पाठ 7: त्रिभुज

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 7.1

प्रश्न 1. चतुर्भुज $ACBD$ में, $AC = AD$ है और $AB$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\triangle ABC \cong \triangle ABD$ है। $BC$ और $BD$ के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

हल— प्रश्न में दिए गए चित्र के आधार पर

दिया है—एक चतुर्भुज $ACBD$ है जिसमें $AC = AD$ है तथा भुजा $AB$, $\angle A$ को समद्विभाजित करती है।
सिद्ध करना है—$\triangle ABC \cong \triangle ABD$ तथा भुजा $BC$ और $BD$ के मध्य सम्बन्ध।
उपपत्ति—$\triangle ABC$ और $\triangle ABD$ के आधार पर
$\text{भुजा } AC = \text{भुजा } AD$ (दिया है)
$\angle BAC = \angle BAD$
$[\because AB, \angle A \text{ को समद्विभाजित करती है}]$
(दिया है)
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ABD$
[SAS सर्वांगसमता के नियम द्वारा]
अतः: $BC = BD$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हैं)

प्रश्न 2. $ABCD$ एक चतुर्भुज है, जिसमें $AD = BC$ और $\angle DAB = \angle CBA$ है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि
(i) $\triangle ABD \cong \triangle BAC$
(ii) $BD = AC$
(iii) $\angle ABD = \angle BAC$

हल— प्रश्न में दिए गए चित्र के आधार पर

$\triangle ABD$ और $\triangle ABC$ में
$AD = BC$ (दिया है)
$\angle DAB = \angle CBA$ (दिया है)
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
(i) $\therefore \triangle ABD \cong \triangle BAC$
(SAS सर्वांगसमता के नियम से)
(ii) $\Rightarrow BD = AC$
(क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हैं)
(iii) तथा $\angle ABD = \angle BAC$
क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के कोण हैं।

प्रश्न 3. एक रेखाखण्ड $AB$ पर $AD$ और $BC$ दो बराबर लंब रेखाखण्ड हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $CD$, रेखाखण्ड $AB$ को समद्विभाजित करता है।

हल— प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार $\triangle BOC$ और $\triangle AOD$ में

$\angle OBC = \angle OAD$ (दिया है)
$(\because \text{प्रत्येक कोण } 90^{\circ} \text{ है})$
$\angle BOC = \angle AOD$
(क्योंकि ये शीर्षाभिमुख कोण हैं)
तथा $BC = AD$ (दिया है)
$\therefore \triangle BOC \cong \triangle AOD$
(AAS सर्वांगसमता के नियम से)
$\Rightarrow OB = OA$
तथा $OC = OD$
(ये सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हैं)
अतः: $O$ रेखाखण्ड $AB$ और $CD$ का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 4. $l$ और $m$ दो समान्तर रेखाएँ हैं जिन्हें समान्तर रेखाओं $p$ और $q$ का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ है।

हल-प्रश्न में दिए गए चित्र के आधार पर भुजा $l \parallel$ भुजा $m$ (दिया है)

इन दोनों रेखाओं को $AC$ एक तिर्यक रेखा काटती है।
$\therefore \angle DAC = \angle ACB$
(एकान्तर कोण हैं) .....(i)
पुन: भुजा $p \parallel$ भुजा $q$ (दिया है)
तथा $AC$ एक तिर्यक रेखा इन दोनों को काटती है।
$\therefore \angle BAC = \angle ACD$
(एकान्तर कोण हैं) .....(ii)
अब $\triangle ABC$ तथा $\triangle CDA$ से
$\angle ACB = \angle DAC$ [(i) के अनुसार]
$\angle BAC = \angle ACD$ [(ii) के अनुसार]
तथा $AC = AC$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$
(सर्वांगसमता के AAS नियम से)

5. रेखा $l$ कोण $A$ को समद्विभाजित करती है और $B$ रेखा $l$ पर स्थित कोई बिन्दु है। $BP$ और $BQ$ कोण $A$ की भुजाओं पर $B$ से डाले गए लम्ब हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) $\triangle APB \cong \triangle AQB$
(ii) $BP = BQ$ है, अर्थात् बिन्दु $B$ कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।

हल-(i) प्रश्न में दिए गए चित्र के अनुसार दिया गया है कि रेखा $l$, $\angle A$ को समद्विभाजित करती है अतः:

$\angle BAP = \angle BAQ$
अब $\triangle APB$ तथा $\triangle AQB$ के अनुसार
$\angle BAP = \angle BAQ$ (दिया है)
$\angle BPA = \angle BQA$ (दिया है)
[क्योंकि प्रत्येक कोण समकोण है]
तथा $AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\therefore \triangle APB \cong \triangle AQB$
(सर्वांगसमता के AAS नियम से)
(ii) $BP = BQ$ (संगत भुजाएँ)
अतः यह कहा जा सकता है कि सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग अर्थात् $B$, $\angle A$ की भुजाओं से समदूरस्थ है।

6. आकृति में, $AC = AE, AB = AD$ और $\angle BAD = \angle EAC$ है। दर्शाइए कि $BC = DE$ है।

हल-प्रश्नानुसार दिया गया है कि

$\angle BAD = \angle EAC$
दोनों पक्षों में $\angle DAC$ जोड़ने पर
$\angle BAD + \angle DAC = \angle EAC + \angle DAC$
या $\angle BAC = \angle EAD$ .....(i)
अब चित्रानुसार बनने वाले $\triangle ABC$ तथा $\triangle AED$ में
$\angle BAC = \angle EAD$
[(i) के आधार पर]
$AB = AD$ (दिया है)
$AC = AE$ (दिया है)
अर्थात् $\triangle ABC \cong \triangle ADE$
(सर्वांगसमता के SAS नियम से)
$\Rightarrow BC = DE$
(ये सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हैं)

