पाठ 8: चतुर्भुज

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 8.1

प्रश्न 1. यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।

हल- दिया है - प्रश्नानुसार $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण $AC =$ विकर्ण $BD$।

सिद्ध करना है - $ABCD$ एक आयत है।
उपपत्ति - विकर्णों के आधार पर $\triangle ABC$ और $\triangle ABD$ में
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$AC = BD$ (दिया है)
तथा $BC = AD$ (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ABD$ (सर्वांगसमता के नियम $SSS$ के अनुसार)
$\Rightarrow \angle DAB = \angle CBA$ .....(i) (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
परन्तु $\angle DAB + \angle CBA = 180^{\circ}$ .....(ii)
[$\because AD \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोणों का योगफल $180^{\circ}$ होता है।]
समीकरण (i) व (ii) से
$\angle DAB = \angle CBA =$ एक समकोण
अतः $ABCD$ एक आयत है क्योंकि यदि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण $90^{\circ}$ हो, तो वह आयत होता है। (इति सिद्धम्)

प्रश्न 2. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

हल- दिया है - एक वर्ग $ABCD$ है जिसमें इसके विकर्ण क्रमशः $AC$ तथा $BD$ हैं।

सिद्ध करना है -
(i) $AC = BD$
तथा (ii) $AC \perp BD$

उपपत्ति- (i) विकर्णों के कारण वर्ग में बने $\triangle ABC$ और $\triangle BAD$ में
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ABC = \angle BAD$ (प्रत्येक $90^{\circ}$)
तथा $BC = AD$ (वर्ग की भुजाएँ)
अतः $\triangle ABC \cong \triangle BAD$ (सर्वांगसमता के नियम $SAS$ के अनुसार)
अर्थात् $AC = BD$ (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं) (इति सिद्धम्)

(ii) पुनः $\triangle AOB$ और $\triangle AOD$ में
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$AB = AD$ (वर्ग की भुजाएँ)
$OB = OD$ (क्योंकि वर्ग के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं)
अतः $\triangle AOB \cong \triangle AOD$ (सर्वांगसमता के नियम $SSS$ के अनुसार)
$\therefore \angle AOB = \angle AOD$ (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
लेकिन $\angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत से)
$\therefore \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$
अर्थात् $AO \perp BD$ या $AC \perp BD$ (इति सिद्धम्)

प्रश्न 3. समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ का विकर्ण $AC$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) यह $\angle C$ को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

हल- (i) दिया है - एक समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ है जिसमें विकर्ण $AC$, $\angle A$ को समद्विभाजित करता है।

सिद्ध करना है - दिया गया विकर्ण $AC$, $\angle C$ को भी समद्विभाजित करता है।

उपपत्ति-चित्रानुसार $AB \parallel DC$ तथा $AC$ एक तिर्यक रेखा इन्हें प्रतिच्छेदित करती है।
$\therefore \angle 1 = \angle 3$ (एकान्तर कोण) .....(i)
$\angle 2 = \angle 4$ (एकान्तर कोण) .....(ii)
परन्तु $\angle 1 = \angle 2$ .....(iii)
[क्योंकि $AC$, $\angle A$ को समद्विभाजित करती है।]
अतः $\angle 3 = \angle 4$
अतः $AC$, $\angle C$ को भी समद्विभाजित करती है।
(ii) सिद्ध करना है- $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
भाग (i) से- समीकरण (i), (ii) और (iii) से
$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3 = \angle 4$
अब $\triangle ABC$ में,
$\angle 1 = \angle 4$ .....(iv)
$\Rightarrow AB = BC$
[त्रिभुज में समान कोणों के सामने की भुजायें समान होती हैं।]
इसी प्रकार $\triangle ADC$ में,
$AD = DC$ .....(iv)
और $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\therefore \begin{matrix} AB = CD \ AD = BC \end{matrix} \rbrace$ .....(vi)
समीकरण (iv), (v) व (vi) से
$AB = BC = CD = DA$
अतः $ABCD$ एक समचतुर्भुज है। (इतिसिद्धम्)

4. $ABCD$ एक आयत है जिसमें विकर्ण $AC$ दोनों कोणों $A$ और $C$ को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (i) $ABCD$ एक वर्ग है (ii) विकर्ण $BD$ दोनों कोणों $B$ और $D$ को समद्विभाजित करता है।

हल- प्रश्नानुसार एक आयत $ABCD$ है जिसमें

$AB = DC$ .....(i)
तथा $BC = AD$

साथ ही प्रत्येक कोण अर्थात्
$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$
(i) बने त्रिभुज $ABC$ और $\triangle ADC$ में
$\angle 1 = \angle 2$
तथा $\angle 3 = \angle 4$
क्योंकि विकर्ण $AC$ दोनों कोणों को समद्विभाजित करता है।

तथा $AC = AC$ (उभयनिष्ठ भुजायें)
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC$
(सर्वांगसमता के नियम $ASA$ के अनुसार)
अतः $AB = AD$ .....(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
$AB = BC = AD = DC$
अर्थात् आयत की सभी भुजायें समान हैं। अतः यह एक वर्ग है।

