पाठ 4: दो चरों वाले रैखिक समीकरण

+)
अक्ष
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अक्ष
, -)
x-अक्ष
+)
अक्ष

अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष से परिबद्ध है।

4. दो चरों वाले रैखिक समीकरण

--- पाठ्यपुस्तक के प्रश्न ---

प्रश्नावली 4.1

1. एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।

हल - प्रश्नानुसार मान लिया कि एक नोटबुक की कीमत $x$ रुपए है तथा एक कलम की कीमत $y$ रुपए है। अतः उपर्युक्त प्रश्न में दिए कथन को निरूपित करने वाला कथन होगा-

एक नोटबुक की कीमत = $2 \times$ एक कलम की कीमत

इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर .....(i)

$2x + 3y - 9.3\bar{5} = 0$

या $2x + 3y + (- 9.3\bar{5}) = 0$.....(ii)

अब दोनों समीकरणों के अचर पदों की तुलना करने पर

$a = 2, b = 3$ तथा $c = - 9.3\bar{5}$ उत्तर

(ii) प्रश्नानुसार $x - \frac{y}{5} - 10 = 0$

या $1 \cdot x + \left(-\frac{1}{5}\right) y + (- 10) = 0$

इस समीकरण की $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर

एक नोटबुक की कीमत = 2 × एक कलम
की कीमत
$x = 2y$
या $x - 2y = 0$ उत्तर

2. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में $a, b$ और $c$ के मान बताइए-

(i) $2x + 3y = 9.3\bar{5}$
(ii) $x - \frac{y}{5} - 10 = 0$
(iii) $-2x + 3y = 6$
(iv) $x = 3y$
(v) $2x = -5y$
(vi) $3x + 2 = 0$
(vii) $y - 2 = 0$
(viii) $5 = 2x$

हल-(i) प्रश्नानुसार $2x + 3y = 9.3\bar{5}$

इस समीकरण की $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर
$a = 1, b = -\frac{1}{5}$ तथा $c = -10$ उत्तर

(iii) प्रश्नानुसार $-2x + 3y = 6$
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर
.....(i)
$-2x + 3y - 6 = 0$
या $(-2) x + 3y + (-6) = 0$ .....(ii)
अब दोनों समीकरणों के अचर पदों की तुलना करने पर
$a = -2, b = 3$ तथा $c = -6$ उत्तर

(iv) प्रश्नानुसार $x = 3y$

644

इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर
.....(i)
$x - 3y = 0$
या $1 . x + (- 3) y + 0 = 0$ .....(ii)
अब दोनों समीकरणों के अचर पदों की तुलना करने पर
$a = 1, b = - 3$ तथा $c = 0$ उत्तर

(v) प्रश्नानुसार $2x = - 5y$
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर
.....(i)
$2x + 5y = 0$
या $2x + 5y + 0 = 0$ .....(ii)
अब दोनों समीकरणों के अचर पदों की तुलना करने पर
$a = 2, b = 5$ तथा $c = 0$ उत्तर

(vi) प्रश्नानुसार $3x + 2 = 0$
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर
.....(i)
$3x + 0 . y + 2 = 0$ .....(ii)
अब दोनों समीकरणों के अचर पदों की तुलना करने पर
$a = 3, b = 0, c = 2$ उत्तर

(vii) प्रश्नानुसार $y - 2 = 0$
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर
.....(i)
$y - 2 = 0$
या $0 . x + 1 . y + (- 2) = 0$ .....(ii)
अब दोनों समीकरणों के अचर पदों की तुलना करने पर
$a = 0, b = 1$ तथा $c = - 2$ उत्तर

(viii) प्रश्नानुसार $5 = 2x$
इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर
.....(i)
$5 - 2x = 0$
या $(- 2) x + 0 . y + 5 = 0$ .....(ii)
अब दोनों समीकरणों के अचर पदों की तुलना करने पर
$a = - 2, b = 0$ तथा $c = 5$ उत्तर

प्रश्नावली 4.2

1. निम्नलिखित विकल्पों में कौनसा विकल्प सत्य है और क्यों?

