2}xy + 4\sqrt{2}yz - 8xz
सर्वसमिका a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a+b+c)^2 के अनुसार

=(−2x)2+(y)2+(22z)2+2(−2x)(y)+2(y)(22z)+2(22z)(−2x)= (-\sqrt{2}x)^2 + (y)^2 + (2\sqrt{2}z)^2 + 2(-\sqrt{2}x)(y) + 2(y)(2\sqrt{2}z) + 2(2\sqrt{2}z)(-\sqrt{2}x)
=[(−2x)+y+(22z)]2= [(-\sqrt{2}x) + y + (2\sqrt{2}z)]^2

=(−2x+y+22z)2= (-\sqrt{2}x + y + 2\sqrt{2}z)^2
=(−2x+y+22z)(−2x+y+22z)= (-\sqrt{2}x + y + 2\sqrt{2}z)(-\sqrt{2}x + y + 2\sqrt{2}z) उत्तर

6. निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए-
(i) (2x+1)3(2x + 1)^3
(ii) (2a−3b)3(2a - 3b)^3
(iii) [32x+1]3[\frac{3}{2}x + 1]^3
(iv) [x−23y]3[x - \frac{2}{3}y]^3

हल-(i) (2x+1)3(2x + 1)^3

सर्वसमिका (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a+b)3(a + b)^3 तथा (2x+1)3(2x + 1)^3 की तुलना करने पर
यहाँ a=2xa = 2x तथा b=1b = 1
∴(2x+1)3\therefore (2x + 1)^3

=(2x)3+(1)3+3(2x).1.(2x+1)= (2x)^3 + (1)^3 + 3(2x) . 1 . (2x + 1)
=8x3+1+6x.(2x+1)= 8x^3 + 1 + 6x . (2x + 1)

=8x3+1+12x2+6x= 8x^3 + 1 + 12x^2 + 6x
=8x3+12x2+6x+1= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 उत्तर

(ii) (2a−3b)3(2a - 3b)^3
सर्वसमिका (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab (a - b) के अनुसार
अब पद (a−b)3(a - b)^3 तथा [(2a)−(3b)]3[(2a) - (3b)]^3 की तुलना करने पर
यहाँ a=2aa = 2a तथा b=3bb = 3b
∴(2a−3b)3\therefore (2a - 3b)^3

=(2a)3−(3b)3−3(2a)(3b)(2a−3b)= (2a)^3 - (3b)^3 - 3(2a)(3b)(2a - 3b)
=8a3−27b3−18ab(2a−3b)= 8a^3 - 27b^3 - 18ab(2a - 3b)

=8a3−27b3−36a2b+54ab2= 8a^3 - 27b^3 - 36a^2b + 54ab^2 उत्तर

(iii) [32x+1]3[\frac{3}{2}x + 1]^3
सर्वसमिका (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a+b)3(a + b)^3 तथा (32x+1)3(\frac{3}{2}x + 1)^3 की तुलना करने पर
यहाँ a=32xa = \frac{3}{2}x तथा b=1b = 1
∴[32x+1]3\therefore [\frac{3}{2}x + 1]^3

=(32x)3+(1)3+3(32x)(1)[32x+1]= (\frac{3}{2}x)^3 + (1)^3 + 3(\frac{3}{2}x)(1)[\frac{3}{2}x + 1]
=278x3+1+92x[32x+1]= \frac{27}{8}x^3 + 1 + \frac{9}{2}x[\frac{3}{2}x + 1]

=278x3+1+274x2+92x= \frac{27}{8}x^3 + 1 + \frac{27}{4}x^2 + \frac{9}{2}x
=278x3+274x2+92x+1= \frac{27}{8}x^3 + \frac{27}{4}x^2 + \frac{9}{2}x + 1 उत्तर

(iv) [x−23y]3[x - \frac{2}{3}y]^3
सर्वसमिका (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab (a - b) के अनुसार
(x−23y)3(x - \frac{2}{3}y)^3

=(x)3−(23y)3−3(x)(23y)(x−23y)= (x)^3 - (\frac{2}{3}y)^3 - 3(x)(\frac{2}{3}y)(x - \frac{2}{3}y)
=x3−827y3−2xy(x−23y)= x^3 - \frac{8}{27}y^3 - 2xy(x - \frac{2}{3}y)

=x3−827y3−2x2y+43xy2= x^3 - \frac{8}{27}y^3 - 2x^2y + \frac{4}{3}xy^2 उत्तर

7. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-
(i) (99)3(99)^3
(ii) (102)3(102)^3
(iii) (998)3(998)^3

हल-(i) (99)3=(100−1)3(99)^3 = (100 - 1)^3

सर्वसमिका (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab (a - b) के अनुसार
अब पद (a−b)3(a - b)^3 तथा (100−1)3(100 - 1)^3 की तुलना करने पर

यहाँ a=100a = 100 तथा b=1b = 1
∴(100−1)3\therefore (100 - 1)^3

=(100)3−(1)3−3(100)(1)(100−1)= (100)^3 - (1)^3 - 3(100) (1) (100 - 1)
=1000000−1−300(100−1)= 1000000 - 1 - 300 (100 - 1)

=1000000−1−30000+300= 1000000 - 1 - 30000 + 300
=1000300−30001= 1000300 - 30001

=970299= 970299 उत्तर

(ii) (102)3=(100+2)3(102)^3 = (100 + 2)^3
सर्वसमिका (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a+b)3(a + b)^3 तथा (100+2)3(100 + 2)^3 की तुलना करने पर
यहाँ a=100a = 100 तथा b=2b = 2
∴(100+2)3\therefore (100 + 2)^3