(ii) संलग्न चित्रानुसार

$\triangle ABD$ तथा $\triangle BDC$ में
$AB = BC$ [क्योंकि आयत $ABCD$ एक वर्ग है।]
$AD = DC$ [क्योंकि आयत $ABCD$ एक वर्ग है।]
तथा $BD = BD$ (उभयनिष्ठ भुजायें)
अतः $\triangle ABD \cong \triangle BDC$
(सर्वांगसमता के नियम $SSS$ के अनुसार)
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$ .....(iii)
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)
और $\angle ADB = \angle CDB$ .....(iv)
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)
अतः समीकरण (iii) व (iv) के आधार पर यह कहा जा सकता है कि विकर्ण $BD$ दोनों कोणों $B$ तथा $D$ को समद्विभाजित करता है।

5. समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $BD$ पर दो बिन्दु $P$ और $Q$ इस प्रकार स्थित हैं कि $DP = BQ$ है (देखिए आकृति)।

दर्शाइए कि
(i) $\triangle APD \cong \triangle CQB$
(ii) $AP = CQ$

(iii) $\Delta \text{AQB} \cong \Delta \text{CPD}$
(iv) $\text{AQ} = \text{CP}$
(v) $\text{APCQ}$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

हल-(i) प्रश्न में दिए चित्र के $\Delta \text{APD}$ तथा $\Delta \text{CQB}$ से

$\text{DP} = \text{BQ}$ (दिया है)
$\angle \text{ADP} = \angle \text{QBC}$
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ में $\text{AD} \parallel \text{BC}$ तथा $\text{BD}$ एक तिर्यक रेखा उन्हें काटती है।
$\therefore \angle \text{ADB} = \angle \text{DBC}$ (एकान्तर कोण)
$\therefore \angle \text{ADP} = \angle \text{QBC}$
$\text{AD} = \text{CB}$
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
$\therefore \Delta \text{APD} \cong \Delta \text{CQB}$
(सर्वांगसमता के नियम $\text{SAS}$ के अनुसार)
(ii) $\therefore \text{AP} = \text{CQ}$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
(iii) अब पुनः $\Delta \text{AQB}$ तथा $\Delta \text{CPD}$ से
$\text{BQ} = \text{DP}$ (दिया है)
$\angle \text{ABQ} = \angle \text{PDC}$
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ में $\text{AB} \parallel \text{CD}$ तथा $\text{BD}$ एक तिर्यक रेखा इनको काटती है।
$\therefore \angle \text{ABD} = \angle \text{BDC}$ (एकान्तर कोण)
$\therefore \angle \text{ABQ} = \angle \text{PDC}$
$\text{AB} = \text{CD}$
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
$\therefore \Delta \text{AQB} \cong \Delta \text{CPD}$
(सर्वांगसमता के नियम $\text{SAS}$ के अनुसार)
(iv) $\therefore \text{AQ} = \text{CP}$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)
(v) अब चतुर्भुज $\text{APCQ}$ से
$\text{AP} = \text{CQ}$ (भाग ii से)
तथा $\text{AQ} = \text{CP}$ (भाग iv से)
अर्थात् चतुर्भुज $\text{APCQ}$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। हम जानते हैं कि एक समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं। अतः $\text{APCQ}$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

6. $\text{ABCD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा $\text{AP}$ और $\text{CQ}$ शीर्षों $\text{A}$ और $\text{C}$ से विकर्ण $\text{BD}$ पर क्रमशः लम्ब हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
   (i) $\Delta \text{APB} \cong \Delta \text{CQD}$
   (ii) $\text{AP} = \text{CQ}$

हल-प्रश्नानुसार $\text{ABCD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें $\text{AB} \parallel \text{DC}$ तथा $\text{BD}$ एक तिर्यक रेखा है।

$\therefore \angle 1 = \angle 2$ (एकान्तर कोण) .....(i)
(i) अब आकृति में बनने वाले $\Delta \text{APB}$ और $\Delta \text{CQD}$ में
$\angle \text{APB} = \angle \text{CQD} = 90^{\circ}$ (दिया है)
$\angle 1 = \angle 2$ [समीकरण (i) के अनुसार]
तथा $\text{AB} = \text{CD}$ [क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
$\therefore \Delta \text{APB} \cong \Delta \text{CQD}$ (सर्वांगसमता के नियम $\text{AAS}$ के अनुसार)
(ii) $\therefore \text{AP} = \text{CQ}$ (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)

7. $\text{ABCD}$ एक समलम्ब है, जिसमें $\text{AB} \parallel \text{DC}$ और $\text{AD} = \text{BC}$ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
   (i) $\angle \text{A} = \angle \text{B}$
   (ii) $\angle \text{C} = \angle \text{D}$
   (iii) $\Delta \text{ABC} \cong \Delta \text{BAD}$
   (iv) विकर्ण $\text{AC} = \text{विकर्ण BD}$ है।
   [संकेत-$\text{AB}$ को बढ़ाइए और $\text{C}$ से होकर $\text{DA}$ के समान्तर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा $\text{AB}$ को $\text{E}$ पर प्रतिच्छेद करे।]