$y = 3x + 5$ का
(i) एक अद्वितीय हल है

(ii) केवल दो हल हैं

(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

हल-प्रश्न में दिए गए विकल्पों में से (iii) ही सत्य है क्योंकि $x$ के प्रत्येक मान के लिए $y$ का भी एक संगत मान होता है तथा विलोमत: भी। अतः उपर्युक्त दिए गए समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

प्रमाणीकरण-(i) माना कि $x = 0$ तो
$y = 3.0 + 5$
$\Rightarrow y = 0 + 5$
$\Rightarrow y = 5$
अतः इस समीकरण का एक हल $x = 0, y = 5$ है।

(ii) माना कि $x = 1$ हो तो
$y = 3.1 + 5$
$\Rightarrow y = 3 + 5$
$\Rightarrow y = 8$
अतः इस समीकरण का एक हल $x = 1, y = 8$ भी है।

(iii) माना कि $x = - 3$ तो
$y = 3 . (- 3) + 5$
$\Rightarrow y = - 9 + 5$
$\Rightarrow y = - 4$
अतः इस समीकरण का हल $x = - 3$ व $y = - 4$ भी है।

इसी प्रकार यह कहा जा सकता है कि $x$ या $y$ के विभिन्न मान प्रतिस्थापित करके उसके संगत $y$ या $x$ का मान ज्ञात कर दी गई समीकरण के अपरिमित हल प्राप्त कर सकते हैं।

2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए-

(i) $2x + y = 7$
(ii) $\pi x + y = 9$
(iii) $x = 4y$

हल-(i) प्रश्नानुसार $2x + y = 7$

या $y = 7 - 2x$
यदि $x = 0$ हो तो $y = 7 - 2(0) = 7 - 0 = 7$
जब $x = 1$ हो तो $y = 7 - 2(1) = 7 - 2 = 5$
जब $x = 2$ हो तो $y = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3$
जब $x = - 1$ हो तो $y = 7 - 2 . (- 1)$

$= 7 + 2 = 9$
अतः समीकरण $2x + y = 7$ के अपरिमित रूप

---

से अनेक हलों में से चार हल $(0, 7), (1, 5), (2, 3)$ तथा $(- 1, 9)$ हैं।

(ii) $\pi x + y = 9$
या $y = 9 - \pi x$
यदि $x = 0$ हो तो $y = 9 - \pi \cdot 0 = 9 - 0 = 9$
यदि $x = 2$ हो तो $y = 9 - \pi \cdot 2 = 9 - 2\pi$
यदि $x = \frac{9}{\pi}$ हो तो $y = 9 - \pi \cdot \frac{9}{\pi} = 9 - 9 = 0$
यदि $x = - 1$ हो तो $y = 9 - (- 1)\pi = 9 + \pi$
अतः समीकरण $\pi x + y = 9$ के अपरिमित रूप से अनेक हलों में से चार हल $(0, 9), (2, 9 - 2\pi)$, $(\frac{9}{\pi}, 0)$ तथा $(- 1, 9 + \pi)$ हैं।

(iii) प्रश्नानुसार $x = 4y$
या $y = \frac{x}{4}$
यदि $x = 0$ हो तो $y = \frac{0}{4} = 0$
यदि $x = 1$ हो तो $y = \frac{1}{4}$
यदि $x = 4$ हो तो $y = \frac{4}{4} = 1$
यदि $x = - 4$ हो तो $y = \frac{- 4}{4} = - 1$
अतः समीकरण $x = 4y$ के अपरिमित रूप से अनेक हलों में से चार हल $(0, 0), (1, \frac{1}{4}), (4, 1)$ तथा $(- 4, - 1)$ हैं।

3. बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण $x - 2y = 4$ के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं-

(i) $(0, 2)$
(ii) $(2, 0)$
(iii) $(4, 0)$
(iv) $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$
(v) $(1, 1)$

हल-(i) प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में $(0, 2)$ अर्थात् $x = 0$ तथा $y = 2$ रखने पर

$\therefore$ L.H.S. $= x - 2y$

$= 0 - 2 \cdot (2)$
$= - 4 \neq$ R.H.S.
$\therefore x = 0$ तथा $y = 2$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(ii) प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में $(2, 0)$ अर्थात् $x = 2$ तथा $y = 0$ रखने पर

$\therefore$ L.H.S. $= x - 2y$

$= 2 - 2.0$
$= 2 \neq$ R.H.S.
$\therefore x = 2$ तथा $y = 0$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(iii) प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में $(4, 0)$ अर्थात् $x = 4$ एवं $y = 0$ रखने पर
$\therefore$ L.H.S. $= x - 2y$

$= 4 - 2.0$
$= 4 =$ R.H.S.
$\therefore x = 4$ तथा $y = 0$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल है।

(iv) प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ अर्थात् $x = \sqrt{2}$ तथा $y = 4\sqrt{2}$ रखने पर
L.H.S. $= x - 2y$