=(100)3+(2)3+3(100)(2)(100+2)= (100)^3 + (2)^3 + 3(100) (2) (100 + 2)
=1000000+8+600(100+2)= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)

=1000000+8+60000+1200= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
=1061208= 1061208 उत्तर

(iii) (998)3=(1000−2)3(998)^3 = (1000 - 2)^3
सर्वसमिका (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab (a - b) के अनुसार
अब पद (a−b)3(a - b)^3 तथा (1000−2)3(1000 - 2)^3 की तुलना करने पर
यहाँ a=1000a = 1000 तथा b=2b = 2
∴(1000−2)3=(1000)3−(2)3−3(1000)(2)(1000−2)\therefore (1000 - 2)^3 = (1000)^3 - (2)^3 - 3(1000) (2) (1000 - 2)

=1000000000−8−6000(1000−2)= 1000000000 - 8 - 6000 (1000 - 2)
=1000000000−8−6000000+12000= 1000000000 - 8 - 6000000 + 12000

=1000012000−6000008= 1000012000 - 6000008
=994011992= 994011992 उत्तर

8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए-
(i) 8a3+b3+12a2b+6ab28a^3 + b^3 + 12a^2b + 6ab^2
(ii) 8a3−b3−12a2b+6ab28a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2
(iii) 27−125a3−135a+225a227 - 125a^3 - 135a + 225a^2
(iv) 64a3−27b3−144a2b+108ab264a^3 - 27b^3 - 144a^2b + 108ab^2
(v) 27p3−1216−92p2+14p27p^3 - \frac{1}{216} - \frac{9}{2}p^2 + \frac{1}{4}p

हल-(i) 8a3+b3+12a2b+6ab28a^3 + b^3 + 12a^2b + 6ab^2

=8a3+b3+6ab(2a+b)= 8a^3 + b^3 + 6ab(2a + b)
[सर्वसमिका x3+y3+3xy(x+y)=(x+y)3x^3 + y^3 + 3xy (x + y) = (x + y)^3 के अनुसार]
यहाँ x=2ax = 2a तथा y=by = b
दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है -

=(2a)3+(b)3+3(2a)(b)(2a+b)= (2a)^3 + (b)^3 + 3(2a) (b) (2a + b)
=(2a+b)3= (2a + b)^3 उत्तर

(ii) 8a3−b3−12a2b+6ab28a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2

=8a3−b3−6ab(2a−b)= 8a^3 - b^3 - 6ab(2a - b)
सर्वसमिका x3−y3−3xy(x−y)=(x−y)3x^3 - y^3 - 3xy (x - y) = (x - y)^3 के अनुसार
यहाँ x=2a,y=bx = 2a, y = b
∴=(2a)3−(b)3−3(2a)(b)(2a−b)\therefore = (2a)^3 - (b)^3 - 3 (2a) (b) (2a - b)

=(2a−b)3= (2a - b)^3 उत्तर

(iii) 27−125a3−135a+225a227 - 125a^3 - 135a + 225a^2

=27−125a3−45a(3−5a)= 27 - 125a^3 - 45a(3 - 5a)
सर्वसमिका x3−y3−3xy(x−y)=(x−y)3x^3 - y^3 - 3xy (x - y) = (x - y)^3 के अनुसार
यहाँ x=3,y=5ax = 3, y = 5a
∴=(3)3−(5a)3−3(3)(5a)(3−5a)\therefore = (3)^3 - (5a)^3 - 3(3) (5a) (3 - 5a)

=(3−5a)3= (3 - 5a)^3 उत्तर

(iv) 64a3−27b3−144a2b+108ab264a^3 - 27b^3 - 144a^2b + 108ab^2

=64a3−27b3−36ab(4a−3b)= 64a^3 - 27b^3 - 36ab(4a - 3b)
सर्वसमिका x3−y3−3xy(x−y)=(x−y)3x^3 - y^3 - 3xy (x - y) = (x - y)^3 के अनुसार
यहाँ x=4ax = 4a तथा y=3by = 3b
∴=(4a)3−(3b)3−3(4a)(3b)(4a−3b)\therefore = (4a)^3 - (3b)^3 - 3(4a) (3b) (4a - 3b)

=(4a−3b)3= (4a - 3b)^3 उत्तर

(v) 27p3−1216−92p2+14p27p^3 - \frac{1}{216} - \frac{9}{2}p^2 + \frac{1}{4}p
सर्वसमिका x3−y3−3xy(x−y)=(x−y)3x^3 - y^3 - 3xy (x - y) = (x - y)^3 के अनुसार
यहाँ x=3px = 3p तथा y=16y = \frac{1}{6}
∴=(3p)3−(16)3−3(3p)(16)(3p−16)\therefore = (3p)^3 - (\frac{1}{6})^3 - 3(3p)(\frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})

=(3p−16)3= (3p - \frac{1}{6})^3 उत्तर

9. सत्यापित कीजिए-
(i) x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)

632

(ii) x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2)

हल-(i) x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)

R.H.S. =(x+y)(x2−xy+y2)= (x + y) (x^2 - xy + y^2)

=x(x2−xy+y2)+y(x2−xy+y2)= x (x^2 - xy + y^2) + y (x^2 - xy + y^2)
=x3−x2y+xy2+x2y−xy2+y3= x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3

