पाठ 6: रेखाएँ और कोण

इसलिए, आपको सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है; अर्थात् $AB = AC = BC$ है।
अब, $AB = AC$, क्योंकि ये एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। (1)
इसी प्रकार, $AB = BC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) (2)
उपर्युक्त दोनों तथ्यों और यूक्लिड के पहले अभिगृहीत (वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं एक-दूसरे के बराबर होती हैं) से आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $AB = BC = AC$ है।

अतः, $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
ध्यान दीजिए कि यहाँ यूक्लिड ने, बिना कहीं बताए, यह मान लिया है कि केन्द्रों $A$ और $B$ को लेकर खींचे गए वृत्त परस्पर एक बिन्दु पर मिलेंगे।

2. चित्र में यदि $M$ व $N$ क्रमशः $AB$ व $BC$ के मध्य बिन्दु हैं।
(i) यदि $AB = BC$ है तो दर्शाइये कि $AM = NC$
(ii) यदि $BM = BN$ है तो दर्शाइये कि $AB = BC$

हल-(i) दिया है-$AB = BC$ ...(i)

$AB$ का मध्य बिन्दु $M$ है, अतः:
$AM = MB = \frac{1}{2}AB$ ...(ii)
$BC$ का मध्य बिन्दु $N$ है, अतः:
$BN = NC = \frac{1}{2}BC$ ...(iii)
अभिगृहीत के अनुसार एक ही वस्तुओं के आधे परस्पर बराबर होते हैं।
पुनः: $AB = BC$ ...(i)
दोनों तरफ $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर-
$\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC$
$\Rightarrow AM = NC$
[समीकरण (ii) व (iii) से]

(ii) दिया है $BM = BN$ ...(i)
दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर-
$2BM = 2BN$ ...(ii)
$\therefore M, AB$ का मध्य बिन्दु है अतः:
$AM = BM = \frac{1}{2}AB$
$\Rightarrow 2BM = AB$ ...(iii)
$\therefore N, BC$ का मध्य बिन्दु है अतः:
$NC = BN = \frac{1}{2}BC$
$\Rightarrow 2BN = BC$ ...(iv)
$\therefore$ (ii), (iii) व (iv) से-
$AB = BC$

---

6. रेखाएँ और कोण

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 6.1

1. आकृति में, रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle AOC + \angle BOE = 70^{\circ}$ और $\angle BOD = 40^{\circ}$ है, तो $\angle BOE$ और प्रतिवर्ती $\angle COE$ ज्ञात कीजिए।

हल-आकृति के अनुसार

$\angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^{\circ}$
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या $(\angle AOC + \angle BOE) + \angle COE = 180^{\circ}$
या $70^{\circ} + \angle COE = 180^{\circ}$
या $\angle COE = 180^{\circ} - 70^{\circ}$
$\angle COE = 110^{\circ}$ उत्तर

$\therefore$ प्रतिवर्ती $\angle COE = 360^{\circ} - \angle COE$

$= 360^{\circ} - 110^{\circ}$
$= 250^{\circ}$
पुनः: $\angle COE + \angle BOE + \angle BOD = 180^{\circ}$
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या $110^{\circ} + \angle BOE + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
या $\angle BOE = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 40^{\circ}$

या $\angle BOE = 30^{\circ}$ उत्तर

2. आकृति में, रेखाएँ $XY$ और $MN$ बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle POY = 90^{\circ}$ और $a : b = 2 : 3$ है, तो $c$ ज्ञात कीजिए।

हल-चित्रानुसार

$\angle POX + \angle POY = 180^{\circ}$ (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या $\angle POX + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
या $\angle POX = 180^{\circ} - 90^{\circ}$
या $\angle POX = 90^{\circ}$
अब मान लिया कि $a = 2k$ और $b = 3k$ जहाँ $k$ अचर है और $k > 0$
$\angle POX = 90^{\circ}$
या $a + b = 90^{\circ}$
या $2k + 3k = 90^{\circ}$
या $5k = 90^{\circ}$
या $k = \frac{90}{5} = 18^{\circ}$
अतः: $a = 2k$ तथा $b = 3k$
या $a = 2 \times 18^{\circ}$ या $b = 3 \times 18^{\circ}$
या $a = 36^{\circ}$ या $b = 54^{\circ}$
अब पुनः: $\angle MOX + \angle NOX = 180^{\circ}$ (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या $b + c = 180^{\circ}$
या $54^{\circ} + c = 180^{\circ}$
या $c = 180^{\circ} - 54^{\circ}$
या $c = 126^{\circ}$
अतः अभीष्ट $c$ का माप $= 126^{\circ}$ उत्तर

3. आकृति में, यदि $\angle PQR = \angle PRQ$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle PQS = \angle PRT$ है।