हल-(i) प्रश्नानुसार दी गई आकृति में $\text{AB}$ रेखा को आगे बढ़ाया तथा रेखा $\text{CE} \parallel \text{AD}$ खींच दी। अब क्योंकि $\text{AD} \parallel \text{CE}$ और तिर्यक रेखा $\text{AE}$ उनको क्रमशः $\text{A}$ और $\text{E}$ बिन्दुओं पर काटती है।

$\therefore \angle \text{A} + \angle \text{E} = 180^{\circ}$
या $\angle \text{A} = 180^{\circ} - \angle \text{E}$ .....(1)
क्योंकि $\text{AB} \parallel \text{CD}$ तथा $\text{AD} \parallel \text{CE}$ है अतः $\text{AECD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है। अर्थात्
$\text{AD} = \text{CE}$
या $\text{BC} = \text{CE}$ [क्योंकि $\text{AD} = \text{BC}$ (दिया है)]

अतः $\triangle \text{BCE}$ में
$\text{BC} = \text{CE}$
$\Rightarrow \angle \text{CBE} = \angle \text{CEB}$
क्योंकि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।
$\therefore 180^{\circ} - \angle \text{B} = \angle \text{E}$
$[\because \angle \text{CBE} + \angle \text{ABC} = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत से)]
$\therefore \angle \text{CBE} = 180^{\circ} - \angle \text{ABC}$
$\Rightarrow 180^{\circ} - \angle \text{E} = \angle \text{B} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ व $(2)$ से $\angle \text{A} = \angle \text{B}$
(ii) $\text{ABCD}$ एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें $\text{AB} \parallel \text{DC}$
$\therefore \angle \text{A} + \angle \text{D} = 180^{\circ} \quad \dots(3)$
तथा $\angle \text{B} + \angle \text{C} = 180^{\circ} \quad \dots(4)$
क्योंकि दो समान्तर रेखाओं के लिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के दो अन्तःकोणों का योगफल $180^{\circ}$ होता है।
समीकरण $(3)$ व $(4)$ से
$\angle \text{A} + \angle \text{D} = \angle \text{B} + \angle \text{C}$
परन्तु $\angle \text{A} = \angle \text{B}$ (सिद्ध कर चुके हैं)
$\therefore \angle \text{A} + \angle \text{D} = \angle \text{A} + \angle \text{C}$
$\Rightarrow \angle \text{D} = \angle \text{C}$
या $\angle \text{C} = \angle \text{D}$ (इति सिद्धम्)
(iii) दिए गए $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{BAD}$ में
$\text{AB} = \text{AB}$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\angle \text{A} = \angle \text{B}$ (सिद्ध कर चुके हैं)
तथा $\text{BC} = \text{AD}$ (दिया है)
$\therefore \triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{BAD}$
(सर्वांगसमता के नियम $\text{SAS}$ के अनुसार)
(iv) अतः $\text{AC} = \text{BD}$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
अतः यह कहा जा सकता है कि समलम्ब चतुर्भुज $\text{ABCD}$ में विकर्ण $\text{AC} =$ विकर्ण $\text{BD}$।

प्रश्नावली 8.2

1. $\text{ABCD}$ एक चतुर्भुज है जिसमें $\text{P, Q, R}$ और $\text{S}$ क्रमशः भुजाओं $\text{AB, BC, CD}$ और $\text{DA}$ के मध्य-बिन्दु हैं (देखिए आकृति)। $\text{AC}$ उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
   (i) $\text{SR} \parallel \text{AC}$ और $\text{SR} = \frac{1}{2} \text{AC}$ है।
   (ii) $\text{PQ} = \text{SR}$ है।
   (iii) $\text{PQRS}$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

हल-प्रश्नानुसार दी गई आकृति के $\triangle \text{ABC}$ में, बिन्दु $\text{P, AB}$ का मध्य बिन्दु है और $\text{Q, BC}$ का मध्य बिन्दु है।

$\therefore \text{PQ} \parallel \text{AC}$
और $\text{PQ} = \frac{1}{2} \text{AC}$
(मध्य बिन्दु प्रमेय से)
(i) $\triangle \text{ACD}$ में, $\text{R}$ बिन्दु $\text{CD}$ का तथा $\text{S}$ बिन्दु $\text{AD}$ का मध्य-बिन्दु है।
तो $\text{SR} \parallel \text{AC}$ और
$\text{SR} = \frac{1}{2} \text{AC}$
(मध्य बिन्दु प्रमेय के अनुसार)
(ii) क्योंकि $\text{PQ} = \frac{1}{2} \text{AC}$
तथा $\text{SR} = \frac{1}{2} \text{AC}$
$\therefore \text{PQ} = \frac{1}{2} \text{AC} = \text{SR}$
या $\text{PQ} = \text{SR}$
(iii) हमने यह भी सिद्ध किया है कि
$\text{PQ} \parallel \text{AC}$ तथा $\text{SR} \parallel \text{AC}$
अर्थात् $\text{PQ} \parallel \text{SR}$
क्योंकि दो रेखाएँ जो दी गई रेखा के समान्तर होती हैं, परस्पर समान्तर होती हैं।
अब $\text{PQ} = \text{SR}$ तथा $\text{PQ} \parallel \text{SR}$
हम जानते हैं कि यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर होता है तो यह एक समान्तर चतुर्भुज होता है।
$\therefore \text{PQRS}$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