=x3+x2y−x2y+xy2−xy2+y3= x^3 + x^2y - x^2y + xy^2 - xy^2 + y^3
=x3+y3= x^3 + y^3

=L.H.S.= \text{L.H.S.}

(ii) x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2)
R.H.S. =(x−y)(x2+xy+y2)= (x - y) (x^2 + xy + y^2)

=x(x2+xy+y2)−y(x2+xy+y2)= x (x^2 + xy + y^2) - y (x^2 + xy + y^2)
=x3+x2y+xy2−yx2−xy2−y3= x^3 + x^2y + xy^2 - yx^2 - xy^2 - y^3

=x3+x2y−x2y+xy2−xy2−y3= x^3 + x^2y - x^2y + xy^2 - xy^2 - y^3
=x3−y3= x^3 - y^3

=L.H.S.= \text{L.H.S.}

10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए-
(i) 27y3+125z327y^3 + 125z^3
(ii) 64m3−343n364m^3 - 343n^3

हल-(i) 27y3+125z327y^3 + 125z^3

सर्वसमिका a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2) के अनुसार
यहाँ a=3ya = 3y तथा b=5zb = 5z
अर्थात् 27y3+125z327y^3 + 125z^3

=(3y)3+(5z)3= (3y)^3 + (5z)^3
=(3y+5z)[(3y)2−(3y)(5z)+(5z)2]= (3y + 5z) [(3y)^2 - (3y) (5z) + (5z)^2]

=(3y+5z)(9y2−15yz+25z2)= (3y + 5z) (9y^2 - 15yz + 25z^2) उत्तर

(ii) 64m3−343n364m^3 - 343n^3
सर्वसमिका a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2) के अनुसार
यहाँ a=4ma = 4m तथा b=7nb = 7n
अर्थात् 64m3−343n364m^3 - 343n^3

=(4m)3−(7n)3= (4m)^3 - (7n)^3
=(4m−7n)[(4m)2+(4m)(7n)+(7n)2]= (4m - 7n) [(4m)^2 + (4m) (7n) + (7n)^2]

=(4m−7n)(16m2+28mn+49n2)= (4m - 7n) (16m^2 + 28mn + 49n^2) उत्तर

11. गुणनखंडन कीजिए-
27x3+y3+z3−9xyz27x^3 + y^3 + z^3 - 9xyz

हल-27x3+y3+z3−9xyz27x^3 + y^3 + z^3 - 9xyz

सर्वसमिका a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) के अनुसार
यहाँ a=3x,b=y,c=za = 3x, b = y, c = z
∴27x3+y3+z3−9xyz\therefore 27x^3 + y^3 + z^3 - 9xyz

=(3x)3+(y)3+(z)3−3(3x)(y)(z)= (3x)^3 + (y)^3 + (z)^3 - 3 (3x) (y) (z)
=(3x+y+z)[(3x)2+(y)2+(z)2−(3x)(y)−(y)(z)−(3x)(z)]= (3x + y + z) [(3x)^2 + (y)^2 + (z)^2 - (3x) (y) - (y) (z) - (3x) (z)]

=(3x+y+z)(9x2+y2+z2−3xy−yz−3xz)= (3x + y + z) (9x^2 + y^2 + z^2 - 3xy - yz - 3xz) उत्तर

12. सत्यापित कीजिए-
x3+y3+z3−3xyz=12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \frac{1}{2} (x + y + z) [(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]

हल-x3+y3+z3−3xyz=12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \frac{1}{2} (x + y + z) [(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]

R.H.S. =12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]= \frac{1}{2} (x + y + z) [(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]

=12(x+y+z)[x2+y2−2xy+y2+z2−2yz+z2+x2−2xz]= \frac{1}{2} (x + y + z) [x^2 + y^2 - 2xy + y^2 + z^2 - 2yz + z^2 + x^2 - 2xz]
=12(x+y+z)[2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2zx]= \frac{1}{2} (x + y + z) [2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx]

=12(x+y+z).2(x2+y2+z2−xy−yz−zx)= \frac{1}{2} (x + y + z) . 2 (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)= (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
∵\because पाठ्यपुस्तक की सर्वसमिका VIII से
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) होता है।
अतः इसका मान =x3+y3+z3−3xyz=L.H.S.= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \text{L.H.S.}

13. यदि x+y+z=0x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz है।

हल-प्रश्नानुसार x+y+z=0x + y + z = 0

या x+y=−zx + y = -z .....(i)
दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर
(x+y)3=(−z)3(x + y)^3 = (-z)^3
⇒x3+y3+3xy(x+y)=−z3\Rightarrow x^3 + y^3 + 3xy (x + y) = -z^3
⇒x3+y3+3xy(−z)=−z3\Rightarrow x^3 + y^3 + 3xy (-z) = -z^3 (समीकरण (i) से)
⇒x3+y3−3xyz=−z3\Rightarrow x^3 + y^3 - 3xyz = -z^3
⇒x3+y3+z3=3xyz\Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz

⇒x3+y3−3xyz=−z3\Rightarrow x^3 + y^3 - 3xyz = -z^3 [∵x+y=−z (i) से][\because x + y = -z \text{ (i) से}]
⇒x3+y3+z3=3xyz (इतिसिद्धम्)\Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \text{ (इतिसिद्धम्)}

14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए-
(i) (−12)3+(7)3+(5)3(-12)^3 + (7)^3 + (5)^3
(ii) (28)3+(−15)3+(−13)3(28)^3 + (-15)^3 + (-13)^3

