पाठ 9: वृत्त

9. वृत्त

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 9.1

प्रश्न 1. याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

हल- कोई भी दो वृत्त सर्वांगसम तभी कहे जा सकते हैं जबकि उनमें से एक को दूसरे के ऊपर रखने पर वे एक-दूसरे को पूर्णतया ढक लें।

इस तथ्य को स्पष्ट समझने के लिए हम मान लेते हैं कि $C_1 (O_1, r)$ तथा $C_2 (O_2, s)$ दो वृत्त हैं। अब वृत्त $C_2 (O_2, s)$ को वृत्त $C_1 (O_1, r)$ को ऊपर उठाकर इस प्रकार रखते हैं कि $O_2, O_1$ को पूर्णतः ढक ले। हम देखेंगे कि यदि $r = s$ अर्थात् दोनों की त्रिज्याएँ यदि समान हैं तो वृत्त $C_2 (O_2, s)$ वृत्त $C_1 (O_1, r)$ को पूर्णतः ढक लेगा। अतः यह कहा जा सकता है कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उन वृत्तों की त्रिज्याएँ भी बराबर हों।

अब हम यह सिद्ध करेंगे कि दो सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।

दिया है- दो वृत्त $C (O_1, r)$ तथा $C (O_2, r)$ हैं जो सर्वांगसम हैं तथा जिनकी जीवाएँ क्रमशः $PQ$ और $RS$ हैं।

सिद्ध करना है- $\angle PO_1Q = \angle RO_2S$

उपपत्ति- चित्रानुसार $\triangle PO_1Q$ तथा $\triangle RO_2S$ में
$O_1P = O_1Q = O_2R = O_2S = r = (\text{त्रिज्या})$
$PQ = RS$ (दिया है)
$\therefore \triangle PO_1Q \cong \triangle RO_2S$
(सर्वांगसमता के नियम SSS के अनुसार)
अतः $\angle PO_1Q = \angle RO_2S$
क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

हल- दिया है- दो सर्वांगसम वृत्त $C (O_1, r)$ तथा $C (O_2, r)$ हैं। उनमें दो जीवाएँ $PQ$ तथा $RS$ इस प्रकार हैं कि

$\angle PO_1Q = \angle RO_2S$

सिद्ध करना है- $PQ = RS$
उपपत्ति- वृत्तों में बने $\triangle PO_1Q$ तथा $\triangle RO_2S$ में
$O_1P = O_1Q = O_2R = O_2S = r$ (त्रिज्याएँ)
$\angle PO_1Q = \angle RO_2S$ (दिया है)
$\therefore \triangle PO_1Q \cong \triangle RO_2S$
(सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार)
अतः $PQ = RS$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)

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प्रश्नावली 9.2

प्रश्न 1. $5\text{ cm}$ तथा $3\text{ cm}$ त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी $4\text{ cm}$ है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल- माना कि दो वृत्त जिनके केन्द्र $O$ और $O'$ हैं, परस्पर बिन्दुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $A$ और $B$ को मिलाने पर, $AB$ उभयनिष्ठ जीवा है।

त्रिज्या $OA = 5\text{ cm}$, त्रिज्या $O'A = 3\text{ cm}$
उनके केन्द्रों के बीच की दूरी $OO' = 4\text{ cm}$
हम देखते हैं कि त्रिभुज $AOO'$ में;

$5^2 = 4^2 + 3^2$
$\Rightarrow 25 = 16 + 9$
$\Rightarrow 25 = 25$
$\Delta AO'O$ में पाइथागोरस का परिणाम संतुष्ट होता है।
अतः, $\Delta AO'O$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $O'$ पर समकोण है।
जैसा कि हम जानते हैं कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर गिराया गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः $O'$ जीवा $AB$ का मध्य-बिन्दु है। साथ ही $O'$ दूसरे वृत्त का केन्द्र है।
इसलिए जीवा $AB$ की लम्बाई = दूसरे वृत्त का व्यास
$\therefore$ जीवा $AB$ की लम्बाई = $2 \times 3\text{ cm}$

$= 6\text{ cm}$

वैकल्पिक
माना कि दो वृत्त, जिनके केन्द्र $O$ और $O'$ हैं, परस्पर बिन्दुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना कि उभयनिष्ठ जीवा $AB$, $OO'$ को $C$ पर प्रतिच्छेद करती है।

अतः: $OC = x\text{ cm}$
$\therefore O'C = 4 - x\text{ cm}$
हम जानते हैं कि दो वृत्तों के केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा का लम्ब समद्विभाजक होते हैं।
$\therefore$ समकोण $\Delta OCA$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
$AC^2 + OC^2 = OA^2$
$\Rightarrow AC^2 + x^2 = 5^2$
$\Rightarrow AC^2 = 25 - x^2$ .....(i)
इसी प्रकार $\Delta ACO'$ में,
$AC^2 + O'C^2 = AO'^2$
$\Rightarrow AC^2 + (4 - x)^2 = 3^2$
$\Rightarrow AC^2 = 9 - (4 - x)^2$ ....(ii)
समीकरण (i) और (ii) से
$25 - x^2 = 9 - (4 - x)^2$
$\Rightarrow 25 - x^2 = 9 - (16 + x^2 - 8x)$
$\Rightarrow 25 - x^2 = 9 - 16 - x^2 + 8x$
$\Rightarrow -8x = 9 - 16 - 25 - x^2 + x^2$
$\Rightarrow -8x = -32$
$\Rightarrow x = 4$
$\therefore CO' = 4 - x$
$\Rightarrow CO' = 4 - 4$
$\Rightarrow CO' = 0$
इसका अर्थ है कि $O', C$ के साथ संपाती हैं।
$\therefore AC = \text{त्रिज्या } AO' = 3\text{ cm}$
जीवा $AB$ की लम्बाई = केन्द्र $O'$ वाले वृत्त का व्यास
जीवा $AB$ की लम्बाई = $2 \times AO'$