हल-प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार

$\angle PQS + \angle PQR = 180^{\circ}$ .....(i) (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
तथा $\angle PRT + \angle PRQ = 180^{\circ}$ .....(ii) (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
अब समीकरण (i) व (ii) के अनुसार
$\angle PQS + \angle PQR = \angle PRT + \angle PRQ$ .....(iii)
लेकिन प्रश्न में दिया है $\angle PQR = \angle PRQ$
$\therefore$ समीकरण (iii) को इस प्रकार लिखा जा सकता है-
$\angle PQS + \angle PQR = \angle PRT + \angle PQR$
या $\angle PQS = \angle PRT + \angle PQR - \angle PQR$
या $\angle PQS = \angle PRT$ (इति सिद्धम्)

4. आकृति में, यदि $x + y = w + z$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $AOB$ एक रेखा है।

हल-प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार

$\angle AOC + \angle BOC + \angle DOB + \angle AOD = 360^{\circ}$
या $x + y + w + z = 360^{\circ}$
या $x + y + x + y = 360^{\circ}$ [$\because x + y = w + z$ प्रश्न में दिया है]
या $2x + 2y = 360^{\circ}$
या $2(x + y) = 360^{\circ}$
या $x + y = \frac{360}{2} = 180^{\circ}$
या $x + y = 180^{\circ}$ ($\because$ ये रैखिक युग्म हैं)
या $\angle BOC + \angle AOC = 180^{\circ}$
इससे यह प्रदर्शित होता है कि $OC, \angle AOC$ और $\angle BOC$ की उभयनिष्ठ भुजा है जो रैखिक युग्म बनाते हैं। अतः $AOB$ एक रेखा है। (इति सिद्धम्)

5. आकृति में, $POQ$ एक रेखा है। किरण $OR$ रेखा $PQ$ पर लम्ब है। किरणों $OP$ और $OR$ के बीच में $OS$ एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए-

658

$\angle \text{ROS} = \frac{1}{2} (\angle \text{QOS} - \angle \text{POS})$

हल- प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार

$\angle \text{POR} + \angle \text{QOR} = 180^{\circ}$
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या $\angle \text{POR} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
या $\angle \text{POR} = 180^{\circ} - 90^{\circ}$
या $\angle \text{POR} = 90^{\circ}$
या $\angle \text{POS} + \angle \text{ROS} = 90^{\circ}$
या $\angle \text{ROS} = 90^{\circ} - \angle \text{POS}$ .....(i)
पुन: $\angle \text{POS} + \angle \text{QOS} = 180^{\circ}$ .....(ii)
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
$2 \angle \text{POS}$ को (ii) के दोनों पक्षों में से घटाने पर
$\angle \text{POS} + \angle \text{QOS} - 2 \angle \text{POS} = 180^{\circ} - 2 \angle \text{POS}$
या $\angle \text{QOS} - \angle \text{POS} = 2 (90^{\circ} - \angle \text{POS})$
या $\frac{1}{2} (\angle \text{QOS} - \angle \text{POS}) = 90^{\circ} - \angle \text{POS}$ .....(iii)
अब समीकरण (i) व (iii) से
$\angle \text{ROS} = \frac{1}{2} (\angle \text{QOS} - \angle \text{POS})$
(इतिसिद्धम्)

6. यह दिया है कि $\angle \text{XYZ} = 64^{\circ}$ है और $\text{XY}$ को बिन्दु $\text{P}$ तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण $\text{YQ}, \angle \text{ZYP}$ को समद्विभाजित करती है, तो $\angle \text{XYQ}$ और प्रतिवर्ती $\angle \text{QYP}$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल- प्रश्न के अनुसार $\text{XY}$ को $\text{P}$ बिन्दु तक बढ़ाया गया है। इसका अर्थ होगा कि $\text{XP}$ एक सरल रेखा है।

अतः $\angle \text{XYZ} + \angle \text{ZYP} = 180^{\circ}$
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या $64^{\circ} + \angle \text{ZYP} = 180^{\circ}$
या $\angle \text{ZYP} = 180^{\circ} - 64^{\circ}$
या $\angle \text{ZYP} = 116^{\circ}$ .....(i)

प्रश्नानुसार यह भी दिया है कि $\text{YQ}, \angle \text{ZYP}$ को समद्विभाजित करती है।

$\therefore \angle \text{ZYQ} = \angle \text{QYP} = \frac{1}{2} \angle \text{ZYP}$
या $\angle \text{ZYP} = \angle \text{QYP} = \frac{1}{2} \times 116^{\circ}$
[समीकरण (i) के प्रयोग से]
या $\angle \text{ZYQ} = \angle \text{QYP} = 58^{\circ}$ .....(ii)
या $\angle \text{QYP} = 58^{\circ}$
अब $\angle \text{XYQ} = \angle \text{XYZ} + \angle \text{ZYQ}$
या $\angle \text{XYQ} = 64^{\circ} + 58^{\circ}$
या $\angle \text{XYQ} = 122^{\circ}$
समीकरण (ii) के अनुसार
$\angle \text{ZYQ} = \angle \text{QYP}$
$\therefore \angle \text{XYZ} = 64^{\circ}$ (प्रश्नानुसार)
तथा $\angle \text{ZYQ} = 58^{\circ}$
$\therefore$ प्रतिवर्ती $\angle \text{QYP} = 360^{\circ} - \angle \text{QYP}$
या प्रतिवर्ती $\angle \text{QYP} = 360^{\circ} - 58^{\circ}$
या प्रतिवर्ती $\angle \text{QYP} = 302^{\circ}$ उत्तर