हल-(i) (−12)3+(7)3+(5)3(-12)^3 + (7)^3 + (5)^3

माना कि a=−12,b=7a = -12, b = 7 तथा c=5c = 5
सर्वसमिका के अनुसार यदि a+b+c=0a + b + c = 0
तब a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc
∴a+b+c=−12+7+5=0\therefore a + b + c = -12 + 7 + 5 = 0
∴(−12)3+(7)3+(5)3=3(−12)(7)(5)\therefore (-12)^3 + (7)^3 + (5)^3 = 3 (-12) (7) (5)

=−1260= -1260 उत्तर

(ii) (28)3+(−15)3+(−13)3(28)^3 + (-15)^3 + (-13)^3
माना कि a=28,b=−15a = 28, b = -15 तथा c=−13c = -13
सर्वसमिका के अनुसार यदि a+b+c=0a + b + c = 0
तब a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc
∴a+b+c=28−15−13=0\therefore a + b + c = 28 - 15 - 13 = 0
∴(28)3+(−15)3+(−13)3=3.(28)(−15)(−13)\therefore (28)^3 + (-15)^3 + (-13)^3 = 3 . (28) (-15) (-13)

=16380= 16380 उत्तर

15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए-

क्षेत्रफल : <span class=25a2−35a+1225a^2 - 35a + 12" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
क्षेत्रफल : 25a2−35a+1225a^2 - 35a + 12

(i)

क्षेत्रफल : <span class=35y2+13y−1235y^2 + 13y - 12" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
क्षेत्रफल : 35y2+13y−1235y^2 + 13y - 12

(ii)

हल-(i) क्षेत्रफल : 25a2−35a+1225a^2 - 35a + 12

अर्थात् लम्बाई ×\times चौड़ाई =25a2−35a+12= 25a^2 - 35a + 12

=25a2−15a−20a+12= 25a^2 - 15a - 20a + 12
=5a(5a−3)−4(5a−3)= 5a (5a - 3) - 4 (5a - 3)

=(5a−4)(5a−3)= (5a - 4) (5a - 3)
∴\therefore (i) यदि लम्बाई (5a−4)(5a - 4) तो चौड़ाई (5a−3)(5a - 3) होगी।
(ii) यदि लम्बाई (5a−3)(5a - 3) तो चौड़ाई (5a−4)(5a - 4) होगी। उत्तर

(ii) प्रश्नानुसार क्षेत्रफल : 35y2+13y−1235y^2 + 13y - 12
अर्थात् लम्बाई ×\times चौड़ाई =35y2+13y−12= 35y^2 + 13y - 12

=35y2+28y−15y−12= 35y^2 + 28y - 15y - 12
=7y(5y+4)−3(5y+4)= 7y (5y + 4) - 3 (5y + 4)

=(5y+4)(7y−3)= (5y + 4) (7y - 3)
∴\therefore (i) यदि लम्बाई (5y+4)(5y + 4) तो चौड़ाई (7y−3)(7y - 3) होगी।
(ii) यदि लम्बाई (7y−3)(7y - 3) तो चौड़ाई (5y+4)(5y + 4) होगी। उत्तर

16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं?

आयतन : <span class=3x2−12x3x^2 - 12x" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
आयतन : 3x2−12x3x^2 - 12x

(i)

आयतन : <span class=12ky2+8ky−20k12ky^2 + 8ky - 20k" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
आयतन : 12ky2+8ky−20k12ky^2 + 8ky - 20k

(ii)

हल-(i) प्रश्नानुसार आयतन : 3x2−12x3x^2 - 12x

अर्थात् लम्बाई ×\times चौड़ाई ×\times ऊँचाई =3x(x−4)= 3x (x - 4)
∴\therefore घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक =3,x= 3, x और x−4x - 4 हैं। उत्तर

(ii) प्रश्नानुसार आयतन : 12ky2+8ky−20k12ky^2 + 8ky - 20k
अर्थात् लम्बाई ×\times चौड़ाई ×\times ऊँचाई

=4k(3y2+2y−5)= 4k (3y^2 + 2y - 5)
=4k[3y2+5y−3y−5]= 4k [3y^2 + 5y - 3y - 5]

=4k[y(3y+5)−1(3y+5)]= 4k [y (3y + 5) - 1 (3y + 5)]
=4k[(3y+5)(y−1)]= 4k [(3y + 5) (y - 1)]
या लम्बाई ×\times चौड़ाई ×\times ऊँचाई

=4k(3y+5)(y−1)= 4k (3y + 5) (y - 1)
∴\therefore घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्रमशः 4k,(3y+5)4k, (3y + 5) तथा (y−1)(y - 1) हैं। उत्तर

--- अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न ---

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-
1. बहुपद p(x)p(x) का शून्यक, जहाँ p(x)=ax+1p(x) = ax + 1 है, a≠0a \neq 0 है-
(A) 11
(B) −a-a
(C) 00
(D) −1a-\frac{1}{a}

2. बहुपद 3y−y2+43y - y^2 + 4 की घात है-
(A) 22
(B) 11
(C) 33
(D) 44

3. यदि (x+1)(x + 1) बहुपद 2x3+8x2+3x+k2x^3 + 8x^2 + 3x + k का एक गुणनखंड है तब kk का मान है-

(A) 3 | (B) 4
(C) 5 | (D) - 3

  1. बहुपद 6−x2+8x6 - x^2 + 8x की घात है-
    (A) 3 | (B) 1
    (C) 2 | (D) 1

  2. (998)2+(994)2−1996×994(998)^2 + (994)^2 - 1996 \times 994 बराबर है -
    (A) 16 | (B) 4
    (C) 20 | (D) 24