7. $AB$ एक रेखाखण्ड है और $P$ इसका मध्य-बिन्दु है। $D$ और $E$ रेखाखण्ड $AB$ के एक ही ओर स्थित दो बिन्दु इस प्रकार हैं कि $\angle BAD = \angle ABE$ और $\angle EPA = \angle DPB$ है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
   (i) $\triangle DAP \cong \triangle EBP$
   (ii) $AD = BE$

हल-प्रश्न के अनुसार दिया गया है कि

$\angle EPA = \angle DPB$
दोनों पक्षों में $\angle EPD$ जोड़ने पर
$\angle EPA + \angle EPD = \angle DPB + \angle EPD$
या $\angle APD = \angle BPE$ .....(i)
अब चित्र में बनने वाले $\triangle DAP$ और $\triangle EBP$ से
$\angle PAD = \angle PBE$
[$\because \angle BAD = \angle ABE$ (दिया है)]
$\therefore \angle PAD = \angle PBE$

$\angle \text{APD} = \angle \text{BPE}$
[(i) के अनुसार]
तथा $\text{AP} = \text{PB}$
[$\because$ यह दिया गया है कि $\text{P}$, $\text{AB}$ का मध्य बिन्दु है]
(i) $\therefore \triangle \text{DAP} \cong \triangle \text{EBP}$
(सर्वांगसमता के $\text{ASA}$ नियम के अनुसार)
(ii) $\Rightarrow \text{AD} = \text{BE}$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)

8. एक समकोण त्रिभुज $\text{ABC}$ में, जिसमें कोण $\text{C}$ समकोण है, $\text{M}$ कर्ण $\text{AB}$ का मध्य-बिन्दु है। $\text{C}$ को $\text{M}$ से मिलाकर $\text{D}$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $\text{DM} = \text{CM}$ है। बिन्दु $\text{D}$ को बिन्दु $\text{B}$ से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) $\triangle \text{AMC} \cong \triangle \text{BMD}$
(ii) $\angle \text{DBC}$ एक समकोण है
(iii) $\triangle \text{DBC} \cong \triangle \text{ACB}$
(iv) $\text{CM} = \frac{1}{2} \text{AB}$

हल— (i) प्रश्न के आधार पर दिए चित्र में $\triangle \text{AMC}$ और $\triangle \text{BMD}$ में

$\angle \text{AMC} = \angle \text{BMD}$
(शीर्षाभिमुख कोण हैं)
$\text{AM} = \text{BM}$ (दिया है)
(क्योंकि $\text{M}$ बिन्दु कर्ण $\text{AB}$ का मध्य बिन्दु है।)
तथा $\text{CM} = \text{DM}$ (दिया है)
$\therefore \triangle \text{AMC} \cong \triangle \text{BMD}$
(सर्वांगसमता के $\text{SAS}$ नियम से)
$\therefore \angle \text{ACM} = \angle \text{BDM}$ .....(i)
$\angle \text{CAM} = \angle \text{DBM}$
तथा $\text{AC} = \text{BD}$
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
(ii) चित्र के अनुसार दो रेखाएँ $\text{AC}$ तथा $\text{BD}$ हैं जिन्हें एक तिर्यक रेखा $\text{DC}$ काटती है।
$\therefore \angle \text{ACD} = \angle \text{BDC}$
(एकान्तर कोण हैं)
[$\because \angle \text{ACM} = \angle \text{BDM}$ समीकरण (i) के अनुसार $\therefore \angle \text{ACD} = \angle \text{BDC}$]
$\therefore \text{AC}$ तथा $\text{BD}$ रेखाएँ समान्तर होंगी क्योंकि यदि एकान्तर कोण बराबर हों तो रेखाएँ समान्तर होती हैं। अब पुनः समान्तर रेखाओं $\text{AC}$ तथा $\text{BD}$ को एक तिर्यक रेखा $\text{BC}$ काटती है।
$\therefore \angle \text{DBC} = \angle \text{ACB}$
(एकान्तर कोण हैं) .....(ii)
परन्तु $\triangle \text{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें बिन्दु $\text{C}$ पर समकोण है।
$\therefore \angle \text{ACB} = 90^{\circ}$ .....(iii)
अतः: $\angle \text{DBC} = 90^{\circ}$
[समीकरण (ii) व (iii) के आधार पर]
अतः $\angle \text{DBC}$ एक समकोण है।
(iii) अब चित्र में दिये $\triangle \text{DBC}$ और $\triangle \text{ABC}$ में
$\angle \text{DBC} = \angle \text{ACB}$
[भाग (ii) में सिद्ध कर चुके हैं]
$\text{DB} = \text{AC}$
[भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं]
तथा $\text{BC} = \text{BC}$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ हैं)
$\therefore \triangle \text{DBC} \cong \triangle \text{ACB}$
(सर्वांगसमता के $\text{SAS}$ नियम से)
(iv) उपर्युक्त (iii) भाग में हम सिद्ध कर चुके हैं कि $\triangle \text{DBC} \cong \triangle \text{ACB}$
$\therefore \text{DC} = \text{AB}$
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
या $\text{DM} + \text{CM} = \text{AB}$
या $\text{CM} + \text{CM} = \text{AB}$
[$\because \text{DM} = \text{CM}$ (दिया है)]
या $2 \text{CM} = \text{AB}$
या $\text{CM} = \frac{1}{2} \text{AB}$ इति सिद्धम्

