पाठ 3: निर्देशांक ज्यामिति

3. निर्देशांक ज्यामिति |
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न | (i) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को ( 4, 3 ) माना जा सकता है।

प्रश्नावली 3.1 | (ii) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को ( 3, 4 ) माना जा सकता है।

1. एक अन्य व्यक्ति को आप अपने अध्ययन मेज पर रखे टेबिल लैम्प की स्थिति किस तरह बताएंगे? | हल-(i) क्रॉस-स्ट्रीट पर अर्थात् (4, 3) पर पहुँचने के लिए सबसे पहले आपको उत्तर-दक्षिण दिशा में जाने वाली चौथी तथा पूर्व-पश्चिम की दिशा में जाने वाली तीसरी सड़क को चुनना पड़ेगा, तभी (4, 3) द्वारा निर्देशित क्रॉस स्ट्रीट बिन्दु से ʘ चिह्न लगाकर दर्शाया जाएगा (चित्रानुसार)।

हल-सर्वप्रथम टेबिल लैम्प को एक बिन्दु तथा मेज को एक समतल मान लो। अब मेज पर कोई भी दो लम्ब कोर | 25 सेमी. लैम्प | (ii) इसी प्रकार (3, 4) द्वारा निर्देशित बिन्दु को

कोई भी दो लम्ब कोर लीजिए। बड़े कोर से लैम्प की दूरी को माप कर अंकन कर लीजिए। मान लेते हैं कि यह दूरी 25 सेमी. है। इसी प्रक्रिया को दोहराते हुए अब छोटे कोर से लैम्प की दूरी मापकर अंकन कर लीजिए। पुनः मान लेते हैं कि यह दूरी 40 सेमी. है। अब जिस क्रम में आपने लैम्प रखा है, उसके अनुसार उसकी स्थिति को $(25,, 40)$ या $(40,, 25)$ लिखा जा सकता है।

2. (सड़क योजना) : एक नगर में दो मुख्य सड़कें हैं, जो नगर के केन्द्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समान्तर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में लगभग पाँच सड़कें हैं। 1 सेंटीमीटर = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का

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(ii) इसी प्रकार $(3,, 4)$ द्वारा निर्देशित बिन्दु को $\odot$ चिह्न द्वारा दर्शाया जाएगा।

अब तुम देखोगे कि दोनों क्रॉस-स्ट्रीट अद्वितीय रूप से प्राप्त होते हैं क्योंकि दो सन्दर्भ रेखाओं में निम्नलिखित को आपने स्थान निर्धारण के लिए प्रयोग किया है–

$$\begin{array}{c} \uparrow\text{N} \ \ \downarrow\text{S} \end{array} \qquad\text{और}\qquad \text{W}\longleftrightarrow\text{E}$$

इस प्रश्न को निम्नांकित मार्ग योजना के आधार पर हल किया जा सकता है–

दोनों की क्रॉस मार्ग नीचे आकृति में चिह्नित किए गए हैं। ये अद्वितीयतः प्राप्त किए जाते हैं क्योंकि दो सन्दर्भ रेखाओं में हमने स्थान निर्धारण के लिए दोनों का प्रयोग किया है।

दिशा में लगभग पाँच सड़क है। 1 सेंटीमीटर = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए।

आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हुई अनेक क्रॉस-स्ट्रीट (चौराहे) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉस-स्ट्रीट दो सड़कों से बनी है, जिनमें से एक उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और दूसरी पूर्व-पश्चिम की दिशा में। प्रत्येक क्रॉस-स्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता है : यदि दूसरी सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और पाँचवीं सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में जाती है और ये क्रॉसिंग पर मिलती हैं, तब इसे हम क्रॉस-स्ट्रीट (2, 5) कहेंगे। इसी परंपरा से यह ज्ञात कीजिए कि

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• मार्ग 5
• मार्ग 4
• मार्ग 3
• मार्ग 2
• मार्ग 1
• (2,5)
• (3,4)
• (4,3)
• W ← C → E
• S

प्रश्नावली 3.2

1. निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिए-

(i) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं?
(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए।
(iii) उस बिन्दु का नाम बताइए जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।

हल-(i) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं को अक्ष कहते हैं। प्राय: क्षैतिज रेखा को $x$-अक्ष तथा ऊर्ध्वाधर रेखा को $y$-अक्ष कहा जाता है।

(ii) इन दो रेखाओं अर्थात् क्षैतिज एवं ऊर्ध्वाधर के द्वारा बनाए गए प्रत्येक भाग को चतुर्थांश कहा जाता है।

(iii) वह बिन्दु जहाँ क्षैतिज एवं ऊर्ध्वाधर रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं, मूल-बिन्दु कहलाता है।