प्रश्नावली 6.2

1. आकृति में, यदि $\text{AB} \parallel \text{CD}, \text{CD} \parallel \text{EF}$ और $y : z = 3 : 7$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल- प्रश्नानुसार

$\therefore \text{AB} \parallel \text{CD}$
$\therefore x + y = 180^{\circ}$ .....(i)
[क्योंकि दो समान्तर रेखाओं को यदि एक तिर्यक रेखा काटे तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।]

प्रश्न में दिया है कि $\text{AB} \parallel \text{CD}$ तथा $\text{CD} \parallel \text{EF}$
$\therefore \quad \text{AB} \parallel \text{EF}$
[क्योंकि एक ही रेखा के समान्तर खींची गई दो रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं।]
अतः: $x = z$ .....(ii)
[क्योंकि समान्तर रेखाओं के लिए एकान्तर अन्तःकोण बराबर होते हैं।]
समीकरण (ii) से $x$ का मान (i) में प्रतिस्थापित करने पर
$z + y = 180^{\circ}$ .....(iii)

प्रश्नानुसार $y : z = 3 : 7$
अब माना कि $y = 3k$
$\therefore z = 7k$, जहाँ $k > 0$ अचर है।
$y$ तथा $z$ का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर
$7k + 3k = 180^{\circ}$
या $10k = 180^{\circ}$
या $k = \frac{180^{\circ}}{10} = 18^{\circ}$
$\therefore y = 3k$ या $y = 3 \times 18^{\circ} = 54^{\circ}$
तथा $z = 7k$ या $z = 7 \times 18^{\circ} = 126^{\circ}$
समीकरण (ii) के अनुसार
$x = z$
$\therefore x = 126^{\circ}$ उत्तर

2. आकृति में, यदि $\text{AB} \parallel \text{CD}$, $\text{EF} \perp \text{CD}$ और $\angle \text{GED} = 126^{\circ}$ है, तो $\angle \text{AGE}, \angle \text{GEF}$ और $\angle \text{FGE}$ ज्ञात कीजिए।

हल-प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार $\text{AB} \parallel \text{CD}$ तथा $\text{GE}$ एक तिर्यक रेखा है।

इसमें $\angle \text{AGE} = \angle \text{GED}$ (ये एकान्तर कोण हैं)
या $\angle \text{AGE} = 126^{\circ}$ .....(i)
[$\because \angle \text{GED} = 126^{\circ}$ दिया गया है]
या $\angle \text{GEF} + \angle \text{FED} = 126^{\circ}$
या $\angle \text{GEF} + 90^{\circ} = 126^{\circ}$
[$\because \text{EF}, \text{CD}$ पर लम्ब है (दिया गया है) $\therefore \angle \text{FED} = 90^{\circ}$]

या $\angle \text{GEF} = 126^{\circ} - 90^{\circ}$
या $\angle \text{GEF} = 36^{\circ}$
अब $\angle \text{AGE} + \angle \text{FGE} = 180^{\circ}$
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या $126^{\circ} + \angle \text{FGE} = 180^{\circ}$
[समी. (i) से $\angle \text{AGE} = 126^{\circ}$]
या $\angle \text{FGE} = 180^{\circ} - 126^{\circ}$
या $\angle \text{FGE} = 54^{\circ}$ उत्तर

3. आकृति में, यदि $\text{PQ} \parallel \text{ST}, \angle \text{PQR} = 110^{\circ}$ और $\angle \text{RST} = 130^{\circ}$ है, तो $\angle \text{QRS}$ ज्ञात कीजिए।
   [संकेत-बिन्दु $\text{R}$ से होकर $\text{ST}$ के समान्तर एक रेखा खींचिए।]

हल-प्रश्न में दिए गए चित्र में बिन्दु $\text{R}$ से होकर $\text{ST}$ के समान्तर एक रेखा $\text{RN}$ खींची।

अतः: $\text{ST} \parallel \text{RN}$
या $\angle \text{RST} + \angle \text{SRN} = 180^{\circ}$
[क्योंकि दो समान्तर रेखाओं के बीच एक तिर्यक रेखा के एक ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।]
या $130^{\circ} + \angle \text{SRN} = 180^{\circ}$
या $\angle \text{SRN} = 180^{\circ} - 130^{\circ}$
या $\angle \text{SRN} = 50^{\circ}$ .....(i)