प्रश्नावली 7.2

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज $\text{ABC}$ में जिसमें $\text{AB} = \text{AC}$ है, $\angle \text{B}$ और $\angle \text{C}$ के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु $\text{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $\text{A}$ और $\text{O}$ को जोड़िए। दर्शाइए कि
   (i) $\text{OB} = \text{OC}$
   (ii) $\text{AO}$ कोण $\text{A}$ को समद्विभाजित करता है।

हल— (i) $\triangle \text{ABC}$ में,

$\text{AB} = \text{AC}$
या $\angle \text{B} = \angle \text{C}$
चूँकि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

$\Rightarrow \quad \text{AB} = \text{AC}$
$[\because$ ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग$]$
अतः $\text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

3. $\text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं $\text{AC}$ और $\text{AB}$ पर क्रमशः शीर्षलम्ब $\text{BE}$ और $\text{CF}$ खींचे गए हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।

हल-प्रश्न में दी गई आकृति के त्रिभुजों $\triangle \text{ABE}$ और $\triangle \text{ACF}$ में

$\angle \text{A} = \angle \text{A}$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle \text{AEB} = \angle \text{AFC} = 90^{\circ}$ (प्रत्येक)
(दिया है)
तथा $\text{AB} = \text{AC}$ (दिया है)
$\therefore \quad \triangle \text{ABE} \cong \triangle \text{ACF}$
(सर्वांगसमता के नियम $\text{AAS}$ से)
$\therefore \quad \text{BE} = \text{CF}$
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अर्थात् यह कहा जा सकता है कि समान भुजाओं पर खींचे गए शीर्ष लम्ब समान होते हैं।

4. $\text{ABC}$ एक त्रिभुज है जिसमें $\text{AC}$ और $\text{AB}$ पर खींचे गए शीर्षलम्ब $\text{BE}$ और $\text{CF}$ बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
   (i) $\triangle \text{ABE} \cong \triangle \text{ACF}$
   (ii) $\text{AB} = \text{AC}$, अर्थात् $\triangle \text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल-प्रश्नानुसार दिए गए चित्र में $\triangle \text{ABE}$ और $\triangle \text{ACF}$ में

$\angle \text{A} = \angle \text{A}$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle \text{AEB} = \angle \text{AFC}$ (प्रत्येक कोण $90^{\circ}$)

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या $\frac{1}{2} \angle \text{B} = \frac{1}{2} \angle \text{C}$
या $\angle \text{OBC} = \angle \text{OCB}$ .....(i)

$\because \text{OB}$ तथा $\text{OC}$ क्रमशः $\angle \text{B}$ तथा $\angle \text{C}$ को दो भागों में विभाजित करते हैं
$\therefore \quad \angle \text{OBC} = \frac{1}{2} \angle \text{B}$
और $\angle \text{OCB} = \frac{1}{2} \angle \text{C}$
या $\text{OB} = \text{OC}$ .....(ii)
समान कोणों की सम्मुख भुजायें समान होती हैं।
(इति सिद्धम्)

(ii) अब $\triangle \text{ABO}$ तथा $\triangle \text{ACO}$ में
$\text{AB} = \text{AC}$ [दिया है]
$\angle \text{ABO} = \angle \text{ACO}$ समीकरण (i) से
$\text{OB} = \text{OC}$ समीकरण (ii) से
$\therefore \text{SAS}$ सर्वांगसमता गुण से
$\triangle \text{ABO} \cong \triangle \text{ACO}$
या $\angle \text{BAO} = \angle \text{CAO}$
[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
या $\text{AO}, \angle \text{BAC}$ को समद्विभाजित करता है।
(इति सिद्धम्)

2. $\triangle \text{ABC}$ में $\text{AD}$ भुजा $\text{BC}$ का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\triangle \text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\text{AB} = \text{AC}$ है।

हल-प्रश्न में दी गई आकृति के $\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ACD}$ में

$\angle \text{ADB} = \angle \text{ADC} = 90^{\circ}$ (प्रत्येक)
[क्योंकि $\text{AD} \perp \text{BC}$ (दिया है)]
$\text{BD} = \text{CD}$
$[\because \text{AD}, \text{BC}$ को समद्विभाजित करती है (दिया है)]
तथा $\text{AD} = \text{AD}$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\therefore \quad \triangle \text{ADB} \cong \triangle \text{ADC}$
(सर्वांगसमता के $\text{SAS}$ नियम से)

670

[क्योंकि $\text{BE} \perp \text{AC}$ और $\text{CF} \perp \text{AB}$ (दिया है)]
तथा $\text{BE} = \text{CF}$ (दिया है)
(i) $\therefore \Delta \text{ABE} \cong \Delta \text{ACF}$
[सर्वांगसमता के $\text{AAS}$ नियम के अनुसार]
(ii) अतः $\text{AB} = \text{AC}$
[सर्वांगसमता त्रिभुजों के संगत भाग हैं]
अर्थात् $\Delta \text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

5. $\text{ABC}$ और $\text{DBC}$ समान आधार $\text{BC}$ पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\angle \text{ABD} = \angle \text{ACD}$ है।

हल—प्रश्नानुसार दिए गए चित्र के समद्विबाहु $\Delta \text{ABC}$ में

$\therefore \angle \text{ACB} = \angle \text{ABC}$ .....(i)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं]
$\text{AB} = \text{AC}$ (दिया है)
साथ ही पुनः समद्विबाहु त्रिभुज $\text{BCD}$ में
$\therefore \angle \text{BCD} = \angle \text{CBD}$ .....(ii)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं]
तथा $\text{BD} = \text{DC}$
समीकरण (i) व (ii) के संगत पक्षों को जोड़ने पर
$\angle \text{ACB} + \angle \text{BCD} = \angle \text{ABC} + \angle \text{CBD}$
या $\angle \text{ACD} = \angle \text{ABD}$
या $\angle \text{ABD} = \angle \text{ACD}$ (इति सिद्धम्)