2. $\text{ABCD}$ एक समचतुर्भुज है और $\text{P, Q, R}$ और $\text{S}$ क्रमशः भुजाओं $\text{AB, BC, CD}$ और $\text{DA}$ के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज $\text{PQRS}$ एक आयत है।

हल-दिया है-$\text{ABCD}$ एक समचतुर्भुज है जिसकी भुजाओं $\text{AB, BC, CD}$ तथा $\text{DA}$ के मध्य-बिन्दु क्रमशः $\text{P, Q, R}$ और $\text{S}$ हैं। $\text{PQ, QR, RS}$ और $\text{SP}$ को मिला दिया।

684

सिद्ध करना है- $PQRS$ एक आयत है।

उपपत्ति- $\triangle ABC$ में, $AB$ तथा $BC$ का मध्य बिन्दु $P$ और $Q$ हैं। अतः मध्य-बिन्दु प्रमेय के अनुसार,
$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2}AC$ .....(i)
इसी प्रकार $\triangle ADC$ में, $CD$ तथा $AD$ का मध्य-बिन्दु $R$ और $S$ हैं।
अतः मध्य-बिन्दु प्रमेय के अनुसार,
$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2}AC$ .....(ii)
अब समीकरण (i) व (ii) से
$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$
अतः $PQRS$ एक समान्तर चतुर्भुज है क्योंकि चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं $PQ$ और $SR$ एक युग्म समान एवं समान्तर हैं।
चूंकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
इसलिए $\angle AOD = 90^{\circ}$
या $\angle MON = 90^{\circ}$
(समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।)
अब $SR \parallel AC$ और $SP \parallel BD$ है
तो $SMON$ भी एक समान्तर चतुर्भुज है।
इसलिए $\angle MSN = \angle MON = 90^{\circ}$
(समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)
या $\angle PSR = 90^{\circ}$
अतः $PQRS$ एक आयत है क्योंकि $PQRS$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है।
इतिसिद्धम्

3. $ABCD$ एक आयत है, जिसमें $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।

हल- दिया है- प्रश्नानुसार एक आयत $ABCD$ है जिसमें इसकी भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य बिन्दु क्रमशः $P, Q, R$ और $S$ हैं। चित्र में $PQ, QR, RS$ और $SP$ को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है-$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
रचना-$A$ तथा $C$ को मिलाया।
उपपत्ति-चित्रानुसार $\triangle ABC$ में भुजाओं $AB$ तथा $BC$ के मध्य-बिन्दु क्रमशः $P$ और $Q$ हैं।
$\therefore PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2}AC$ .....(i)

$\triangle ADC$ में $R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिन्दु हैं। अतः:
$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2}AC$ .....(ii)
अब समीकरण (i) तथा (ii) से
$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ .....(iii)
अर्थात् $PQRS$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\because ABCD$ एक आयत है। (दिया है)
या $AD = BC$
या $\frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$
या $AS = BQ$ .....(iv)
$\triangle APS$ और $\triangle BPQ$ में
$AP = BP$
[क्योंकि $P$ बिन्दु $AB$ का मध्य बिन्दु है।]
$\angle PAS = \angle PBQ = 90^{\circ}$
तथा $AS = BQ$ (iv से)
$\therefore \triangle APS \cong \triangle BPQ$
(सर्वांगसमता के नियम $SAS$ के अनुसार)
या $PS = PQ$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)
समीकरण (iii) व (iv) से हम कह सकते हैं कि $PQRS$ एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसमें $PS = PQ$
अर्थात् दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं। अतः $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।

4. $ABCD$ एक समलम्ब है, जिसमें $AB \parallel DC$ है। साथ ही, $BD$ एक विकर्ण है और $E$ भुजा $AD$ का मध्य-बिन्दु है। $E$ से होकर एक रेखा $AB$ के समान्तर

खींची गई है, जो $BC$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $F$ भुजा $BC$ का मध्य-बिन्दु है।

हल-प्रश्नानुसार माना कि $EF$ रेखा को विकर्ण $BD, O$ बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।

अब $\triangle DAB$ में $E$ बिन्दु भुजा $AB$ का मध्य-बिन्दु है तथा $EO \parallel AB$ है क्योंकि $EF \parallel AB$ (दिया है) और $EF$ का एक भाग है। अतः $O$ बिन्दु $\triangle DAB$ की दूसरी भुजा $BD$ का मध्य-बिन्दु है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को मध्य-बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
अब $\triangle BCD$ में बिन्दु $O, BD$ का मध्य बिन्दु है और $OF \parallel DC$। क्योंकि $EF \parallel AB$ तथा $AB \parallel DC$ (दिया है)
अतः $EF \parallel DC$ और $OF, EF$ का ही एक भाग है।
$\therefore F, \triangle BCD$ की भुजा $BC$ का भाग है।
(मध्य-बिन्दु प्रमेय के विलोम के अनुसार)