$= \sqrt{2} - 2 \cdot 4\sqrt{2}$
$= \sqrt{2} - 8\sqrt{2}$

$= - 7\sqrt{2} \neq$ R.H.S.
$\therefore x = \sqrt{2}$ तथा $y = 4\sqrt{2}$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

(v) प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में $(1, 1)$ अर्थात् $x = 1$ तथा $y = 1$ रखने पर
L.H.S. $= x - 2y$

$= 1 - 2.1$
$= - 1 \neq$ R.H.S.
$\therefore x = 1$ तथा $y = 1$ समीकरण $x - 2y = 4$ का हल नहीं है।

4. $k$ का मान ज्ञात कीजिए जबकि $x = 2, y = 1$ समीकरण $2x + 3y = k$ का एक हल हो।

हल- यदि $x = 2$ तथा $y = 1$ समीकरण $2x + 3y = k$ का एक हल है तो ये मान समीकरण में रखने पर अवश्य ही समीकरण सन्तुष्ट होगा अर्थात्

$2x + 3y = k$
या $k = 2x + 3y$

$= 2 \cdot (2) + 3 \cdot (1)$
$= 4 + 3$

$= 7$
अतः $k$ का अभीष्ट मान $7$ है। उत्तर

---

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

प्रश्न [1]. यदि $y = 2x - 3$ तथा $y = 5$ हो तो $x$ का मान होगा-
(A) $1$ (B) $2$
(C) $3$ (D) $4$

प्रश्न [2]. यदि $2x + y = 6$ हो तो इसको संतुष्ट करने वाला युग्म है-
(A) $(1, 2)$ (B) $(2, 1)$
(C) $(2, 2)$ (D) $(1, 1)$

प्रश्न [3]. यदि $\frac{4}{x} + 5y = 7$ तथा $x = -\frac{4}{3}$ हो तो $y$ का मान होगा-
(A) $\frac{37}{15}$ (B) $2$
(C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{1}{3}$

प्रश्न [4]. समीकरण $x + y = 6$ और $y - 2 = 2$ में $x$ बराबर होगा-
(A) $8$ (B) $4$
(C) $6$ (D) $2$

प्रश्न [5]. यदि $(4, 20)$, समीकरण $y = ax + 4$ का एक हल है तब $a =$

(A) $3$ (B) $4$
(C) $5$ (D) $6$

प्रश्न [6]. $0^{\circ}$ सेल्सियस तापमान फारेनहाइट में होगा-
(A) $30^{\circ}\text{F}$ (B) $32^{\circ}\text{F}$
(C) $34^{\circ}\text{F}$ (D) $38^{\circ}\text{F}$

प्रश्न [7]. समीकरण $y = -5$ को दो चरों के रूप में लिख सकते हैं-
(A) $1.x + 1.y = -5$
(B) $1.x + 0.y = -5$
(C) $0.x + 1.y + 5 = 0$
(D) $0.x + 1.y = 5$

प्रश्न [8]. यदि $x = k + 1, y = 2k - 1$ समीकरण $3x - 2y + 7 = 0$ का एक हल है तब $k$ का मान है-

(A) $10$ (B) $6$
(C) $4$ (D) $12$

प्रश्न [9]. यदि $(4, 19)$ समीकरण $y = ax + 3$ का एक हल है तब $a =$

(A) $3$ (B) $4$
(C) $5$ (D) $6$

प्रश्न [10]. यदि $(2k - 1, k)$ समीकरण $10x - 9y = 23$ का एक हल है तब $k =$

(A) $1$ (B) $2$
(C) $3$ (D) $4$

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उत्तर-तालिका

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रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

1. $ax + by + c = 0$ के रूप के समीकरण को, जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ और $b$ दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों वाला ........... समीकरण कहते हैं।
2. दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक ........... होते हैं।
3. यदि $ax = b$ है तब $x = \frac{b}{a}$ इसका ........ है।
4. समीकरण $4x - y - 3 = 0$ में $x = -1$ रखने पर $y = .............$ प्राप्त होता है।
5. समीकरण $y = x$ के हल सदैव ............. रूप के होते हैं।

उत्तर- 1. रैखिक 2. हल 3. हल 4. $-7$ 5. $(a, a)$

---

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए-

1. यदि $(4, 20)$ समीकरण $y = ax + 4$ का एक हल है तब $a = 6$ है।

2. यदि $(a, 4)$ $3x + y = 10$ का हल है तब $a = 3$ है।

3. दो चरों की रैखिक समीकरण का रूप $ax + by + c = 0$ होता है। जहाँ $a \neq 0$ तथा $b = 0$