6. $\text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\text{AB} = \text{AC}$ है। भुजा $\text{BA}$ बिन्दु $\text{D}$ तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि $\text{AD} = \text{AB}$ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\angle \text{BCD}$ एक समकोण है।

हल—चित्रानुसार दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज $\text{ABC}$ में

$\angle \text{ACB} = \angle \text{ABC}$ .....(i)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं।]
$\text{AB} = \text{AC}$ (दिया है)
अब $\text{AD} = \text{AB}$ (रचना से)
परन्तु $\text{AB} = \text{AC}$ (दिया है)
$\therefore \text{AD} = \text{AB} = \text{AC}$
$\Rightarrow \text{AD} = \text{AC}$
अब त्रिभुज $\text{ADC}$ में
$\text{AD} = \text{AC}$
तथा $\angle \text{ADC} = \angle \text{ACD}$ .....(ii)
[क्योंकि ये $\Delta \text{ADC}$ में समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं]
तथा $\angle \text{BAC} + \angle \text{CAD} = 180^{\circ}$ .....(iii)
(रैखिक युग्म अभिगृहीत से)
$\because$ हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण अंतःसम्मुख कोणों के योगफल के बराबर होता है।
$\therefore$ त्रिभुज $\text{ABC}$ से
$\angle \text{CAD} = \angle \text{ABC} + \angle \text{ACB}$

$= \angle \text{ACB} + \angle \text{ACB}$
[समीकरण (i) से]
या $\angle \text{CAD} = 2 \angle \text{ACB}$ .....(iv)
इसी प्रकार पुनः $\Delta \text{ADC}$ से
$\angle \text{BAC} = \angle \text{ACD} + \angle \text{ADC}$
क्योंकि हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण अंतःसम्मुख कोणों के योगफल के बराबर होता है।
अतः: $\angle \text{BAC} = \angle \text{ACD} + \angle \text{ACD}$
[समीकरण (ii) से]
या $\angle \text{BAC} = 2 \angle \text{ACD}$ .....(v)
अब समीकरण (iii), (iv) व (v) से
$2 \angle \text{ACB} + 2 \angle \text{ACD} = 180^{\circ}$
या $2 (\angle \text{ACB} + \angle \text{ACD}) = 180^{\circ}$
या $\angle \text{ACB} + \angle \text{ACD} = 90^{\circ}$
या $\angle \text{BCD} = 90^{\circ}$
अतः: $\angle \text{BCD}$ एक समकोण है।

7. $\text{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle \text{A} = 90^{\circ}$ और $\text{AB} = \text{AC}$ है। $\angle \text{B}$ और $\angle \text{C}$ ज्ञात कीजिए।

हल—प्रश्नानुसार एक समकोण त्रिभुज $\text{ABC}$ है जिसमें

$\angle \text{A} = 90^{\circ}$
तथा $\text{AB} = \text{AC}$
$\Delta \text{ABC}$ में $\text{AB} = \text{AC}$
अर्थात् $\angle \text{C} = \angle \text{B}$ .....(i)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं।]
अब पुनः $\Delta \text{ABC}$ में

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से)
या $90^{\circ} + \angle B + \angle B = 180^{\circ}$
$[\because \angle A = 90^{\circ} (\text{दिया है}),$
तथा $\angle B = \angle C \text{ समीकरण (i) से)}]$
या $2 \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ}$
या $2 \angle B = 90^{\circ}$
या $\angle B = 45^{\circ}$
$\therefore \angle C = \angle B$
$\therefore \angle C = 45^{\circ} \text{ उत्तर}$

8. दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है।

हल- माना कि एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ है

$\therefore AB = BC = AC$
यदि $AB = BC$ है तो
$\angle C = \angle A$ ....(i)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं।]
पुन: यदि $AB = AC$ है तो
$\angle C = \angle B$ .....(ii)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं।]

अब समीकरण (i) व (ii) से
$\angle A = \angle B = \angle C$ ....(iii)
अब $\triangle ABC$ में
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ .....(iv)
(त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से)
या $\angle A + \angle A + \angle A = 180^{\circ}$
समीकरण (iii) से
या $3 \angle A = 180^{\circ}$
या $\angle A = 60^{\circ}$
$\because$ समीकरण (iii) के अनुसार
$\angle A = \angle B = \angle C$
अर्थात् $\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$
अतः यह कहा जा सकता है कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है।

प्रश्नावली 7.3
1. $\triangle ABC$ और $\triangle DBC$ एक ही आधार $BC$ पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि $A$ और $D$ भुजा $BC$ के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)। यदि $AD$ बढ़ाने पर $BC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे तो दर्शाइए कि

(i) $\triangle ABD \cong \triangle ACD$
(ii) $\triangle ABP \cong \triangle ACP$
(iii) $AP$ कोण $A$ और कोण $D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) $AP$ रेखाखण्ड $BC$ का लम्ब समद्विभाजक है।

हल- (i) प्रश्न में दिए अनुसार $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

अतः $AB = AC$
इसी प्रकार दूसरा $\triangle DBC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अतः:
$BD = CD$
अब $\triangle ABD$ तथा $\triangle ACD$ में
$AB = AC$ (दिया है)
$BD = CD$ (दिया है)
तथा $AD = AD$ (उभयनिष्ठ)
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD$
[सर्वांगसमता के SSS नियम के अनुसार]
अतः: $\angle BAD = \angle CAD$ .....(i)
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग हैं]