5. एक समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में $E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिन्दु हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखाखण्ड $AF$ और $EC$ विकर्ण $BD$ को समत्रिभाजित करते हैं।

हल-दिया है : एक समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में $E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिन्दु हैं।

सिद्ध करना है : $DP = PQ = QB$
प्रमाण : $\triangle APB$ में
$E$ भुजा $AB$ का मध्य बिन्दु है और $AF \parallel EC$ (दिया है)
अतः मध्य बिन्दु प्रमेय से
$Q$ भुजा $PB$ का मध्य बिन्दु है।
अतः : $PQ = QB$ ...(i)
(किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।)
अब, $\triangle DCQ$ में
$F$, भुजा $CD$ का मध्य बिन्दु है और $AF \parallel EC$ (दिया है)
अतः: मध्य बिन्दु प्रमेय से,
$P$ भुजा $DQ$ का मध्य बिन्दु है।
इसलिए $DP = PQ$ ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
$DP = PQ = QB$ इतिसिद्धम्

6. $ABC$ एक त्रिभुज है जिसका कोण $C$ समकोण है। कर्ण $AB$ के मध्य-बिन्दु $M$ से होकर $BC$ के समान्तर खींची गई रेखा $AC$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि
(i) $D$ भुजा $AC$ का मध्य-बिन्दु है।
(ii) $MD \perp AC$ है।
(iii) $CM = MA = \frac{1}{2}AB$ है।

हल-(i) $\triangle ABC$ में भुजा $AB$ का मध्य-बिन्दु $M$ है, प्रश्नानुसार यह दिया है।

$MD \parallel BC$
$\therefore AD = DC$
(मध्य-बिन्दु प्रमेय के विलोम के अनुसार)
अतः $AC$ भुजा का मध्य बिन्दु $D$ है।
(ii) माना कि भुजा $BC$ के समान्तर खींची गई रेखा $m$ है। (दिया है)
तथा तिर्यक रेखा $AC$ है।
$\therefore \angle 1 = \angle C$ (संगत कोण)
या $\angle 1 = 90^{\circ}$
$[\because \angle C = 90^{\circ}]$ (दिया है)
अतः $MD \perp AC$।
(iii) आकृति में बने $\triangle AMD$ तथा $\triangle CMD$ में
$\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$ (सिद्ध कर चुके हैं)
$AD = DC$ (सिद्ध कर चुके हैं)
तथा $MD = MD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः $\triangle AMD \cong \triangle CMD$
(सर्वांगसमता के नियम $SAS$ के अनुसार)
$\therefore AM = CM$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
.....(1)

दिया है कि $AB$ भुजा का मध्य बिन्दु $M$ है।
$\therefore AM = \frac{1}{2} AB$ .....(2)
समीकरण (1) व (2) से
$CM = AM = \frac{1}{2} AB$

--- अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न ---

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

1. चित्र में, $ABCD$ एक समचतुर्भुज है। यदि $AC = 8$ सेमी. और $DB = 6$ सेमी. हो, तो $BC$ का मान होगा-

(A) $5$ सेमी. (B) $4$ सेमी.
(C) $7$ सेमी. (D) $3.5$ सेमी.

2. चित्र में, $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है, तो $x$ का मान होगा-

(A) $25^{\circ}$ (B) $60^{\circ}$
(C) $75^{\circ}$ (D) $45^{\circ}$

3. एक समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुज क्षेत्रफल में समान हैं और एक ही आधार पर स्थित हैं। यदि समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई $2$ सेमी. हो, तो त्रिभुज की ऊँचाई है-
   (A) $4$ सेमी. (B) $1$ सेमी.
   (C) $2$ सेमी. (D) $3$ सेमी.

4. समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में $\angle A = 70^{\circ}$ हो, तो $\angle B$ का मान है-
   (A) $10^{\circ}$ (B) $110^{\circ}$
   (C) $70^{\circ}$ (D) $90^{\circ}$

5. चतुर्भुज जिसमें दोनों विकर्ण बराबर होते हैं-
   (A) समान्तर चतुर्भुज (B) समचतुर्भुज
   (C) आयत (D) समलम्ब चतुर्भुज

6. एक समचतुर्भुज $ABCD$ में, यदि $\angle ACB = 40^{\circ}$, तब $\angle ADB =$
   (A) $70^{\circ}$ (B) $45^{\circ}$
   (C) $50^{\circ}$ (D) $60^{\circ}$

7. $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है। $M, BD$ का मध्य बिन्दु है और $BM, \angle B$ को समद्विभाजित करता है। तब $\angle AMB =$
   (A) $45^{\circ}$ (B) $60^{\circ}$
   (C) $90^{\circ}$ (D) $75^{\circ}$

8. यदि किसी समचतुर्भुज के विकर्ण $18$ सेमी. एवं $24$ सेमी. हैं तब उसकी भुजा होगी-
   (A) $16$ सेमी. (B) $15$ सेमी.
   (C) $20$ सेमी. (D) $17$ सेमी.