प्रश्नानुसार दिया गया है कि $\text{PQ} \parallel \text{ST}$
तथा की गई रचना से $\text{RN} \parallel \text{ST}$
$\therefore \text{PQ} \parallel \text{RN}$
[क्योंकि दो रेखाएँ जो एक ही रेखा के समान्तर हों, वे परस्पर समान्तर होती हैं।]
$\because \text{PQ} \parallel \text{RN}$ और $\text{QR}$ एक तिर्यक रेखा है।
$\therefore \angle \text{QRN} = \angle \text{PQR}$ (एकान्तर कोण हैं)
या $\angle \text{QRN} = 110^{\circ}$
[$\because \angle \text{PQR} = 110^{\circ}$ (दिया है)]
$\therefore \angle \text{QRN} = 110^{\circ}$
या $\angle \text{QRS} + \angle \text{SRN} = 110^{\circ}$
या $\angle \text{QRS} + 50^{\circ} = 110^{\circ}$ [समीकरण (i) से]
या $\angle \text{QRS} = 110^{\circ} - 50^{\circ}$
या $\angle \text{QRS} = 60^{\circ}$ उत्तर

4. आकृति में, यदि $\text{AB} \parallel \text{CD}$, $\angle \text{APQ} = 50^{\circ}$ और $\angle \text{PRD} = 127^{\circ}$ है, तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

हल- प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार $\text{AB} \parallel \text{CD}$ तथा $\text{PQ}$ एक तिर्यक रेखा है।

$\therefore x = \angle \text{APQ}$ (एकान्तर कोण हैं)
या $x = 50^{\circ}$
[$\because \angle \text{APQ} = 50^{\circ}$ दिया गया है]
पुन: चित्र के अनुसार $\text{AB} \parallel \text{CD}$ तथा $\text{PR}$ एक तिर्यक रेखा दोनों को प्रतिच्छेद करती है।
$\therefore \angle \text{APR} = \angle \text{PRD}$ (एकान्तर कोण हैं)
या $\angle \text{APQ} + \angle \text{QPR} = \angle \text{PRD}$
या $50^{\circ} + y = 127^{\circ}$
या $y = 127^{\circ} - 50^{\circ}$
या $y = 77^{\circ}$ उत्तर

5. आकृति में, $\text{PQ}$ और $\text{RS}$ दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) $\text{AB}$, दर्पण $\text{PQ}$ से $\text{B}$ पर टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ $\text{BC}$ पर चलकर दर्पण $\text{RS}$ से $\text{C}$ पर टकराती है तथा पुन: $\text{CD}$ के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि $\text{AB} \parallel \text{CD}$ है।

हल- दिया है- आकृति में $\text{PQ}$ और $\text{RS}$ दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर हैं। एक आपतन किरण $\text{AB}$, दर्पण $\text{PQ}$ से $\text{B}$ पर टकराती है। $\text{CD}$ एक परावर्तित किरण है जो दर्पण $\text{RS}$ से परावर्तित होती है।

सिद्ध करना है- $\text{AB} \parallel \text{CD}$
उपपत्ति- हम जानते हैं कि आपतन कोण = परावर्तन कोण
$\therefore \angle 1 = \angle 2$
और $\angle 3 = \angle 4$ .....(i)
[यहाँ $\angle 1$ आपाती किरण $\text{AB}$ है और अभिलम्ब $\text{BL}$ है।]
$\therefore \angle 1$ एक आपतन कोण है, $\angle 2$ परावर्तित किरण $\text{BC}$ और अभिलम्ब $\text{BL}$ के बीच स्थित है। अतः $\angle 2$ परावर्तित कोण है। इसी प्रकार $\angle 3$ और $\angle 4$ क्रमशः आपतन कोण और परावर्तित कोण हैं।
$\therefore \text{PQ} \parallel \text{RS}$ तथा $\text{BL} \perp \text{PQ}$ पर तथा $\text{BL} \parallel \text{CM}$ तथा $\text{CM} \perp \text{RS}$ पर
अब समान्तर रेखाएँ $\text{BL}$ और $\text{CM}$ हैं। एक तिर्यक रेखा $\text{BC}$ इनको प्रतिच्छेद करती है।
$\therefore \angle 2 = \angle 3$ .....(ii) (एकान्तर कोण हैं)
अब $\angle \text{ABC} = \angle 1 + \angle 2$
या $\angle \text{ABC} = \angle 2 + \angle 2$ [क्योंकि $\angle 1 = \angle 2$]
या $\angle \text{ABC} = 2 \angle 2$
और $\angle \text{BCD} = \angle 3 + \angle 4$
या $\angle \text{BCD} = \angle 3 + \angle 3$ [क्योंकि $\angle 3 = \angle 4$]
या $\angle \text{BCD} = 2 \angle 3$
लेकिन समीकरण (ii) के अनुसार $\angle 2 = \angle 3$
या $2 \angle 2 = 2 \angle 3$
या $\angle \text{ABC} = \angle \text{BCD}$
ये एकान्तर कोण हैं तथा $\text{BC}$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः $\text{AB} \parallel \text{CD}$ (इति सिद्धम्)