(ii) अब $\triangle ABP$ और $\triangle ACP$ में
$AB = AC$ (दिया है)
$\angle BAP = \angle CAP$
तथा $AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\therefore \triangle ABP \cong \triangle ACP$
[सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार]

(iii) इस प्रश्न के द्वितीय भाग में सिद्ध किया है कि
$\triangle ABP \cong \triangle ACP$
अतः $\angle BAP = \angle CAP$
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं]
अतः $AP, \angle A$ को समद्विभाजित करता है।
भाग (i) के अनुसार
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$

अतः $\angle \text{ADB} = \angle \text{ADC}$ .....(ii)
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं]
तथा $\angle \text{ADB} + \angle \text{BDP} = 180^{\circ}$ .....(iii)
(रैखिक युग्म अभिगृहीत से)
तथा $\angle \text{ADC} + \angle \text{CDP} = 180^{\circ}$ .....(iv)
(रैखिक युग्म अभिगृहीत से)
अब समीकरण (iii) व (iv) से
$\angle \text{ADB} + \angle \text{BDP} = \angle \text{ADC} + \angle \text{CDP}$
या $\angle \text{ADB} + \angle \text{BDP} = \angle \text{ADB} + \angle \text{CDP}$
[समीकरण (ii) के अनुसार]
या $\angle \text{BDP} = \angle \text{CDP}$
अर्थात् $\text{DP}, \angle \text{D}$ को समद्विभाजित करता है।
यह कहा जा सकता है कि $\text{AP}$ कोण $\text{A}$ तथा कोण $\text{D}$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) भाग (ii) में हम सिद्ध कर चुके हैं कि $\triangle \text{ABP} \cong \triangle \text{ACP}$
अतः $\text{BP} = \text{PC}$ .....(v)
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।]
तथा $\angle \text{APB} = \angle \text{APC}$ .....(vi)
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।]
अब $\angle \text{APB} + \angle \text{APC} = 180^{\circ}$
(रैखिक युग्म अभिगृहीत से)
या $\angle \text{APB} + \angle \text{APB} = 180^{\circ}$
[समीकरण (vi) के अनुसार]
या $2 \angle \text{APB} = 180^{\circ}$
या $\angle \text{APB} = 90^{\circ}$
अर्थात् $\text{AP} \perp \text{BC}$ .....(vii)
समीकरण (v) से $\text{BP} = \text{PC}$ तथा समीकरण (vii) के अनुसार यह सिद्ध किया है कि $\text{AP} \perp \text{BC}$। दोनों समीकरणों को सम्मिलित करने पर यह कहा जा सकता है कि $\text{AP}$ रेखाखण्ड $\text{BC}$ का लम्ब समद्विभाजक है।

2. $\text{AD}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज $\text{ABC}$ का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें $\text{AB} = \text{AC}$ है। दर्शाइए कि
(i) $\text{AD}$ रेखाखण्ड $\text{BC}$ को समद्विभाजित करता है।
(ii) $\text{AD}$ कोण $\text{A}$ को समद्विभाजित करता है।

हल- प्रश्नानुसार दिए गए त्रिभुज के अनुसार $\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ACD}$ में

$\text{AB} = \text{AC}$ (दिया है)
$\angle \text{ADB} = \angle \text{ADC}$ (प्रत्येक $90^{\circ}$)
[क्योंकि $\text{AD} \perp \text{BC}$ (दिया है)]

तथा $\text{AD} = \text{AD}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ACD}$
[सर्वांगसमता के नियम $\text{RHS}$ से]
अतः $\text{BD} = \text{DC}$
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं]
(i) अर्थात् $\text{AD}, \text{BC}$ को समद्विभाजित करती है।
साथ ही $\angle \text{BAD} = \angle \text{CAD}$
[क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों के ये संगत भाग हैं।]
(ii) अर्थात् $\text{AD}, \angle \text{A}$ को समद्विभाजित करती है।

3. एक त्रिभुज $\text{ABC}$ की दो भुजाएँ $\text{AB}$ और $\text{BC}$ तथा माध्यिका $\text{AM}$ क्रमशः एक-दूसरे त्रिभुज की भुजाओं $\text{PQ}$ और $\text{QR}$ तथा माध्यिका $\text{PN}$ के बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) $\triangle \text{ABM} \cong \triangle \text{PQN}$
(ii) $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{PQR}$

हल- प्रश्नानुसार $\text{AM}, \triangle \text{ABC}$ की माध्यिका है।

$\therefore \text{BM} = \text{MC} = \frac{1}{2} \text{BC}$ .....(i)
पुनः $\text{PN}, \triangle \text{PQR}$ की माध्यिका है।
$\therefore \text{QN} = \text{NR} = \frac{1}{2} \text{QR}$ .....(ii)
अब $\text{BC} = \text{QR}$ (दिया है)
अर्थात् $\frac{1}{2} \text{BC} = \frac{1}{2} \text{QR}$
अतः $\text{BM} = \text{QN}$ .....(iii)
[समीकरण (i) व (ii) के अनुसार]
(i) अब $\triangle \text{ABM}$ और $\triangle \text{PQN}$ में
$\text{AB} = \text{PQ}$ (दिया है)
$\text{AM} = \text{PN}$ (दिया है)
$\text{BM} = \text{QN}$ [समीकरण (iii) के अनुसार]
अतः $\triangle \text{ABM} \cong \triangle \text{PQN}$
[सर्वांगसमता के $\text{SSS}$ नियम के अनुसार]