  3. यदि किसी बहुपद x4+x2−20x^4 + x^2 - 20 का एक गुणनखंड x2+5x^2 + 5 है तो दूसरा गुणनखंड होगा-
    (A) x2−4x^2 - 4 | (B) x2−5x^2 - 5
    (C) x−4x - 4 | (D) x+2x + 2

  4. निम्न में से एक बहुपद है-
    (A) x−2+2x−1+3x^{-2} + 2x^{-1} + 3 | (B) x+x−1+5x + x^{-1} + 5
    (C) 2x−12x^{-1} | (D) 0

  5. यदि (x+1)(x−1)(x + 1)(x - 1), f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d के गुणनखंड है, तब
    (A) a+b=0a + b = 0 | (B) b+c=0b + c = 0
    (C) b+d=0b + d = 0 | (D) a+d=0a + d = 0

  6. यदि x−3x - 3, x2−ax−15x^2 - ax - 15 का गुणनखंड है तब a=a =
    (A) -2 | (B) 5
    (C) -5 | (D) 3

  7. यदि f(x)=x2−22x+1f(x) = x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 तब f(22)f(2\sqrt{2}) है -
    (A) 0 | (B) 1
    (C) 424\sqrt{2} | (D) 82+18\sqrt{2} + 1

| उत्तर-तालिका |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1. (D) | 2. (A) | 3. (D) | 4. (C) | 5. (A) |
| 6. (A) | 7. (D) | 8. (C) | 9. (A) | 10. (B) |

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

  1. वह समीकरण जो चर राशियों के सभी मानों के लिए सत्य हो, ................. कहलाती है।

  2. बहुपद p(x)=4x2−25p(x) = 4x^2 - 25 के शून्यक ........ और ........ हैं।

  3. यदि a1/3+b1/3+c1/3=0a^{1/3} + b^{1/3} + c^{1/3} = 0 है तब (a+b+c)3=.......(a + b + c)^3 = .......

  4. यदि x140+2x151+kx^{140} + 2x^{151} + k, x+1x + 1 से विभाज्य है, तब kk का मान ............. है।

  5. एक चर में प्रत्येक ................. बहुपद का एक अद्वितीय शून्यक होता है।

उत्तर- 1. सर्वसमिका 2. 52,−52\frac{5}{2}, -\frac{5}{2} 3. 27abc27abc 4. 1 5. रैखिक

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए-

  1. 5\sqrt{5} शून्य घात का एक बहुपद है।
  2. प्रत्येक बहुपद द्विपदीय होता है।
  3. यदि (x−1)(x - 1), बहुपद 4x3+3x2−4x+k4x^3 + 3x^2 - 4x + k का एक गुणनखंड है, तब kk का मान 3 है।
  4. यदि x2−1x^2 - 1, ax4+bx3+cx2+dx+eax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e का एक गुणनखंड है, तब a+c+e=b+da + c + e = b + d होगा।
  5. तीन घात वाले बहुपद को त्रिकोण बहुपद कहा जाता है।

उत्तर- 1. सत्य 2. असत्य 3. असत्य 4. सत्य 5. असत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

  1. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए गुणनफल (a−1a)(a+1a)(a2+1a2)(a4+1a4)\left(a - \frac{1}{a}\right)\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)\left(a^4 + \frac{1}{a^4}\right) ज्ञात कीजिए।

हल- (a−1a)(a+1a)(a2+1a2)(a4+1a4)\left(a - \frac{1}{a}\right)\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)\left(a^4 + \frac{1}{a^4}\right)

=(a2−1a2)(a2+1a2)(a4+1a4)= \left(a^2 - \frac{1}{a^2}\right)\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)\left(a^4 + \frac{1}{a^4}\right)
[सर्वसमिका (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 के अनुसार]

=(a4−1a4)(a4+1a4)=(a4)2−(1a4)2= \left(a^4 - \frac{1}{a^4}\right)\left(a^4 + \frac{1}{a^4}\right) = (a^4)^2 - \left(\frac{1}{a^4}\right)^2
=a8−1a8= a^8 - \frac{1}{a^8} उत्तर

  1. गुणनखंड कीजिए-x2−y2+2x+1x^2 - y^2 + 2x + 1

हल- x2−y2+2x+1x^2 - y^2 + 2x + 1

=x2+2x+1−y2= x^2 + 2x + 1 - y^2
=(x+1)2−y2= (x + 1)^2 - y^2

=(x+1−y)(x+1+y)= (x + 1 - y)(x + 1 + y)
=(x−y+1)(x+y+1)= (x - y + 1)(x + y + 1) उत्तर

3. (3x+2y)(3x−2y)(9x2+4y2)(3x + 2y) (3x - 2y) (9x^2 + 4y^2) का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हल- (3x+2y)(3x−2y)(9x2+4y2)(3x + 2y) (3x - 2y) (9x^2 + 4y^2)

={(3x)2−(2y)2}(9x2+4y2)= {(3x)^2 - (2y)^2} (9x^2 + 4y^2)
=(9x2−4y2)(9x2+4y2)=(9x2)2−(4y2)2= (9x^2 - 4y^2) (9x^2 + 4y^2) = (9x^2)^2 - (4y^2)^2

=81x4−16y4= 81x^4 - 16y^4 उत्तर

4. kk के किस मान के लिए x3+2x2+5x+kx^3 + 2x^2 + 5x + k का एक गुणनखंड (x+1)(x + 1) है?