4. यदि $(3, 0)$ रैखिक समीकरण $2x + 3y = k$ का हल है तब $k$ का मान $6$ है।

5. समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जा सकती है।

उत्तर- 1. असत्य 2. असत्य 3. असत्य 4. सत्य 5. सत्य

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अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न [1]. यदि दो अंकों वाली एक संख्या में इकाई का अंक $b$ तथा दहाई का अंक $a$ हो तो संख्या लिखिए।

हल- संख्या $(10a + b)$ होगी। उत्तर

2. एक संख्या $x$ का दुगुना $y$ से $24$ अधिक है। इस वाक्य को प्रकट करने वाला समीकरण लिखिए।

हल- $2x - y = 24$

3. यदि एक भिन्न के अंश और हर में $1$ जोड़ते हैं तो भिन्न का मान $\frac{1}{2}$ हो जाता है। इसे समीकरण में कैसे लिखेंगे?

हल- माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है।

$\frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{2}$ उत्तर

4. समीकरण $3x - 2y + 7 = 0$ में $x$ का मान $5$ हो तो $y$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल- $3 \times 5 - 2y + 7 = 0$

या $2y = 15 + 7$
या $y = \frac{22}{2} = 11$
अतः: $y = 11$ उत्तर

5. समीकरण $2x + y = 3$ में $y$ का मान $7$ हो तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल- $2x + y = 3$

या $2x + 7 = 3$ या $2x = 3 - 7$
या $x = \frac{-4}{2} = -2$
या $x = -2$ उत्तर

6. $p$ का मान लिखिए जबकि $x = 3, y = -2$ समीकरण $5x + 6y = p$ को सन्तुष्ट करते हों।

हल- दिया समीकरण

$5x + 6y = p$
$\therefore 5 \times 3 + 6 \times (-2) = p$
$15 - 12 = p$
$\therefore p = 3$ उत्तर

7. यदि एक शहर में ऑटो रिक्शा का किराया प्रथम किलोमीटर के लिए ₹ $11$ तथा इससे आगे की दूरी के लिए ₹ $5$ प्रति किमी है। इसे रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल- माना कि कुल दूरी $x$ किमी. तय की गई। तथा कुल किराया $y$ है। तब प्रथम किमी के लिए ₹ $11$ तथा इससे आगे $(x - 1)$ किमी के लिए ₹ $5$ प्रति किमी है तब

$\Rightarrow y = 5(x - 1) + 11$
$\Rightarrow y = 5x - 5 + 11$
$\Rightarrow y = 5x + 6$ उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न-
1. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक के दो हल ज्ञात कीजिए-

(i) $4x + 3y = 24$
(ii) $7x + 9y = 0$

हल-(i) $x = 0$ लेने पर

$4 \times 0 + 3y = 24$
$\Rightarrow 0 + 3y = 24$
$\Rightarrow 3y = 24 \therefore y = \frac{24}{3}$
$y = 8$
अतः: $(0, 8)$ समीकरण का हल है।

$y = 0$ लेने पर
$4x + 3 \times 0 = 24$
$\Rightarrow 4x + 0 = 24$
$4x = 24 \therefore y = \frac{24}{4}$
$x = 6$
अतः: $(6, 0)$ समीकरण का हल है।

समीकरण $4x + 3y = 24$ के दो हल $(0, 8)$ और $(6, 0)$ होंगे।

(ii) $x = 0$ लेने पर,
$7 \times 0 + 9y = 0$
$0 + 9y = 0$
$9y = 0 \therefore y = 0$
अतः: $(0, 0)$ समीकरण का हल है।

$x = 1$ लेने पर
$7 \times 1 + 9y = 0$
$7 + 9y = 0$
$9y = 0 - 7 = -7$
$\Rightarrow y = \frac{-9}{7}$
अतः: $(1, \frac{-9}{7})$ समीकरण का हल है।

अतः दिये गये समीकरण के दो हल $(0, 0)$ और $(1, \frac{-9}{7})$ होंगे।

2. यदि $x = 1$ तथा $y = 1$ दो समीकरणों $2x - 3ay + a^2 = 0$ तथा $4x - 5ay + a^2 = 0$ के हल हैं तब $a$ का मान ज्ञात करो?