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अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

1. नीचे आकृति में वृहत् कोण, $\text{AOB}$ बराबर है-

(A) $60^{\circ}$
(B) $120^{\circ}$
(C) $300^{\circ}$
(D) $360^{\circ}$

2. नीचे आकृति में दो सरल रेखाएँ $\text{AB}$ तथा $\text{CD}$

एक-दूसरे को $O$ बिन्दु पर प्रतिच्छेद कर रही हैं और इस प्रकार बिन्दु $O$ पर बने कोण अंकित हैं। यहाँ $\angle x - \angle y$ का मान है-

(A) $56^{\circ}$ (B) $118^{\circ}$
(C) $62^{\circ}$ (D) $180^{\circ}$

3. ऐसा कोण जिसका मान $180^{\circ}$ है, कहलाता है-

(A) न्यून कोण (B) ऋजु कोण
(C) वृहत् कोण (D) समकोण

4. दिये गये चित्र में यदि $AOB$ एक सरल रेखा है तो कोण $COD$ का मान होगा-

(A) $15^{\circ}$ (B) $45^{\circ}$
(C) $60^{\circ}$ (D) $75^{\circ}$

5. एक कोण अपने संपूरक का तीन गुना है। तब कोण का माप है-
   (A) $130^{\circ}$ (B) $135^{\circ}$
   (C) $90^{\circ}$ (D) $120^{\circ}$

6. यदि दो रेखाएँ $AB$ तथा $CD$ परस्पर $O$ पर प्रतिच्छेदित होती हैं। यदि $\angle BOD = 63^{\circ}$, तब $\angle BOC =$
   (A) $63^{\circ}$ (B) $117^{\circ}$
   (C) $17^{\circ}$ (D) $153^{\circ}$

7. दो रेखाएँ $AB$ व $CD$ बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद होती हैं। यदि $\angle AOC + \angle COB + \angle BOD = 270^{\circ}$, तब $\angle AOD =$
   (A) $70^{\circ}$ (B) $80^{\circ}$
   (C) $90^{\circ}$ (D) $180^{\circ}$

8. दिए गए चित्र में $POQ$ एक सरल रेखा है तब $x$ का मान है-

(A) $20^{\circ}$ (B) $25^{\circ}$
(C) $30^{\circ}$ (D) $35^{\circ}$

9. सम्मुख चित्र में, $x$ का मान है-

(A) $12$ (B) $15$
(C) $20$ (D) $30$

10. यदि $\angle POR = 3x$ और $\angle QOR = 2x + 10^{\circ}$ यदि $POQ$ एक सरल रेखा है, तब $x$ का मान है-
    (A) $30^{\circ}$ (B) $34^{\circ}$
    (C) $36^{\circ}$ (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर-तालिका

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

1. यदि एक कोण अपने संपूरक का तीन गुना है तब कोण का माप ............... होगा।

2. ऐसा कोण जो दो समकोण से बड़ा एवं चार समकोण से छोटा हो, उसे ............... कहते हैं।

3. जब दो कोणों का योग $1$ समकोण के बराबर हो तो वे एक-दूसरे के ............... कहलाते हैं।

4. यदि दो सरल रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करें तो इस प्रकार बने शीर्षाभिमुख कोण ............... होते हैं।

उत्तर- 1. $135^{\circ}$ 2. वृहत् कोण 3. पूरक कोण 4. बराबर

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए-

1. जब दो कोणों का योग $2$ समकोण के बराबर होता है, तो प्रत्येक कोण दूसरे कोण का सम्पूरक कोण कहलाता है।

2. एक किरण की लम्बाई सीमित होती है।

3. शीर्षाभिमुख कोणों के अर्द्धक एक सरल रेखा में होते हैं।

662

4. वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समान्तर होती हैं, परस्पर समान्तर होती हैं।
5. $90^{\circ}$ के कोण के पूरक कोण का परिमाण $0^{\circ}$ होता है।

उत्तर- 1. सत्य 2. असत्य 3. सत्य 4. सत्य 5. सत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. न्यून कोण किसे कहते हैं?

उत्तर- वह कोण जो समकोण से छोटा होता है, न्यून कोण कहलाता है।

2. समकोण, अधिक कोण और न्यून कोण में अन्तर स्पष्ट करो।

उत्तर- समकोण-$90^{\circ}$ के कोण को समकोण कहते हैं। न्यूनकोण-इसका मान समकोण से कम होता है। अधिक कोण-इसका मान समकोण से अधिक होता है।

3. दो पूरक कोण आपस में समान हैं तो प्रत्येक का मान लिखो।

उत्तर- प्रत्येक कोण $45^{\circ}$ का होगा।

4. सम्पूरक कोण किसे कहते हैं?