अतः $\angle B = \angle Q$ .....(iv)
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)
(ii) अब $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में
$AB = PQ$ (दिया है)
$\angle B = \angle Q$
[समीकरण (iv) के अनुसार]
तथा $BC = QR$ (दिया है)
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle PQR$
[सर्वांगसमता के SAS नियम के अनुसार]

4. $BE$ और $CF$ एक त्रिभुज $ABC$ के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल-प्रश्नानुसार त्रिभुज की रचना कर अब $\triangle BEC$ और $\triangle CFB$ में

$\angle BEC = \angle CFB$ [प्रत्येक $90^{\circ}$]
[क्योंकि $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$]
$BC = BC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
तथा $BE = CF$ (दिया है)
अतः $\triangle BEC \cong \triangle CFB$
[सर्वांगसमता के नियम RHS के अनुसार]
अतः $EC = FB$ .....(i)
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं]
अब पुनः $\triangle AEB$ तथा $\triangle AFC$ में
$\angle AEB = \angle AFC$
[प्रत्येक $90^{\circ}$ (दिया है)]
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
तथा $EB = FC$ (दिया है)
अतः $\triangle AEB \cong \triangle AFC$
(सर्वांगसमता के नियम AAS के अनुसार)
अतः $AE = AF$ .....(ii)
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं]
अब समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर
$EC + AE = FB + AF$
या $AC = AB$
अब $\triangle ABC$ में हमें प्राप्त है $AB = AC$
अर्थात् $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
(इति सिद्धम्)

5. $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। $AP \perp BC$ खींच कर दर्शाइए कि $\angle B = \angle C$ है।

हल-दिया है-चित्रानुसार एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $AB = AC$

सिद्ध करना है-$\angle B = \angle C$
रचना-भुजा $BC$ पर लम्ब $AP$ खींचा।
उपपत्ति-$\triangle ABP$ तथा $\triangle ACP$ से
$\angle APB = \angle APC$ [प्रत्येक कोण $90^{\circ}$]
(रचना से)
$AB = AC$ (दिया है)
$AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
अतः $\triangle ABP \cong \triangle ACP$
(सर्वांगसमता के नियम RHS के अनुसार)
अतः $\angle B = \angle C$
[क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं]

--- अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न ---

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

1. चित्र में $AB = AC$ हो, तो $\angle C$ का मान होगा-
   (A) $60^{\circ}$
   (B) $36^{\circ}$
   (C) $72^{\circ}$
   (D) $108^{\circ}$

2. यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से दूसरी दो भुजाओं पर डाले गए लम्ब समान हों तो त्रिभुज होता है-
   (A) समबाहु (B) समद्विबाहु
   (C) समानकोणिक (D) विषमबाहु

3. चित्र में $\triangle ABC$ में $AB = AC$ एवं $AD \perp BC$ हो, तो भुजा $AD$ समद्विभाजक होगी-
   (A) कोण $A$ की
   (B) भुजा $BC$ की

(C) कोण A एवं भुजा BC दोनों की
(D) किसी की भी नहीं
4. चित्र में प्रदर्शित $\triangle ABC$ में $AD = BD$ एवं $AC = DC$ हो एवं $\angle C = 44^{\circ}$ हो, तो $\angle A$ का मान होगा-

(A) $68^{\circ}$ (B) $112^{\circ}$
(C) $34^{\circ}$ (D) $102^{\circ}$
5. रेखाखण्ड AB और CD, O पर प्रतिच्छेदित होते हैं तथा $AC \parallel DB$, यदि $\angle CAB = 45^{\circ}$ और $\angle CDB = 55^{\circ}$, तब $\angle BOD =$
(A) $100^{\circ}$ (B) $80^{\circ}$
(C) $90^{\circ}$ (D) $135^{\circ}$
6. चित्र में $z$ का मान $x$ और $y$ के पदों में होगा-

(A) $x + y + 180$ (B) $x + y - 180^{\circ}$
(C) $180^{\circ} - (x + y)$ (D) $x + y + 360^{\circ}$
7. सर्वांगसम त्रिभुजों ABC व PQR में यदि $AB = PQ, BC = QR$ और $\angle A = \angle P$ यदि $\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 70^{\circ}$ और $\angle C = 80^{\circ}$ हों तो $\angle Q$ का मान होगा-
(A) $30^{\circ}$ (B) $70^{\circ}$
(C) $80^{\circ}$ (D) $110^{\circ}$
8. त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए निम्न प्रतिबन्ध सही नहीं है-
(A) कोण-कोण-कोण सर्वांगसमता
(B) भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता
(C) कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता
(D) भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता
9. दो त्रिभुजों ABC तथा DEF में $AC = DF, BC = EF$ तथा $\angle ABC = \angle DEF = 90^{\circ}$ हो तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं-
(A) समकोण-कर्ण-भुजा प्रमेय से
(B) भुजा-कोण-भुजा प्रमेय से
(C) कोण-भुजा-कोण प्रमेय से
(D) भुजा-भुजा-भुजा प्रमेय से
10. निम्न में से कौनसा विकल्प त्रिभुजों की सर्वांगसमता हेतु नहीं है-

(A) SAS (B) SSA
(C) ASA (D) SSS

| उत्तर-तालिका |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1. (C) | 2. (B) | 3. (C) | 4. (D) | 5. (B) |
| 6. (B) | 7. (B) | 8. (A) | 9. (A) | 10. (B) |

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

1. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों, तो उनके सम्मुख कोण .................... होते हैं।
2. किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण .................... का होता है।
3. किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से .................... होता है।
4. किसी त्रिभुज में बड़ी भुजा का सम्मुख कोण .................... होता है।
5. यदि $\triangle PQR \cong \triangle EFD$, तब $\angle E =$