हल— दी गई समीकरण हैं-

$$2x - 3ay + a^2 = 0 \quad \text{...(1)}$$
$$4x - 5ay + a^2 = 0 \quad \text{...(2)}$$

$x = 1$ तथा $y = 1$ उपरोक्त दोनों समीकरणों का हल हैं तब

$$2(1) - 3a(1) + a^2 = 0$$
$$\Rightarrow \quad a^2 - 3a + 2 = 0$$
$$\Rightarrow \quad (a - 1)(a - 2) = 0$$
$$\Rightarrow \quad a = 1 \text{ तथा } a = 2 \quad \text{...(3)}$$

इसी प्रकार,
$$4(1) - 5a(1) + a^2 = 0$$
$$\Rightarrow \quad a^2 - 5a + 4 = 0$$
$$\Rightarrow \quad (a - 1)(a - 4) = 0$$
$$\Rightarrow \quad a = 1 \text{ तथा } a = 4 \quad \text{...(4)}$$

(3) तथा (4) से $a = 1$ उत्तर

3. यदि $x = 1; y = 2$ समीकरण $a^2x + ay = 3$ के हल हों तो $a$ का मान ज्ञात करो?

हल— दिया है कि $x = 1, y = 2$ समीकरण $a^2x + ay = 3$ का हल हैं तब

$$a^2 \times 1 + a \times 2 = 3$$
$$\Rightarrow \quad a^2 + 2a = 3$$
$$\Rightarrow \quad a^2 + 2a - 3 = 0$$
$$\Rightarrow \quad a^2 + 3a - a - 3 = 0$$
$$\Rightarrow \quad a(a + 3) - (a + 3) = 0$$
$$\Rightarrow \quad (a + 3)(a - 1) = 0$$
$$\Rightarrow \quad a = -3, 1 \text{ उत्तर}$$

4. (i) एक पेन की कीमत एक पेन्सिल की कीमत से 20 ₹ अधिक है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।
   (ii) यदि $(p, 2p + 1)$ रैखिक समीकरण $4x + 3y = 23$ का एक हल हो तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

(iii) यदि $5x + 2y = 25$ है तो इसे $y$ के पदों में लिखिए तथा इस समीकरण के 2 हल ज्ञात कीजिए।

(iv) यदि एक भिन्न के अंश में 2 घटाएँ व हर में 3 जोड़ें तो भिन्न का मान $\frac{1}{4}$ हो जाता है। इस स्थिति

को निरूपित करने के लिए रैखिक समीकरण लिखिए तथा इसके दो हल ज्ञात कीजिए।

हल— (i) माना एक पेन की कीमत ₹ $x$ तथा एक पेन्सिल की कीमत ₹ $y$ है।

प्रश्नानुसार एक पेन की कीमत = एक पेन्सिल की कीमत + 20
$$\Rightarrow \quad x = y + 20$$
$$\Rightarrow \quad x - y = 20$$

(ii) $(p, 2p + 1)$ रैखिक समीकरण $4x + 3y = 23$ का हल है अतः:

$$4(p) + 3(2p + 1) = 23$$
$$\Rightarrow \quad 4p + 6p + 3 = 23$$
$$\Rightarrow \quad 10p = 23 - 3$$
$$\Rightarrow \quad 10p = 20$$
$$\Rightarrow \quad p = \frac{20}{10} = 2$$

अतः $p$ का मान $2$ है।

(iii) $5x + 2y = 25$
$$\Rightarrow \quad 2y = 25 - 5x$$
$$\Rightarrow \quad y = \frac{25 - 5x}{2}$$

जब $x = 1$ तो $y = \frac{25 - 5(1)}{2}$
$$= \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

जब $x = 3$ तो $y = \frac{25 - 5(3)}{2}$
$$= \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

अतः समीकरण के दो हल $(1, 10)$ व $(3, 5)$ हैं।

(iv) माना भिन्न का अंश $x$ व हर $y$ है।
$$\text{अतः भिन्न } = \frac{x}{y}$$

प्रश्नानुसार $\frac{x - 2}{y + 3} = \frac{1}{4}$
$$\Rightarrow \quad 4(x - 2) = 1(y + 3)$$
$$\Rightarrow \quad 4x - 8 = y + 3$$
$$\Rightarrow \quad y = 4x - 8 - 3$$
$$\Rightarrow \quad y = 4x - 11$$

जब $x = 5$ हो तो $y = 4(5) - 11$
$$= 20 - 11 = 9$$

जब $x = 4$ हो तो $y = 4(4) - 11$
$$= 16 - 11 = 5$$

अतः अभीष्ट दो हल $(5, 9)$ व $(4, 5)$ हैं।

निबन्धात्मक प्रश्न-

1. समीकरणों $2x + 5y = 10$ और $2x + 3y = 6$ के $x = a, y = 0$ और $x = 0, y = b$ रूप के हल ज्ञात करो। क्या उनमें कोई उभयनिष्ठ हल है?