हल- यदि (x+1)(x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है तो x+1=0⇒x=−1x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 से बहुपद का मान शून्य होना चाहिए।

x3+2x2+5x+k=0x^3 + 2x^2 + 5x + k = 0
(−1)3+2(−1)2+5(−1)+k=0(-1)^3 + 2(-1)^2 + 5(-1) + k = 0
−1+2−5+k=0-1 + 2 - 5 + k = 0
−4+k=0-4 + k = 0
⇒k=4\Rightarrow k = 4 उत्तर

5. यदि a+b=−ca + b = -c हो तो a3+b3+3ab(a+b)a^3 + b^3 + 3ab(a + b) का मान cc के पदों में लिखिए।

हल- ∵(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)\because (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)

∴\therefore दिया गया प्रश्न =(a+b)3= (a + b)^3

=(−c)3=−c3= (-c)^3 = -c^3 उत्तर

6. (4a−2b−3c)2(4a - 2b - 3c)^2 का प्रसार कीजिए।

हल- (4a−2b−3c)2(4a - 2b - 3c)^2

सर्वसमिका (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx के अनुसार

=[4a+(−2b)+(−3c)]2= [4a + (-2b) + (-3c)]^2
=(4a)2+(−2b)2+(−3c)2+2(4a)(−2b)+2(−2b)(−3c)+2(−3c)(4a)= (4a)^2 + (-2b)^2 + (-3c)^2 + 2(4a)(-2b) + 2(-2b)(-3c) + 2(-3c)(4a)

=16a2+4b2+9c2−16ab+12bc−24ac= 16a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 16ab + 12bc - 24ac उत्तर

7. 8x3+y3+27z3−18xyz8x^3 + y^3 + 27z^3 - 18xyz का गुणनखंड कीजिए।

हल- प्रश्नानुसार 8x3+y3+27z3−18xyz8x^3 + y^3 + 27z^3 - 18xyz

=(2x)3+y3+(3z)3−3(2x)(y)(3z)= (2x)^3 + y^3 + (3z)^3 - 3(2x)(y)(3z)
=(2x+y+3z)[(2x)2+y2+(3z)2−(2x)(y)−(y)(3z)−(2x)(3z)]= (2x + y + 3z) [(2x)^2 + y^2 + (3z)^2 - (2x)(y) - (y)(3z) - (2x)(3z)]

=(2x+y+3z)(4x2+y2+9z2−2xy−3yz−6xz)= (2x + y + 3z) (4x^2 + y^2 + 9z^2 - 2xy - 3yz - 6xz) उत्तर

8. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए बहुपद 16x2+24xy+9y216x^2 + 24xy + 9y^2 का गुणनखंड कीजिए।

हल- 16x2+24xy+9y216x^2 + 24xy + 9y^2

[सर्वसमिका (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 का प्रयोग करने पर]

=(4x)2+2⋅(4x)(3y)+(3y)2= (4x)^2 + 2 \cdot (4x) (3y) + (3y)^2
=(4x+3y)2= (4x + 3y)^2 उत्तर

9. यदि (x−a)(x - a), बहुपद p(x)=x3−ax2+2x+a−6p(x) = x^3 - ax^2 + 2x + a - 6 का एक गुणनखंड हो, तब aa का मान ज्ञात कीजिए।

हल- यदि (x−a)(x - a), p(x)p(x) का एक गुणनखंड हो, तो

p(a)=0⇒a3−a3+2a+a−6=0p(a) = 0 \Rightarrow a^3 - a^3 + 2a + a - 6 = 0
⇒3a−6=0\Rightarrow 3a - 6 = 0
⇒a=2\Rightarrow a = 2 उत्तर

10. यदि ab+ba=−1\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -1, तब a3−b3a^3 - b^3 का मान क्या होगा?

हल- ab+ba=−1⇒a2+b2+ab=0\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -1 \Rightarrow a^2 + b^2 + ab = 0

∴a3−b3=(a−b)(a2+b2+ab)\therefore a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)

=(a−b)×0=0= (a - b) \times 0 = 0 उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. यदि (x+1x)=9(x + \frac{1}{x}) = 9 है तो x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} का मान ज्ञात कीजिए।

हल- सर्वसमिका

(x+1x)3=x3+1x3+3⋅x⋅1x(x+1x)(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})
⇒(x+1x)3=x3+1x3+3(x+1x)\Rightarrow (x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})

प्रश्नानुसार x+1x=9x + \frac{1}{x} = 9 रखने पर
⇒(9)3=x3+1x3+3⋅(9)\Rightarrow (9)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot (9)
⇒x3+1x3=(9)3−27\Rightarrow x^3 + \frac{1}{x^3} = (9)^3 - 27

=729−27= 729 - 27
=702= 702 उत्तर

2. 8x3+27y38x^3 + 27y^3 का मान ज्ञात कीजिए, यदि 2x+3y=182x + 3y = 18 तथा xy=12xy = 12।

हल-प्रश्नानुसार 2x+3y=182x + 3y = 18 तथा xy=12xy = 12

अब (2x+3y)3=(2x)3+(3y)3+3(2x)(3y)(2x+3y)(2x + 3y)^3 = (2x)^3 + (3y)^3 + 3(2x)(3y)(2x + 3y)

=8x3+27y3+18xy(2x+3y)= 8x^3 + 27y^3 + 18xy(2x + 3y)
[सर्वसमिका (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) के अनुसार]
⇒8x3+27y3=(2x+3y)3−18xy(2x+3y)\Rightarrow 8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)^3 - 18xy(2x + 3y)