उत्तर- यदि दो कोणों का योग दो समकोण के तुल्य हो तो वे एक-दूसरे के सम्पूरक कोण कहलाते हैं।

5. एक कोण अपने पूरक कोण का आधा है तो उस कोण का मान ज्ञात करो।

हल- $x + \frac{1}{2}x = 90^{\circ}$

या $\frac{3}{2}x = 90^{\circ}$
$3x = 180^{\circ}$
$x = 60^{\circ}$
तथा कोण का मान = $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ उत्तर

6. नीचे चित्र में दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। यदि $\angle 1 + \angle 3 = 70^{\circ}$ है तो $\angle 2$ का मान ज्ञात करो।

हल- $\angle 1 = \angle 3 = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ}$

अतः $\angle 2 = 180^{\circ} - \angle 3$

$= 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}$ उत्तर

7. दी गई आकृति से $\angle x$ का मान बताइए।

हल- $\angle x = 180^{\circ} - (86 + 50)$ (सरल रेखा युग्म कोण)

$= 44^{\circ}$ उत्तर

8. दो सम्पूरक कोणों का अनुपात $2 : 3$ है। कोणों का मान ज्ञात करो।

उत्तर- माना कि दो कोणों का माप $(2x)^{\circ}$ व $(3x)^{\circ}$ है। तब

$\therefore 2x + 3x = 180^{\circ} \Rightarrow 5x = 180^{\circ}$
$\Rightarrow x = 36^{\circ}$
अतः दो कोणों का माप, $(2x)^{\circ} = 2 \times 36^{\circ} = 72^{\circ}$
$(3x)^{\circ} = 3 \times 36^{\circ} = 108^{\circ}$ उत्तर

9. किसी कोण का सम्पूरक कोण स्वयं का एक तिहाई है। कोण की माप और उसका सम्पूरक ज्ञात करो।

उत्तर- माना कि कोण की माप $x^{\circ}$ है। तब इसके सम्पूरक कोण की माप $180^{\circ} - x^{\circ}$ है।

दिया है कि $180 - x = \frac{1}{3}x$
$\Rightarrow 3(180 - x) = x$
$\Rightarrow 540 - 3x = x$
$\Rightarrow 4x = 540^{\circ}$
$\Rightarrow x = 135^{\circ}$ उत्तर

इस कोण का सम्पूरक कोण $= 180^{\circ} - 135^{\circ}$

$= 45^{\circ}$ उत्तर

10. यदि एक कोण का स्वयं के पूरक के साथ अन्तर $10^{\circ}$ है तब कोण की माप ज्ञात करो।

उत्तर- माना अभीष्ट कोण $x^{\circ}$ है तब प्रश्नानुसार

$x^{\circ} - (90^{\circ} - x^{\circ}) = 10^{\circ}$
$\Rightarrow x^{\circ} - 90^{\circ} + x^{\circ} = 10^{\circ}$
$\Rightarrow 2x^{\circ} = 10^{\circ} + 90^{\circ} = 100^{\circ}$
$\Rightarrow x^{\circ} = \frac{100}{2} = 50^{\circ}$ उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. दिए हुए चित्र में $x$ के किसी मान के लिए बिन्दु B, O और A एक ही सरल रेखा में हैं, तो $\angle BOC$ और $\angle AOC$ के मान ज्ञात करो।

$5x - 3^\circ$ and $2x + 8^\circ$ at point O" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />

हल—$2x + 8 + 5x - 3 = 180^\circ$ (आसन्न कोण)

या $7x + 5 = 180^\circ$
या $7x = 180^\circ - 5^\circ = 175^\circ$
$\therefore x = \frac{175^\circ}{7} = 25^\circ$
$\therefore \angle BOC = 2x + 8^\circ$

$= 2 \times 25^\circ + 8^\circ$
$= 50^\circ + 8^\circ = 58^\circ$
$\angle AOC = 5x - 3^\circ$

$= 5 \times 25^\circ - 3^\circ$
$= 125^\circ - 3^\circ = 122^\circ$ उत्तर

2. दी गई आकृति में रेखाएँ $PQ$ तथा $RS$ परस्पर बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle POR : \angle ROQ = 5 : 7$ है, तो सभी कोण ज्ञात कीजिए।

हल—चित्रानुसार,

$\angle POR + \angle ROQ = 180^\circ$ (रैखिक युग्म के कोण)
परन्तु $\angle POR : \angle ROQ = 5 : 7$ (दिया है)
अतः: $\angle POR = \frac{5}{12} \times 180^\circ = 75^\circ$
इसी प्रकार $\angle ROQ = \frac{7}{12} \times 180^\circ = 105^\circ$
अब $\angle POS = \angle ROQ = 105^\circ$ (शीर्षाभिमुख कोण)
और $\angle SOQ = \angle POR = 75^\circ$ (शीर्षाभिमुख कोण)

3. दी गई आकृति में यदि $\angle 1 + \angle 3 = 120^\circ$ हो तो $\angle 3$ एवं $\angle 4$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल—यहाँ $\angle 1 + \angle 3 = 120^\circ$