2. आकृति देखकर निम्नलिखित को लिखिए-
   (i) B के निर्देशांक
   (ii) C के निर्देशांक
   (iii) निर्देशांक $(-3, -5)$ द्वारा पहचाना गया बिन्दु
   (iv) निर्देशांक $(2, -4)$ द्वारा पहचाना गया बिन्दु
   (v) D का भुज
   (vi) बिन्दु H की कोटि
   (vii) बिन्दु L के निर्देशांक
   (viii) बिन्दु M के निर्देशांक।

हल-(i) बिन्दु B तक पहुँचने के लिए हमें मूल बिन्दु O से 5 एकक बायीं ओर तथा 2 एकक ऊपर की ओर चलना होगा। अर्थात् बिन्दु B का $x$-अक्ष पर निर्देशांक $-5$ तथा $y$-अक्ष पर निर्देशांक 2 है। अतः बिन्दु B के निर्देशांक $= (-5, 2)$

(ii) बिन्दु C पर पहुँचने के लिए हमें मूल बिन्दु O से 5 एकक दायीं ओर तथा 5 एकक नीचे की ओर चलना होगा। अर्थात् बिन्दु C का $x$-अक्ष पर निर्देशांक 5

तथा $y$-अक्ष पर $-5$ है। अतः बिन्दु $C$ के निर्देशांक $= (5, -5)$
(iii) दिए गए निर्देशांक $(-3, -5)$ द्वारा पहचाना गया बिन्दु $E$ है।
(iv) दिए गए निर्देशांक $(2, -4)$ द्वारा पहचाना गया बिन्दु $G$ है।
(v) बिन्दु $D$ का भुज अर्थात् $x$-अक्ष पर निर्देशांक $6$ है।
(vi) बिन्दु $H$ का निर्देशांक $y$-अक्ष पर $-3$ है।
(vii) बिन्दु $L$ के निर्देशांकों के लिए मूल बिन्दु $O$ से ऊर्ध्वाधर अक्ष पर ऊपर की ओर $5$ एकक तक चलेंगे। अर्थात् इस प्रश्न के अनुसार $x$-अक्ष पर निर्देशांक $0$ तथा $y$-अक्ष पर निर्देशांक $5$ एकक है। अतः बिन्दु $L$ के निर्देशांक $= (0, 5)$
(viii) बिन्दु $M$ के निर्देशांकों के लिए मूल बिन्दु $O$ से क्षैतिज अक्ष पर $3$ एकक बायीं ओर चलेंगे। अर्थात् इस प्रश्न के अनुसार $x$-अक्ष पर निर्देशांक $-3$ एकक तथा $y$-अक्ष पर निर्देशांक नीचे की ओर $0$ है। अतः बिन्दु $M$ के निर्देशांक $= (-3, 0)$ हैं।

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अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

1. $x$-अक्ष पर बिन्दु का $y$ निर्देशांक होता है-
   (A) शून्य $(0)$ (B) एक $(1)$
   (C) दो $(2)$ (D) तीन $(3)$
2. निर्देशांक $(2, 3)$ में $2$ है-
   (A) $x$-अक्ष से दूरी (B) $y$-अक्ष से दूरी
   (C) $y$ का मान (D) इनमें से कोई नहीं
3. 'कोटि' कहा जाता है-
   (A) $x$-निर्देशांक को (B) $y$-निर्देशांक को
   (C) $x'y'$ समतल को (D) $xy'$ समतल को
4. $(-2, 3)$ निर्देशांक किस चतुर्थांश में हैं?
   (A) प्रथम (B) द्वितीय
   (C) तृतीय (D) चतुर्थ
5. $(4, -3)$ निर्देशांक जिस चतुर्थांश में है, वह है-
   (A) प्रथम (B) द्वितीय
   (C) तृतीय (D) चतुर्थ
6. $x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिन्दु की कोटि है-
   (A) $0$ (B) $1$
   (C) $-1$ (D) कोई अन्य संख्या
7. बिन्दु $(4, 3)$ की मूल बिन्दु से दूरी है-
   (A) $4$ (B) $3$
   (C) $5$ (D) $7$
8. बिन्दु $(3, 4)$ का $x$-अक्ष के प्रति प्रतिबिम्ब है-
   (A) $(-3, 4)$ (B) $(3, -4)$
   (C) $(-3, -4)$ (D) $(3, 5)$
9. बिन्दु $(-6, 8)$ की मूल बिन्दु से दूरी है-
   (A) $6$ इकाई (B) $8$ इकाई
   (C) $10$ इकाई (D) $14$ इकाई
10. यदि $|x| > 0$ और $y < 0$, तब बिन्दु $(x, y)$ किस निर्देशांक में है-
    (A) I, II (B) II, III
    (C) III, IV (D) IV, I