=(18)3−18×12×18= (18)^3 - 18 \times 12 \times 18
=5832−3888= 5832 - 3888

=1944= 1944 उत्तर

प्रश्न [3]. (14a−12b+16)2(\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 16)^2 का प्रसार कीजिए।

हल-प्रश्नानुसार (14a−12b+16)2(\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 16)^2

सर्वसमिका (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार [14a+(−12b)+16]2[\frac{1}{4}a + (-\frac{1}{2}b) + 16]^2

=(14a)2+(−12b)2+(16)2+2(14a)(−12b)+2(−12b)(16)+2(16)(14a)= (\frac{1}{4}a)^2 + (-\frac{1}{2}b)^2 + (16)^2 + 2(\frac{1}{4}a)(-\frac{1}{2}b) + 2(-\frac{1}{2}b)(16) + 2(16)(\frac{1}{4}a)
=116a2+14b2+256−14ab−16b+8a= \frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{4}b^2 + 256 - \frac{1}{4}ab - 16b + 8a उत्तर

प्रश्न [4]. यदि 2x−3=a2x - 3 = a हो, तो सिद्ध कीजिए कि 8x3−18ax=a3+278x^3 - 18ax = a^3 + 27.

हल-प्रश्नानुसार 2x−3=a2x - 3 = a

दोनों पक्षों का घन करने पर
(2x−3)3=(a)3(2x - 3)^3 = (a)^3
या (2x)3−(3)3−3(2x)(3)(2x−3)=a3(2x)^3 - (3)^3 - 3(2x)(3)(2x - 3) = a^3
[∵\because सर्वसमिका (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b) के अनुसार]
या 8x3−27−18(x)(a)=a38x^3 - 27 - 18(x)(a) = a^3 (∵2x−3=a\because 2x - 3 = a)
अतः 8x3−18ax=a3+278x^3 - 18ax = a^3 + 27 (इतिसिद्धम्)

प्रश्न [5]. यदि बहुपद 2x4−ax3+4x2+2x+12x^4 - ax^3 + 4x^2 + 2x + 1, (1−2x)(1 - 2x) द्वारा भाज्य है तो aa का मान ज्ञात कीजिए।

हल-माना कि p(x)=2x4−ax3+4x2+2x+1p(x) = 2x^4 - ax^3 + 4x^2 + 2x + 1

यदि यह बहुपद p(x)p(x), पद (1−2x)(1 - 2x) द्वारा भाज्य है तो (1−2x)(1 - 2x), p(x)p(x) का एक गुणनखंड होगा।
तब 1−2x=01 - 2x = 0 से x=12x = \frac{1}{2}
∴p(12)=0\therefore p(\frac{1}{2}) = 0
⇒2(12)4−a(12)3+4(12)2+2×12+1=0\Rightarrow 2(\frac{1}{2})^4 - a(\frac{1}{2})^3 + 4(\frac{1}{2})^2 + 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 0
⇒216−a8+44+22+1=0\Rightarrow \frac{2}{16} - \frac{a}{8} + \frac{4}{4} + \frac{2}{2} + 1 = 0
⇒18−a8+1+1+1=0\Rightarrow \frac{1}{8} - \frac{a}{8} + 1 + 1 + 1 = 0
⇒258=a8\Rightarrow \frac{25}{8} = \frac{a}{8}
⇒a=25\Rightarrow a = 25 उत्तर

प्रश्न [6]. यदि पद (x2−1)(x^2 - 1) बहुपद ax4+bx3+cx2+dx+eax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e का एक गुणनखंड है तो प्रदर्शित करो कि a+c+e=b+d=0a + c + e = b + d = 0

हल-माना कि p(x)=ax4+bx3+cx2+dx+ep(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

तब (x2−1)(x^2 - 1) इसका एक गुणनखंड है।
या (x−1)(x+1)(x - 1)(x + 1) इसका एक गुणनखंड है।
अर्थात् (x−1)(x - 1) तथा (x+1)(x + 1) बहुपद p(x)p(x) के गुणनखंड हैं।
या p(1)=0p(1) = 0 तथा p(−1)=0p(-1) = 0
[∵x−1=0⇒x=1\because x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 तथा x+1=0⇒x=−1x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1]
⇒a+b+c+d+e=0\Rightarrow a + b + c + d + e = 0
तथा a−b+c−d+e=0a - b + c - d + e = 0
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने व घटाने पर
2(a+c+e)=02(a + c + e) = 0 तथा 2(b+d)=02(b + d) = 0
या a+c+e=0a + c + e = 0 तथा b+d=0b + d = 0
⇒a+c+e=b+d=0\Rightarrow a + c + e = b + d = 0 (इतिसिद्धम्)

प्रश्न [7]. बहुपद व्यंजक x6−7x3−8x^6 - 7x^3 - 8 का गुणनखंड कीजिए।

हल-प्रश्नानुसार x6−7x3−8x^6 - 7x^3 - 8

=(x3)2−7(x3)−8= (x^3)^2 - 7(x^3) - 8 (y=x3y = x^3 रखने पर)
=y2−7y−8= y^2 - 7y - 8

=y2−8y+y−8=y(y−8)+1(y−8)= y^2 - 8y + y - 8 = y(y - 8) + 1(y - 8)
=(y−8)(y+1)= (y - 8)(y + 1)
yy का मान रखने पर (x3−8)(x3+1)(x^3 - 8)(x^3 + 1)

=(x3−23)(x3+13)= (x^3 - 2^3)(x^3 + 1^3)