किन्तु $\angle 1 = \angle 3$
अतः: $2 \angle 3 = 120^\circ$
या $\angle 3 = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$ उत्तर

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 3$

$= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ उत्तर

4. यदि एक कोण अपने पूरक के आधे से $30^\circ$ ज्यादा है। इस कोण की माप ज्ञात करो।

हल—माना कि अभीष्ट कोण $x^\circ$ है।

$\therefore$ इस कोण का पूरक $= 90^\circ - x$
$\therefore x = \frac{1}{2}(90^\circ - x) + 30^\circ$
$\Rightarrow 2x = 90^\circ - x + 60^\circ$
$\Rightarrow 2x + x = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$
$\Rightarrow 3x = 150^\circ$
$\Rightarrow x = \frac{150^\circ}{3} = 50^\circ$
$\therefore$ अभीष्ट कोण $= 50^\circ$ उत्तर

5. यदि किसी कोण का सम्पूरक स्वयं का दो तिहाई है। कोण तथा उसका सम्पूरक ज्ञात कीजिए।

हल—माना कि अभीष्ट कोण $= x$

तब इसका सम्पूरक कोण $= 180^\circ - x$
$\therefore (180^\circ - x) = \frac{2}{3}x$
$\Rightarrow 540^\circ - 3x = 2x$
$\Rightarrow 3x + 2x = 540^\circ$
$\Rightarrow 5x = 540^\circ$
$\Rightarrow x = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$ उत्तर

सम्पूरक कोण $= 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ उत्तर

6. दिए गए चित्र में $x$ का मान ज्ञात करो—

$3x, 3x, 150^\circ$ and $x$" class="mx-auto rounded-lg shadow-sm max-w-full h-auto border border-slate-200 dark:border-slate-800" loading="lazy" />

हल-चित्र में, एक बिन्दु पर कोणों का योग

$3x + 3x + x + 150^{\circ} = 360^{\circ}$
$\Rightarrow 7x = 360^{\circ} - 150^{\circ}$
$\Rightarrow 7x = 210^{\circ}$
$\Rightarrow x = \frac{210^{\circ}}{7} = 30^{\circ}$
$\therefore x = 30^{\circ}$ उत्तर

निबन्धात्मक प्रश्न-
1. आकृति में, OP, OQ, OR और OS चार किरणें हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + \angle POS = 360^{\circ}$ है।

हल-आकृति में, आपको किरणों OP, OQ, OR और OS में से किसी एक को पीछे एक बिन्दु तक बढ़ाए जाने की आवश्यकता है। आइए, किरण OQ को एक बिन्दु T तक पीछे बढ़ा दें ताकि TOQ एक रेखा हो (देखिए आकृति)।

अब किरण OP रेखा TOQ पर खड़ी है।
अतः: $\angle TOP + \angle POQ = 180^{\circ}$ .....(1)
(रैखिक युग्म अभिगृहीत)
इसी प्रकार, किरण OS रेखा TOQ पर खड़ी है।
अतः: $\angle TOS + \angle SOQ = 180^{\circ}$ .....(2)
परन्तु $\angle SOQ = \angle SOR + \angle QOR$ है।
अतः (2) निम्न हो जाती है-
$\angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 180^{\circ}$ .....(3)
अब (1) और (3) को जोड़ने पर, आपको प्राप्त होगा-
$\angle TOP + \angle POQ + \angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 360^{\circ}$ .....(4)
परन्तु $\angle TOP + \angle TOS = \angle POS$ है।
अतः (4) निम्न हो जाती है-
$\angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + \angle POS = 360^{\circ}$

2. नीचे दी गई आकृति में किरण OS रेखा POQ पर खड़ी है। किरण OR और OT क्रमशः $\angle POS$ और $\angle SOQ$ के समद्विभाजक हैं। यदि $\angle POS = x$ है, तो $\angle ROT$ ज्ञात कीजिए।

हल-प्रश्नानुसार किरण OS रेखा POQ पर खड़ी है।

अतः: $\angle POS + \angle SOQ = 180^{\circ}$
परन्तु $\angle POS = x$
अतः: $x + \angle SOQ = 180^{\circ}$
$\therefore \angle SOQ = 180^{\circ} - x$
अब किरण OR, $\angle POS$ को समद्विभाजित करती है।
इसलिए $\angle ROS = \frac{1}{2} \times \angle POS$

$= \frac{1}{2} \times x = \frac{x}{2}$
इसी प्रकार, $\angle SOT = \frac{1}{2} \times \angle SOQ$

$= \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - x)$
$= 90^{\circ} - \frac{x}{2}$
अब $\angle ROT = \angle ROS + \angle SOT$