उत्तर-तालिका

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

1. निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेद बिन्दु को ............. कहते हैं।
2. बिन्दु $(-4, 0)$ और $(7, 0)$ ........ पर स्थित हैं।
3. ............. एवं ............. चतुर्थांश में किसी बिन्दु का भुज सदैव धनात्मक होता है।
4. बिन्दु $(4, 3)$ की मूल बिन्दु से दूरी ............. इकाई है।
5. निर्देशांक ज्यामिति का जनक ............. को कहते हैं।

उत्तर- 1. मूल बिन्दु 2. $x$-अक्ष 3. प्रथम, चतुर्थ 4. $5$ 5. रेने देकार्त

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए-

1. दो बिन्दु जिनके भुज समान हैं लेकिन कोटि भिन्न हैं, एक ऐसी रेखा पर स्थित होंगे जो $y$-अक्ष के समान्तर हैं।
2. बिन्दुओं $A(2, 0)$, $B(6, 0)$ और $C(4, 6)$ द्वारा बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $14$ वर्ग इकाई है।
3. मूल बिन्दु $(0, 0)$ $x$ तथा $y$ दोनों अक्षों पर स्थित है।
4. एक बिन्दु, जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों, तृतीय चतुर्थांश में स्थित होता है।
5. वह समतल जिस पर $x$-अक्ष, $y$-अक्ष तथा मूल बिन्दु स्थित होते हैं, कार्तिक तल कहलाता है।

उत्तर- 1. सत्य 2. असत्य 3. सत्य 4. सत्य 5. सत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. निर्देशांक $(-5, 6)$ में $6$ किस अक्ष से दूरी है?

हल—$x$-अक्ष से दूरी।

2. निर्देशांक $(2, -3)$ में $2$ किस अक्ष से दूरी है?

हल—$y$-अक्ष से।

3. निर्देशांक $(5, 2)$ में $x$-निर्देशांक व $y$-निर्देशांक का मान क्या है?

हल—$x = 5, y = 2$

4. $A (-2, 3)$ किस चतुर्थांश में स्थित है?

हल—द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

5. अक्षों से किसी बिन्दु की ली गई दूरी के माप को उस बिन्दु का क्या कहा जाता है?

हल—निर्देशांक।

6. यदि बिन्दु $P(3, 0)$ तथा $Q(a, 0)$ मूल बिन्दु से समान दूरी पर स्थित हों तब $a$ का मान ज्ञात करो।

हल—बिन्दु $P$ तथा $Q$ $x$-अक्ष पर स्थित बिन्दु हैं क्योंकि दोनों की कोटि शून्य है। अतः $Q, OX'$ पर स्थित बिन्दु है जो मूल बिन्दु से $3$ इकाई दूरी पर है। इसलिए $Q$ के निर्देशांक $(-3, 0)$ है। $\therefore a = -3$ उत्तर

7. बिन्दु $P$ का प्रतिबिम्ब, $x$-अक्ष में $(7, -3)$ है तब $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल—बिन्दु $P$ का प्रतिबिम्ब $x$-अक्ष में यदि $Q(7, -3)$ है तब $Q$ का $x$-अक्ष में प्रतिबिम्ब $P$ होगा। अतः $P$ के निर्देशांक $(7, 3)$ है।

लघूत्तरात्मक एवं निबन्धात्मक प्रश्न—

1. दिया गया चित्र एक ग्राफ कागज का है, जिस पर दिए गए बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिये।

हल—(i) बिन्दु $A$ की $y$-अक्ष से दूरी $3$ सेमी. है तथा $x$-अक्ष से दूरी भी $3$ सेमी. है। अतः बिन्दु $A$ के निर्देशांक = $(3, 3)$ हैं।

(ii) बिन्दु $B$ की $y$-अक्ष से दूरी $6$ सेमी. तथा बिन्दु $B$ की $x$-अक्ष से दूरी $1$ सेमी. अतः बिन्दु $B$ के निर्देशांक = $(6, 1)$ हैं।
(iii) बिन्दु $C$ की $y$-अक्ष से दूरी $-2$ सेमी. तथा बिन्दु $C$ की $x$-अक्ष से दूरी $-4$ सेमी. अतः बिन्दु $C$ के निर्देशांक = $(-2, -4)$
(iv) बिन्दु $D$ की $y$-अक्ष से दूरी $-3$ सेमी. तथा बिन्दु $D$ की $x$-अक्ष से दूरी $5$ सेमी. अतः बिन्दु $D$ के निर्देशांक = $(-3, 5)$
(v) बिन्दु $E$ की $y$-अक्ष से दूरी $3$ सेमी. तथा बिन्दु $E$ की $x$-अक्ष से दूरी $-4$ सेमी. अतः बिन्दु $E$ के निर्देशांक = $(3, -4)$
अतः दिए गए ग्राफ पर बिन्दुओं के निर्देशांक $A (3, 3), B (6, 1), C (-2, -4), D (-3, 5)$ व $E (3, -4)$ हैं। उत्तर