9. किसी आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बनने वाली आकृति है-
   (A) वर्ग (B) समचतुर्भुज
   (C) समलम्ब चतुर्भुज (D) इनमें से कोई नहीं

10. किसी वर्ग की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बनने वाली आकृति है-
    (A) समचतुर्भुज (B) वर्ग
    (C) आयत (D) समान्तर चतुर्भुज

--- उत्तर-तालिका ---

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

1. किसी चतुर्भुज की भुजाओं के प्रतिच्छेद बिन्दुओं को ............... कहते हैं।
2. किसी वर्ग के विकर्ण आपस में ............... पर समद्विभाग होते हैं।
3. समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर ............... करते हैं।
4. समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर ............... कटते हैं।
5. चतुर्भुज में जिन भुजाओं में उभयनिष्ठ शीर्ष न हों उन्हें ............... भुजाएँ कहते हैं।

उत्तर- 1. शीर्ष 2. समकोण 3. समद्विभाजित 4. समद्विभाग 5. सम्मुख

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए-

1. चतुर्भुज में जिन भुजाओं में उभयनिष्ठ शीर्ष हों उन्हें सम्मुख भुजाएँ कहते हैं।

2. चतुर्भुज की एक ही भुजा पर बनने वाले कोण आसन्न कोण कहलाते हैं।

3. किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को एक क्रम से मिलाने वाले रेखाखण्डों द्वारा बना चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज होता है।

4. किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

5. एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

उत्तर- 1. असत्य 2. सत्य 3. असत्य 4. सत्य 5. सत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. दिये गये चित्र में $BC = AD$ तथा $AB = CD$ हो तो $\angle ABC$ और $\angle ADC$ बराबर होंगे, क्यों?

हल- $\because ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है। इसलिए सम्मुख कोण बराबर होंगे।

2. यदि एक समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में $\angle A = \angle B + 60^{\circ}$ हो, तो $\angle A$ व $\angle B$ के मान लिखिए।

हल- (i) $\angle A = 120^{\circ}$ (ii) $\angle B = 60^{\circ}$

3. समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में $\angle A$ तथा $\angle B$ के अर्द्धक परस्पर बिन्दु $O$ पर काटते हैं तो $\angle AOB$ का मान बताओ।

हल- समान्तर चतुर्भुज के अर्द्धक परस्पर समकोण पर काटते हैं अतः $\angle AOB = 90^{\circ}$ होगा।

4. समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में $AC$ विकर्ण है। यदि $\angle CAB = 30^{\circ}$ तथा $\angle ACB = 50^{\circ}$ हो तो $\angle ADC$ का माप लिखिए।

हल- $\angle B = \angle D \therefore \angle B = 180 - 80 = 100$

अतः $\angle D = 100^{\circ}$ उत्तर

5. चित्रानुसार समान्तर चतुर्भुज $DEFG$ में $DF = 6.4$ सेमी. तथा $GE = 4.2$ सेमी. है। $(AD + AE)$ का माप लिखिए।

हल- $AD = \frac{1}{2} DF = \frac{1}{2} \times 6.4 = 3.2$ सेमी.

$AE = \frac{1}{2} GE = \frac{1}{2} \times 4.2 = 2.1$ सेमी.
अतः $AD + AE = 5.3$ सेमी. उत्तर

6. दिये गये चित्र में $\angle GDE + \angle DEF = 180^{\circ}$, इस स्थिति में कौनसी रेखाएँ समान्तर होंगी?

हल- $GD \parallel EF$.

7. यदि एक आयत की आसन्न भुजाएँ समान हों तो आकृति कहलाती है-

हल- वर्ग।

8. आयत, समान्तर चतुर्भुज, वर्ग, समचतुर्भुज, समलम्ब चतुर्भुज में से किन में "विकर्ण उन कोणों के अर्द्धक होते हैं जिनमें से होकर वे गुजरते हैं?" उनके नाम लिखो।

हल- वर्ग, समचतुर्भुज।

9. किसी आयत $ABCD$ के विकर्ण परस्पर बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेदित करते हैं। यदि $\angle BOC = 40^{\circ}$ हो तो $\angle OAD$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल- $\angle OAD = 45^{\circ}$

10. समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ में यदि $\angle D = 115^{\circ}$ हो तो $\angle A$ तथा $\angle B$ ज्ञात कीजिए।

हल- $\angle A = 65^{\circ}$ तथा $\angle B = 115^{\circ}$

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. सामने के चित्र में $ABCD$ कोई चतुर्भुज है। $H, E, F$ और $G$ क्रमशः $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिन्दु हैं। क्या $HEFG$ एक समान्तर चतुर्भुज है, क्यों?