=(x−2)(x2+2x+4)(x+1)(x2−x+1)= (x - 2) (x^2 + 2x + 4) (x + 1) (x^2 - x + 1)

=(x−2)(x+1)(x2+2x+4)(x2−x+1)= (x - 2) (x + 1) (x^2 + 2x + 4) (x^2 - x + 1) उत्तर

8. यदि a3+(b−a)3−b3=k(a−b)a^3 + (b - a)^3 - b^3 = k(a - b) तब kk का मान ज्ञात करो।

हल- हम देखते है- a+b−a+(−b)=0a + b - a + (-b) = 0

∴a3+(b−a)3+(−b)3=3a(b−a)(−b)\therefore a^3 + (b - a)^3 + (-b)^3 = 3a(b - a)(-b)
⇒a3+(b−a)3−b3=3ab(a−b)\Rightarrow a^3 + (b - a)^3 - b^3 = 3ab(a - b)
⇒k(a−b)=3ab(a−b)\Rightarrow k(a - b) = 3ab(a - b)
⇒k=3ab\Rightarrow k = 3ab उत्तर

निबन्धात्मक प्रश्न-

1. गुणनखंड कीजिए- x3−2x2−5x+6x^3 - 2x^2 - 5x + 6.

हल- माना कि p(x)=x3−2x2−5x+6p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6

अब हम 66 के समस्त गुणनखंड लिखेंगे-
±1,±2,±3\pm 1, \pm 2, \pm 3
दिए गए बहुपद में x=1x = 1 रखने पर
p(1)=(1)3−2(1)2−5(1)+6p(1) = (1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6

=1−2−5+6= 1 - 2 - 5 + 6
=−7+7=0= - 7 + 7 = 0
अर्थात् दिए गए बहुपद का (x−1)(x - 1) एक गुणनखंड है।

Polynomial Division: <span class=x3−2x2−5x+6x^3 - 2x^2 - 5x + 6 divided by (x−1)(x-1)" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
Polynomial Division: x3−2x2−5x+6x^3 - 2x^2 - 5x + 6 divided by (x−1)(x-1)

अतः x3−2x2−5x+6x^3 - 2x^2 - 5x + 6

=(x−1)(x2−x−6)= (x - 1) (x^2 - x - 6)
=(x−1)[x2−3x+2x−6]= (x - 1) [x^2 - 3x + 2x - 6]

=(x−1)[x(x−3)+2(x−3)]= (x - 1) [x(x - 3) + 2(x - 3)]
=(x−1)(x−3)(x+2)= (x - 1) (x - 3) (x + 2)

=(x−1)(x+2)(x−3)= (x - 1) (x + 2) (x - 3) उत्तर

2. गुणनखंड कीजिए- 8x3−127+125y3+10xy8x^3 - \frac{1}{27} + 125y^3 + 10xy

हल- प्रश्नानुसार 8x3−127+125y3+10xy8x^3 - \frac{1}{27} + 125y^3 + 10xy

=(2x)3+(−13)3+(5y)3−3.(2x)(−13)(5y)= (2x)^3 + (-\frac{1}{3})^3 + (5y)^3 - 3.(2x)(-\frac{1}{3})(5y)
=(2x−13+5y)[(2x)2+(−13)2+(5y)2−(2x)(−13)−(−13)(5y)−(5y)(2x)]= (2x - \frac{1}{3} + 5y) [(2x)^2 + (-\frac{1}{3})^2 + (5y)^2 - (2x)(-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{3})(5y) - (5y)(2x)]
∵a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)\because a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

=(2x−13+5y)(4x2+19+25y2+23x+53y−10xy)= (2x - \frac{1}{3} + 5y) (4x^2 + \frac{1}{9} + 25y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}y - 10xy) उत्तर

3. यदि बहुपद व्यंजक px2+5x+rpx^2 + 5x + r के गुणनखंड (x−2)(x - 2) तथा (x−12)(x - \frac{1}{2}) हों तो प्रदर्शित करो कि p=rp = r.

हल- प्रश्नानुसार f(x)=px2+5x+rf(x) = px^2 + 5x + r के दो गुणनखंड (x−2)(x - 2) तथा (x−12)(x - \frac{1}{2}) हैं।

∴f(2)=0\therefore f(2) = 0 तथा f(12)=0f(\frac{1}{2}) = 0

Logic box: <span class=∵x−2=0⇒x=2\because x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 तथा x−12=0⇒x=12x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />
Logic box: ∵x−2=0⇒x=2\because x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 तथा x−12=0⇒x=12x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

⇒p×(2)2+5×2+r=0\Rightarrow p \times (2)^2 + 5 \times 2 + r = 0 तथा p(12)2+5×12+r=0p(\frac{1}{2})^2 + 5 \times \frac{1}{2} + r = 0
⇒4p+10+r=0\Rightarrow 4p + 10 + r = 0 तथा p4+52+r=0\frac{p}{4} + \frac{5}{2} + r = 0
⇒4p+r=−10\Rightarrow 4p + r = - 10 तथा p+4r+104=0\frac{p + 4r + 10}{4} = 0
⇒4p+r=−10\Rightarrow 4p + r = - 10 तथा p+4r+10=0p + 4r + 10 = 0
⇒4p+r=−10\Rightarrow 4p + r = - 10 तथा p+4r=−10p + 4r = - 10
⇒4p+r=p+4r\Rightarrow 4p + r = p + 4r
[∵\because दोनों समीकरणों का RHS बराबर है।]
⇒3p=3r\Rightarrow 3p = 3r
⇒p=r\Rightarrow p = r (इतिसिद्धम्)

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