2. दिए गए ग्राफ पेपर पर $A$ और $B$ बिन्दु के निर्देशांक लिखिए। $A$ व $B$ को मिलाने वाली रेखा निर्देशी अक्षों को क्रमशः $P$ तथा $Q$ पर काटती है। $P$ व $Q$ के निर्देशांक भी लिखिए।

हल—बिन्दु $A$ की $y$-अक्ष से दूरी = $-1$ सेमी.

बिन्दु $A$ की $x$-अक्ष से दूरी = $4$ सेमी.
बिन्दु $A$ के निर्देशांक = $(-1, 4)$
बिन्दु $B$ की $y$-अक्ष से दूरी = $2$ सेमी.

बिन्दु $B$ की $x$-अक्ष से दूरी $= 1$ सेमी.
बिन्दु $B$ के निर्देशांक $= (2, 1)$
बिन्दु $P$ की $y$-अक्ष से दूरी $= 3$ सेमी.
बिन्दु $P$ की $x$-अक्ष से दूरी $= 0$ सेमी.
बिन्दु $P$ के निर्देशांक $= (3, 0)$
बिन्दु $Q$ की $y$-अक्ष से दूरी $= 0$ सेमी.
बिन्दु $Q$ की $x$-अक्ष से दूरी $= 3$ सेमी.
बिन्दु $Q$ के निर्देशांक $= (0, 3)$
अतः $A, B, P, Q$ के निर्देशांक $A(-1, 4), B(2, 1), P(3, 0)$ व $Q(0, 3)$ हैं। उत्तर

3. दिया गया चित्र एक ग्राफ कागज का है, जिसके आधार पर निम्नलिखित को लिखिए-
(i) बिन्दु $A$ के निर्देशांक
(ii) बिन्दु $C$ के निर्देशांक
(iii) बिन्दु $D$ का भुज
(iv) बिन्दु $E$ के निर्देशांक
(v) निर्देशांक $(-6, -2)$ द्वारा पहचाना गया बिन्दु
(vi) बिन्दु $F$ की कोटि

हल-(i) बिन्दु $A$ की $y$-अक्ष से लांबिक दूरी $+4$ व $x$-अक्ष से दूरी $+3$ है अतः बिन्दु $A$ के निर्देशांक $(4, 3)$ हैं।

(ii) बिन्दु $C$ के निर्देशांक $(-6, 0)$ हैं।
(iii) $X$ निर्देशांक को भुज कहा जाता है अतः बिन्दु $D$ का भुज $0$ है।
(iv) बिन्दु $E, x$-अक्ष पर स्थित है, इसके निर्देशांक $(4, 0)$ हैं।
(v) बिन्दु $B, III$ चतुर्थांश में स्थित है, इसके निर्देशांक $(-6, -2)$ हैं।
(vi) $Y$ निर्देशांक को कोटि कहा जाता है। बिन्दु $F$ की कोटि $+3$ है।

4. निम्नांकित आकृति में अक्षों पर अंकित बिन्दुओं के निर्देशांक लिखिए-

हल-आप यहाँ देख सकते हैं कि-

(i) बिन्दु $A, y$-अक्ष से $+4$ एकक की दूरी पर है और $x$-अक्ष से दूरी $0$ पर है। अतः बिन्दु $A$ का $x$-निर्देशांक $4$ है और $y$-निर्देशांक $0$ है। इसलिए $A$ के निर्देशांक $(4, 0)$ हैं।
(ii) $B$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
(iii) $C$ के निर्देशांक $(-5, 0)$ हैं।
(iv) $D$ के निर्देशांक $(0, -4)$ हैं।
(v) $E$ के निर्देशांक $(\frac{2}{3}, 0)$ हैं।

5. कार्तीय पद्धति में एक बिन्दु के निर्देशांकों में लगे चिह्नों और उस बिन्दु के चतुर्थांश जिसमें वह स्थित है, के बीच सम्बन्धों को स्पष्ट कीजिए।

हल-कार्तीय पद्धति में $X$ व $Y$ दोनों अक्ष, तल को चार भागों में विभाजित करती हैं। इन चार भागों को चतुर्थांश कहा जाता है। $OX$ से वामावर्त दिशा में इन्हें $I, II, III$ और $IV$ चतुर्थांश कहा जाता है। कार्तीय तल में दोनों अक्ष व चारों चतुर्थांश सम्मिलित हैं।