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[संकेत- $GF \parallel AC$ और $GF = \frac{1}{2} AC$ क्यों?
$HE \parallel AC$ और $HE = \frac{1}{2} AC$ क्यों?
$GF \parallel HE$ और $GF = HE$ ]

हल-उपपत्ति-$\triangle ABC$ में $H, E$ क्रमशः $AB$ तथा $BC$ के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा है।

$HE = \frac{1}{2} AC$ तथा $HE \parallel AC$ .....(i)
$\triangle DAC$ में $G, F$ क्रमशः $AD$ तथा $CD$ के मध्य-बिन्दु हैं।
$\therefore GF = \frac{1}{2} AC$ तथा $GF \parallel AC$ .....(ii)
(i) व (ii) से-$HE = GF$ तथा $HE \parallel GF$
$\therefore$ चतुर्भुज $HEFG$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(इति सिद्धम्)

2. दिये गये चित्र में, $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है। $P$ और $Q$ क्रमशः सम्मुख भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि $PRQS$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

हल-दिया हुआ है-$ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है। जहाँ $P, AB$ का तथा $Q, DC$ का मध्य-बिन्दु है।

सिद्ध करना है-$PRQS$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
चतुर्भुज $APCQ$ में,
$AP = PB$ तथा $DQ = QC$
$\because DC = AB$ तथा $DC \parallel AB$
$\therefore AP = QC$ एवं $AP \parallel QC$
इसी प्रकार
$PR \parallel SQ$
एवं $PR = SQ$ .....(1)
चतुर्भुज $PBQD$ में,
$PB = DQ$ तथा $PB \parallel DQ$
$QB = DP$ तथा $QB \parallel DP$
अतः: $QR = SP$ एवं $QR \parallel SP$ .....(2)

समीकरण (1) तथा (2) से, $PRQS$ एक समान्तर चतुर्भुज होगा। (यही सिद्ध करना था)

3. $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमें $P$ और $Q$ क्रमशः सम्मुख भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिन्दु हैं। यदि $AQ, DP$ को $S$ पर प्रतिच्छेद करे और $BQ, CP$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि -
(i) $APCQ$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) $DPBQ$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(iii) $PSQR$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

हल-(i) चतुर्भुज $APCQ$ में,

$AP \parallel QC$ (चूँकि $AB \parallel CD$) .....(1)
$AP = \frac{1}{2} AB, CQ = \frac{1}{2} CD$ (दिया है)
साथ ही, $AB = CD$ (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
इसलिए, $AP = QC$ .....(2)
अतः: $APCQ$ एक समान्तर चतुर्भुज है। [(1) और (2) से]

(ii) इसी प्रकार, $DPBQ$ एक समान्तर चतुर्भुज है, क्योंकि $DQ \parallel PB$ और $DQ = PB$ है।
(iii) चतुर्भुज $PSQR$ में,
$SP \parallel QR$ ($SP, DP$ का एक भाग है और $QR, QB$ का एक भाग है)
इसी प्रकार, $SQ \parallel PR$ है।
अतः: $PSQR$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

4. सिद्ध करो कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

हल-दिया है-एक समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ है।

सिद्ध करना है- $\text{AB} = \text{CD}$ तथा $\text{AD} = \text{BC}$
रचना-समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण $\text{A}$ तथा $\text{C}$ को मिलाया।
उपपत्ति-चित्रानुसार $\text{AB} \parallel \text{DC}$ तथा $\text{AC}$ एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है।
$\therefore \angle \text{DCA} = \angle \text{BAC}$ (एकान्तर कोण)
पुन: $\text{AD} \parallel \text{BC}$ तथा $\text{AC}$ एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है।
$\therefore \angle \text{DAC} = \angle \text{BCA}$ (एकान्तर कोण)
अब $\triangle \text{ABC}$ तथा $\triangle \text{ADC}$ में
$\angle \text{BAC} = \angle \text{DCA}$
तथा $\text{AC} = \text{AC}$ (दोनों में उभयनिष्ठ)
$\angle \text{BCA} = \angle \text{DAC}$
अतः $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{CDA}$
(सर्वांगसमता के नियम $\text{ASA}$ के अनुसार)
अतः $\text{AB} = \text{CD}$ तथा $\text{AD} = \text{BC}$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
(इति सिद्धम्)

5. सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

हल-

दिया है-$\text{ABCD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण $\text{AC}$ व $\text{BD}$ बिन्दु $\text{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है-$\text{OA} = \text{OC}, \text{OB} = \text{OD}$
उपपत्ति-$\text{DB}$ और $\text{AC}$, समान्तर रेखाओं $\text{AB}$ व $\text{BC}$ की दो तिर्यक रेखाएँ हैं।
$\triangle \text{AOD}$ व $\triangle \text{COB}$ में,
$\angle \text{ADO} = \angle \text{CBO}$
(आन्तरिक एकान्तर कोण)
$\text{AD} = \text{CB}$
(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)
$\angle \text{OAD} = \angle \text{OCB}$
(आन्तरिक एकान्तर कोण)

$\therefore \triangle \text{AOD} \cong \triangle \text{COB}$
(ASA सर्वांगसम नियम)
$\Rightarrow \text{OA} = \text{OC}$ (CPCT से)
और $\text{OB} = \text{OD}$ (CBPT से) इतिसिद्धम्

निबन्धात्मक प्रश्न-

1. $\text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\text{AB} = \text{AC}$ है। $\text{AD}$ बहिष्कोण $\text{PAC}$ को समद्विभाजित करता है और $\text{CD} \parallel \text{BA}$ है। (आकृति में देखिये)