$= \frac{x}{2} + 90^{\circ} - \frac{x}{2}$
$= 90^{\circ}$

3. यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

हल-उपपत्ति : उपरोक्त कथन में यह दिया है कि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः मान लीजिए कि AB और CD दो रेखाएँ हैं जो परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इससे हमें शीर्षाभिमुख कोणों के अग्र दो युग्म प्राप्त होते हैं-

(i) $\angle \text{AOC}$ और $\angle \text{BOD}$
(ii) $\angle \text{AOD}$ और $\angle \text{BOC}$

हमें सिद्ध करना है कि $\angle \text{AOC} = \angle \text{BOD}$ है और $\angle \text{AOD} = \angle \text{BOC}$ है।
अब किरण $\text{OA}$ रेखा $\text{CD}$ पर खड़ी है।
अतः, $\angle \text{AOC} + \angle \text{AOD} = 180^{\circ}$ ...(1)
(रैखिक युग्म अभिगृहीत)
$\Rightarrow \angle \text{AOD} + \angle \text{BOD} = 180^{\circ}$ ...(2)
(1) और (2) से, हम लिख सकते हैं कि :
$\angle \text{AOC} + \angle \text{AOD} = \angle \text{AOD} + \angle \text{BOD}$
इससे निष्कर्ष निकलता है कि $\angle \text{AOC} = \angle \text{BOD}$
इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि $\angle \text{AOD} = \angle \text{BOC}$ है।

4. यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि संगत कोणों के एक युग्म के समद्विभाजक परस्पर समांतर हों, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों रेखाएँ भी परस्पर समांतर होती हैं।

हल- आकृति में, एक तिर्यक रेखा $\text{AD}$ दो रेखाओं $\text{PQ}$ और $\text{RS}$ को क्रमशः बिंदुओं $\text{B}$ और $\text{C}$ पर प्रतिच्छेद करती है। किरण $\text{BE}$, $\angle \text{ABQ}$ की समद्विभाजक है और किरण $\text{CG}$, $\angle \text{BCS}$ की समद्विभाजक है तथा $\text{BE} \parallel \text{CG}$ है।

हमें सिद्ध करना है कि $\text{PQ} \parallel \text{RS}$ है।

यह दिया है कि किरण $\text{BE}$, $\angle \text{ABQ}$ की समद्विभाजक है।
अतः, $\angle \text{ABE} = \frac{1}{2} \angle \text{ABQ}$ ...(1)
इसी प्रकार किरण $\text{CG}$, $\angle \text{BCS}$ की समद्विभाजक है।
अतः, $\angle \text{BCG} = \frac{1}{2} \angle \text{BCS}$ ...(2)
परन्तु, $\text{BE} \parallel \text{CG}$ है और $\text{AD}$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः, $\angle \text{ABE} = \angle \text{BCG}$ ...(3)
[संगत कोण अभिगृहीत]
(3) में, (1) और (2) को प्रतिस्थापित करने पर, आपको प्राप्त होगा :
$\frac{1}{2} \angle \text{ABQ} = \frac{1}{2} \angle \text{BCS}$
अर्थात्, $\angle \text{ABQ} = \angle \text{BCS}$
परन्तु, ये तिर्यक रेखा $\text{AD}$ द्वारा रेखाओं $\text{PQ}$ और $\text{RS}$ के साथ बनाए गए संगत कोण हैं और ये बराबर हैं।
अतः: $\text{PQ} \parallel \text{RS}$ (संगत कोण अभिगृहीत का विलोम)

5. चित्र में रेखाएँ $\text{XY}$ व $\text{LM}$ बिन्दु $\text{O}$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle \text{XOL} = a$, $\angle \text{LOP} = b$, $\angle \text{POY} = 90^{\circ}$। $\angle \text{XOM} = c$ तथा $a : b = 2 : 3$ हो तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल- दिया है : $a : b = 2 : 3$, माना कि $a = 2x^{\circ}$ व $b = 3x^{\circ}$

चित्र में रेखा $\text{OP}$ रेखा $\text{XY}$ पर खड़ी है, तथा $\angle \text{POY} = 90^{\circ}$ है।
$\therefore \angle \text{XOP} + \angle \text{POY} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{XOL} + \angle \text{LOP} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$[\because \angle \text{POY} = 90^{\circ}]$
$\Rightarrow a + b + 90 = 180$
$\Rightarrow a + b = 90$
$\Rightarrow 2x + 3x = 90$
$\Rightarrow 5x = 90$
$\Rightarrow x = 18$
$\therefore a = (2x)^{\circ} = (2 \times 18)^{\circ} = 36^{\circ}$
और $b = (3x)^{\circ} = (3 \times 18)^{\circ} = 54^{\circ}$
पुनः: रेखा $\text{OX}$ रेखा $\text{LM}$ पर खड़ी है।
$\therefore \angle \text{LOX} + \angle \text{XOM} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow a + c = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 36^{\circ} + c = 180^{\circ}$
$\Rightarrow c = (180^{\circ} - 36^{\circ}) = 144^{\circ}$
अतः $c$ का मान $144^{\circ}$ है।