हल- समीकरण $2x + 5y = 10$ में $x = 0$ रखने पर,

$\Rightarrow 2 \times 0 + 5 \times y = 10$
$\Rightarrow 5y = 10$
$\Rightarrow y = 2$
इस प्रकार $x = 0$ और $y = 2$, समीकरण $2x + 5y = 10$ का हल है। इसी प्रकार $y = 0$ समीकरण $2x + 5y = 10$ में रखने पर

$\Rightarrow 2x + 5 \times 0 = 10$
$\Rightarrow 2x = 10$
$\Rightarrow x = 5$
इस प्रकार $x = 5$ और $y = 0$, समीकरण $2x + 5y = 10$ का हल है। इस प्रकार $x = 5, y = 0$ तथा $x = 0, y = 2$ समीकरण $2x + 5y = 10$ के दो हल हैं।

अब समीकरण $2x + 3y = 6$ में $x = 0$ रखने पर
$\Rightarrow 2 \times 0 + 3 \times y = 6$
$\Rightarrow 3y = 6$
$\Rightarrow y = 2$
इसलिए, $x = 0, y = 2$ समीकरण $2x + 3y = 6$ का हल है।

पुनः समीकरण $2x + 3y = 6$ में $y = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 2x + 3 \times 0 = 6$
$\Rightarrow 2x = 6$
$\Rightarrow x = 3$
इस प्रकार, $x = 0, y = 2$ और $x = 3, y = 0$ समीकरण $2x + 3y = 6$ के दो हल हैं।

स्पष्ट है कि $x = 0, y = 2$ दी गई समीकरणों के उभयनिष्ठ हल हैं।

2. समीकरण $\pi x + y = 9$ के चार हल लिखिए।

हल- दी गई समीकरण है: $\pi x + y = 9$

समीकरण में $x = 0$ रखने पर
$\pi \times 0 + y = 9 \Rightarrow 0 + y = 9 \Rightarrow y = 9$
अतः $(0, 9)$ दी गई समीकरण के हल है।

पुनः $x = 1$ को दी गई समीकरण में रखने पर
$\pi \times 1 + y = 9 \Rightarrow \pi + y = 9 \Rightarrow y = 9 - \pi$
अतः $(1, 9 - \pi)$ दी गई समीकरण का एक हल है।

इसी प्रकार $x = -1$ तथा $x = 2$ रखने पर क्रमशः $y = 9 + \pi$ तथा $y = 9 - 2\pi$ प्राप्त होता है। अतः $(-1, 9 + \pi)$ और $(2, 9 - 2\pi)$ दी गई समीकरण के दो हल हैं।

3. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में $a, b$ और $c$ के मान बताइए-
(i) $3x + 5y = -8$
(ii) $-5x - 3y = -4$
(iii) $\frac{x}{2} - y = 6$
(iv) $6x = y$
(v) $x = -9y$
(vi) $5x + 4 = 0$

हल-(i) प्रश्नानुसार $3x + 5y = -8$

इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर-
$3x + 5y + 8 = 0$
अब अचर पदों की तुलना करने पर-
$a = 3, b = 5$ तथा $c = 8$

(ii) प्रश्नानुसार $-5x - 3y = -4$
या $-5x - 3y + 4 = 0$
इस समीकरण की $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर-
$a = -5, b = -3$ तथा $c = 4$

(iii) दी गई समीकरण $\frac{x}{2} - y = 6$
या $\frac{x}{2} - y - 6 = 0$
इस समीकरण की $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर-
$a = \frac{1}{2}, b = -1$ तथा $c = -6$

(iv) दी गई समीकरण $6x = y$
या $6x - y + 0 = 0$
इस समीकरण की $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर-
$a = 6, b = -1$ तथा $c = 0$

(v) दी गई समीकरण $x = -9y$ या $x + 9y + 0 = 0$
इस समीकरण की $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर-
$a = 1, b = 9$ तथा $c = 0$

(vi) दी गई समीकरण $5x + 4 = 0$
या $5x + 0.y + 4 = 0$
इस समीकरण की $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर-
$a = 5, b = 0$ तथा $c = 4$