दर्शाइए कि
(i) $\angle \text{DAC} = \angle \text{BCA}$
(ii) $\text{ABCD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

हल-(i) $\triangle \text{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\text{AB} = \text{AC}$ (दिया है)

$\therefore \angle \text{ABC} = \angle \text{ACB}$
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
साथ ही, $\angle \text{PAC} = \angle \text{ABC} + \angle \text{ACB}$
(त्रिभुज का बहिष्कोण)
या $\angle \text{PAC} = \angle \text{ACB} + \angle \text{ACB}$
$\angle \text{PAC} = 2 \angle \text{ACB}$ .....(i)
अब, $\text{AD}$ कोण $\text{PAC}$ को समद्विभाजित करती है।
$\therefore \angle \text{PAC} = 2 \angle \text{DAC}$ .....(ii)
अतः $2 \angle \text{DAC} = 2 \angle \text{ACB}$
(समीकरण (i) और (ii) से)
या $\angle \text{DAC} = \angle \text{ACB}$

(ii) अब ये दोनों बराबर कोण वे एकान्तर कोण हैं जो रेखाखण्डों $\text{BC}$ और $\text{AD}$ को तिर्यक रेखा $\text{AC}$ द्वारा प्रतिच्छेद करने से बनते हैं।
$\therefore \text{BC} \parallel \text{AD}$
साथ ही $\text{BA} \parallel \text{CD}$ है।
इस प्रकार, चतुर्भुज $\text{ABCD}$ की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समान्तर हैं।
अतः $\text{ABCD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

2. दर्शाइए कि एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।

हल-माना, $\text{P, Q, R}$ तथा $\text{S}$ क्रमशः समान्तर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ के $\angle \text{A}$ और $\angle \text{B}, \angle \text{B}$ और $\angle \text{C}, \angle \text{C}$ और $\angle \text{D}$ तथा $\angle \text{D}$ और $\angle \text{A}$ के समद्विभाजकों

के प्रतिच्छेद बिन्दु हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

$\triangle ASD$ में, चूँकि $DS$ कोण $D$ और $AS$ कोण $A$ को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए
$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D$

$= \frac{1}{2} (\angle A + \angle D)$
$= \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ}$
($\angle A$ और $\angle D$ तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोण हैं)
$\angle DAS + \angle ADS + \angle DSA = 180^{\circ}$
या $90^{\circ} + \angle DSA = 180^{\circ}$
या $\angle DSA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$
अतः: $\angle PSR = 90^{\circ}$
($\angle DSA$ का शीर्षाभिमुख कोण)
इसी प्रकार से यह दिखाया जा सकता है कि
$\angle APB = 90^{\circ}$ या $\angle SPQ = 90^{\circ}$
(जैसा कि $\angle DSA$ के लिए किया था)
इसी प्रकार, $\angle PQR = 90^{\circ}$ और $\angle SRQ = 90^{\circ}$ है।
इसलिए, $PQRS$ एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं। अतः हम यह सिद्ध कर चुके हैं कि
$\angle PSR = \angle PQR = 90^{\circ}$
और $\angle SPQ = \angle SRQ = 90^{\circ}$ है।
अर्थात् सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर हैं।
अतः: $PQRS$ एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमें एक कोण (वास्तव में सभी कोण) समकोण हैं। इसलिए $PQRS$ एक आयत है।

3. $\triangle ABC$ में, $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिन्दु हैं (देखिये आकृति)। दर्शाइए कि बिन्दुओं $D, E$ और $F$ को मिलाने पर $\triangle ABC$ चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।

हल-चूँकि $D$ और $E$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिन्दु हैं, इसलिए मध्यमान प्रमेय से

$DE \parallel AC$
इसी प्रकार, $DF \parallel BC$ और $EF \parallel AB$ है।
इसलिए, $ADEF, BDFE$ और $DFCE$ में से प्रत्येक एक समान्तर चतुर्भुज है।
अब, $DE$ समान्तर चतुर्भुज $BDFE$ का एक विकर्ण है।
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle FED$
इसी प्रकार $\triangle DAF \cong \triangle FED$
और $\triangle EFC \cong \triangle FED$
अतः: चारों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

4. दिए गए चित्र में $ABCD$ और $AEFG$ दो समान्तर चतुर्भुज हैं। यदि $\angle C = 60^{\circ}$ हो, तो $\angle GFE$ और $\angle AGF$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल-दिए हुए समान्तर चतुर्भुज $ABCD$ और $AEFG$ की भुजायें समान्तर हैं।

यानी $GF \parallel DC$
और $FE \parallel CB$
$\therefore \angle GFE = \angle DCB$

$= \angle C$
$= 60^{\circ}$ उत्तर

$\therefore \angle C = 60^{\circ}$ दिया हुआ है।
पुनः: $\angle AGF$ और $\angle GFE$ समान्तर चतुर्भुज $AGFE$ में एक ही भुजा $GF$ पर बने कोण हैं।
$\therefore \angle AGF + \angle GFE = 180^{\circ}$
$\angle AGF + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle AGF + 60^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle AGF = 180^{\circ} - 60^{\circ}$

$= 120^{\circ}$ उत्तर