उत्तर- 1. बराबर 2. $60^{\circ}$ 3. बड़ा 4. बड़ा 5. $\angle P$

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए-

1. यदि दो त्रिभुजों में से एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के अलग-अलग हों और इनके बीच के कोण भी आपस में बराबर हों तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होंगे।
2. यदि दो समकोण त्रिभुजों में कर्ण बराबर हों, तो त्रिभुज सदैव सर्वांगसम होते हैं।
3. किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
4. किसी भी त्रिभुज में बड़े कोण की सम्मुख भुजा छोटे कोण की सम्मुख भुजा से बड़ी होती है।
5. यदि किसी त्रिभुज में कोणों का अनुपात $5 : 3 : 7$ हो तो त्रिभुज समकोण त्रिभुज होगा।

उत्तर- 1. सत्य 2. असत्य 3. सत्य 4. सत्य 5. असत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान लिखिए।

हल- प्रत्येक कोण $\frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$ होगा।

2. किसी त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण कैसे होते हैं?

हल- बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।

3. $\triangle \text{ABC}$ एवं $\triangle \text{DEF}$ में यदि $\text{AB} = \text{DF}$, $\text{BC} = \text{DE}$, $\text{AC} = \text{EF}$ एवं $\angle \text{D} = 55^{\circ}$ हो, तो $\angle \text{B}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल— यहाँ $\triangle \text{ABC}$ व $\triangle \text{DEF}$ में

$\text{AB} = \text{DF}$ दिया है
$\text{BC} = \text{DE}$
$\text{AC} = \text{EF}$
अतः: $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{DEF}$
अतः: $\angle \text{D} = \angle \text{B} = 55^{\circ}$ होगा। उत्तर

4. चित्र में $\angle \text{B} = \angle \text{D} = 90^{\circ}$ हैं, तथा $\text{BC} = \text{CD}$ हो, तो क्या $\text{AB} = \text{DE}$ है? क्यों?

हल— $\triangle \text{ABC}$ व $\triangle \text{CDE}$ में

$\angle \text{B} = \angle \text{D} = 90^{\circ}$ (दिया है)
$\text{BC} = \text{CD}$ भुजा के (दिया है)
$\angle \text{BCA} = \angle \text{DCE}$ (सम्मुख कोण)
अतः: $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{CDE}$ (ASA नियम से)
अतः: $\text{AB} = \text{DE}$ होगा इति सिद्धम्

5. नीचे दी गई आकृति में $\text{AB} = \text{AC}$ तो $\angle \text{C}$ का मान अंशों में लिखिए।

हल— $4x + 2x + 4x = 180$

$10x = 180$
या $x = \frac{180}{10} = 18^{\circ}$
अतः: $\angle \text{C} = 4 \times 18 = 72^{\circ}$ उत्तर

6. दिए गए त्रिभुज $\text{PQR}$ में $\angle \text{QPR}$ का समद्विभाजक $\text{PT}$ है। यदि $\angle \text{PQR} = 50^{\circ}$, $\angle \text{PRQ} = 30^{\circ}$ और $\text{PS} \perp \text{QR}$, तब $x$ का मान ज्ञात करो।

हल— चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है, तब

$\angle \text{PQR} + \angle \text{PRQ} + \angle \text{RPQ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 50^{\circ} + 30^{\circ} + \angle \text{RPQ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{RPQ} = 100^{\circ}$
$\therefore \angle \text{QPT} = \frac{1}{2} \angle \text{RPQ} = 50^{\circ}$
$[\because \text{PT}, \angle \text{QPR}$ का समद्विभाजक है$]$
$\triangle \text{PQS}$ में बाह्य कोण गुणधर्म से,
$\angle \text{PST} = \angle \text{PQS} + \angle \text{QPS}$
$\Rightarrow 90^{\circ} = 50^{\circ} + \angle \text{QPS}$
$\Rightarrow \angle \text{QPS} = 40^{\circ}$
$\therefore x = \angle \text{QPT} - \angle \text{QPS}$

$= 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ}$ उत्तर

7. दिए गए चित्र में दिया है कि $\text{AB} = \text{CF}$, $\text{EF} = \text{BD}$ और $\angle \text{AFE} = \angle \text{CBD}$

सिद्ध कीजिए $\triangle \text{AFE} \cong \triangle \text{CBD}$

हल— दिया है $\text{AB} = \text{CF}$

$\Rightarrow \text{AB} + \text{BF} = \text{CF} + \text{BF}$
$\Rightarrow \text{AF} = \text{BC}$ ...(i)
इस प्रकार, $\triangle \text{AFE}$ व $\triangle \text{CBD}$ में
$\text{AF} = \text{CB}$ [(i) से]
$\angle \text{AFE} = \angle \text{DBC}$ (दिया है)
और $\text{EF} = \text{BD}$
अतः: SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
$\triangle \text{ADC} \cong \triangle \text{CBA}$

8. चित्र में $AB = AC$ एवं $\angle B = 58^{\circ}$ हो तो $\angle A$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल- $\triangle ABC$ में $AB = AC$

अतः $\angle B = \angle C$ होगा।
$\triangle$ के तीनों कोणों का योग $= 180^{\circ}$
अतः $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle A + 58^{\circ} + 58^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - 116^{\circ}$

$= 64^{\circ}$ उत्तर

9. एक त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे कोण के समान है। तीसरे कोण का मान ज्ञात करो।

हल- माना त्रिभुज $ABC$ इस प्रकार है कि

$\angle A + \angle B = \angle C$ ...(i)
हम जानते हैं कि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
$\angle C + \angle C = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 2\angle C = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle C = 90^{\circ}$
अतः तीसरे कोण की माप $90^{\circ}$ है। उत्तर

10. दिए गए चित्र में, दिया है कि $AE = AD$ और $BD = CE$। सिद्ध कीजिए कि $\triangle AEB \cong \triangle ADC$

हल- दिया है, $AE = AD$ तथा $CE = BD$

$\Rightarrow AE + CE = AD + BD$
$\Rightarrow AC = AB$ ...(i)
इस प्रकार $\triangle AEB$ व $\triangle ADC$ में
$AE = AD$ (दिया है)
$\angle EAB = \angle DAC$ (उभयनिष्ठ)
और $AC = AB$ ((i) से)
तब $SAS$ सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle AEB \cong \triangle ADC$

लघूत्तरात्मक प्रश्न-
1. चित्र में $AD = BD$ एवं $\angle C = \angle E$ हो, तो सिद्ध कीजिए $BC = AE$

हल- $\triangle ABE$ तथा $\triangle ABC$ में

$\angle E = \angle C$ दिया है।
$\angle ABE = \angle CAB$ के
($\because AD = BD$ अतः $\triangle ABD$ में $\angle A = \angle B$)
$AB$ भुजा उभयनिष्ठ है।
अतः $\triangle ABE \cong \triangle ABC$
अतः $BC = AE$ होगा। (इति सिद्धम्)

2. यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ की माध्यिका $AD$ हो तथा $\angle A = 120^{\circ}$ एवं $AB = AC$ हो, तो $\angle ADB$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल- $\because AB = AC$

अतः $\angle B = \angle C$
$\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$
अतः $\angle B = \angle C = 30^{\circ}$
$\angle ADB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ})$
$\angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ उत्तर

3. रेखाखण्ड $AB$ एक अन्य रेखाखण्ड $CD$ के समान्तर है और $O$ रेखाखण्ड $AD$ का मध्य बिन्दु है। (आकृति में देखिये) सिद्ध कीजिए कि

(i) $\triangle AOB \cong \triangle DOC$
(ii) $O$ रेखाखण्ड $BC$ का भी मध्य-बिन्दु है।

हल- (i) हम यहाँ पर $\triangle AOB$ और $\triangle DOC$ पर विचार करेंगे

$\angle ABO = \angle DCO$
(एकान्तर कोण और तिर्यक रेखा $BC$ के साथ $AB \parallel CD$)

$\angle \text{AOB} = \angle \text{DOC}$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$\text{OA} = \text{OD}$ (दिया है)
अतः $\triangle \text{AOB} \cong \triangle \text{DOC}$ (AAS नियम)
(ii) $\text{OB} = \text{OC}$ (CPCT)
अर्थात् O रेखाखण्ड $\text{BC}$ का भी मध्य-बिन्दु है।

4. E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की बराबर भुजाओं AB तथा AC के मध्य-बिन्दु हैं। (देखिये आकृति) दर्शाइए कि BF = CE है।

हल—$\triangle \text{ABF}$ और $\triangle \text{ACE}$ में,

$\text{AB} = \text{AC}$ (दिया है)
$\angle \text{A} = \angle \text{A}$ (उभयनिष्ठ)
$\text{AF} = \text{AE}$ (बराबर भुजाओं के आधे)
अतः $\triangle \text{ABF} \cong \triangle \text{ACE}$ (SAS नियम)
$\therefore \text{BF} = \text{CE}$ (CPCT)

5. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC जिसमें AB = AC है, की भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार हैं कि BE = CD है (देखिये आकृति)। दर्शाइए कि AD = AE है।

हल—$\triangle \text{ABD}$ और $\triangle \text{ACE}$ में,

$\text{AB} = \text{AC}$ (दिया है) .....(1)
$\angle \text{B} = \angle \text{C}$ .....(2)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
साथ ही, $\text{BE} = \text{CD}$ (दिया है)
इसलिए, $\text{BE} - \text{DE} = \text{CD} - \text{DE}$
अर्थात्, $\text{BD} = \text{CE}$ .....(3)
अतः, $\triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{ACE}$ [(1), (2), (3) और SAS नियम द्वारा]
इससे प्राप्त होता है—$\text{AD} = \text{AE}$ (CPCT)

6. ABCD एक वर्ग है। भुजाओं AD और BC पर क्रमशः X और Y ऐसे बिन्दु हैं कि AY = BX तो सिद्ध कीजिए कि BY = AX और $\angle \text{BAY} = \angle \text{ABX}$.

हल—प्रश्नानुसार हमें दिया गया है कि वर्ग की भुजाओं $\text{AD}$ और $\text{BC}$ पर क्रमशः बिन्दु $\text{X}$ और $\text{Y}$ इस प्रकार हैं कि $\text{AY} = \text{BX}$।

हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग की आसन्न भुजाएँ परस्पर लम्बवत् होती हैं।

$\therefore \angle \text{A} = \angle \text{B} = 90^{\circ}$
समकोण $\triangle \text{ABY}$ तथा $\triangle \text{BAX}$ में
$\angle \text{A} = \angle \text{B} = 90^{\circ}$ (दिया है)
$\text{AY} = \text{BX}$ (दिया है)
$\text{AB} = \text{AB}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः $\triangle \text{ABY} \cong \triangle \text{BAX}$ (सर्वांगसमता के RHS नियम के अनुसार)
$\Rightarrow \text{BY} = \text{AX}$
तथा $\angle \text{BAY} = \angle \text{ABX}$ (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)