$= 2 \times AC$
$= 2 \times 3 = 6\text{ cm}$.

2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर हैं।

हल-माना कि एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है, की दो समान जीवाएँ $AB$ तथा $CD$ वृत्त के अन्दर $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमें सिद्ध करना है कि

(a) $AE = CE$
(b) $BE = DE$.

रचना- $OM \perp AB$, $ON \perp CD$ खींचिए, $OE$ को मिलाइए।
उपपत्ति-समकोण $\Delta OME$ और समकोण $\Delta ONE$ में
$\angle OME = \angle ONE$ (प्रत्येक $90^{\circ}$)
$OM = ON$
$[\because$ समान जीवाएँ वृत्त के केन्द्र से समदूरस्थ होंगी$]$
कर्ण $OE = \text{कर्ण } OE$
(उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\therefore \Delta OME \cong \Delta ONE$
(सर्वांगसमता के नियम R.H.S. के अनुसार)
$\therefore ME = NE$ .....(i)
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अब, $O$ वृत्त का केन्द्र है और
$OM \perp AB$

$\therefore \quad \text{AM} = \frac{1}{2} \text{AB} \quad \dots(\text{ii})$
[क्योंकि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है]
इसी प्रकार, $\text{NC} = \frac{1}{2} \text{CD} \quad \dots(\text{iii})$
परन्तु $\text{AB} = \text{CD} \quad (\text{दिया है})$
समीकरण (ii) और (iii) से
$\quad \quad \text{AM} = \text{NC} \quad \dots(\text{iv})$
साथ ही, $\text{MB} = \text{DN} \quad \dots(\text{v})$
समीकरण (i) और (iv) को जोड़ने पर
$\quad \quad \text{AM} + \text{ME} = \text{NC} + \text{NE}$
$\Rightarrow \quad \text{AE} = \text{CE} \quad \text{भाग (a) सिद्ध हुआ}$
अब $\quad \text{AB} = \text{CD} \quad (\text{दिया है})$
$\quad \quad \text{AE} = \text{CE} (\text{ऊपर सिद्ध किया है})$
$\quad \quad \text{AB} - \text{AE} = \text{CD} - \text{CE}$
$\Rightarrow \quad \text{BE} = \text{DE} \quad \text{भाग (b) सिद्ध हुआ}$

3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।

हल-माना कि एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है, की दो समान जीवाएँ $\text{AB}$ तथा $\text{CD}$ वृत्त के अन्दर $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमें सिद्ध करना है कि

$\angle \text{OEM} = \angle \text{OEN}$.

रचना-$\text{OM} \perp \text{AB}, \text{ON} \perp \text{CD}$ खींचिए। $\text{OE}$ को मिलाइए।
उपपत्ति-समकोण त्रिभुजों $\text{OME}$ और $\text{ONE}$ में,
$\angle \text{OME} = \angle \text{ONE} \quad (\text{प्रत्येक } 90^{\circ})$
$\text{OM} = \text{ON}$
(क्योंकि वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र से समदूरस्थ होती हैं।)
कर्ण $\text{OE} = \text{कर्ण } \text{OE} \quad (\text{उभयनिष्ठ})$
$\therefore \quad \triangle \text{OME} \cong \triangle \text{ONE}$
$(\text{सर्वांगसमता के नियम RHS के अनुसार})$
$\therefore \quad \angle \text{OEM} = \angle \text{OEN}$
(क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

4. यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र $O$ है, $A, B, C$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए $\text{AB} = \text{CD}$ है (देखिए आकृति)।

हल-माना वह रेखा $l$ है जो कि दो संकेन्द्री वृत्तों को, जिनका केन्द्र $O$ है, $A, B, C$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करती है।

हमें सिद्ध करना है कि
$\text{AB} = \text{CD}$
रचना-$\text{OL} \perp l$ खींचिए।
उपपत्ति-$\text{AD}$ बाह्य वृत्त की जीवा है और $\text{OL} \perp \text{AD}$.
$\therefore \quad \text{AL} = \text{LD} \quad \dots(\text{i})$
$[\because \text{केन्द्र से खींचा गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है}]$
अब; $\text{BC}$ अंत:वृत्त की जीवा है और $\text{OL} \perp \text{BC}$.
$\therefore \quad \text{BL} = \text{LC} \quad \dots(\text{ii})$
$[\because \text{केन्द्र से खींचा गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है}]$
(ii) को (i), में से घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
$\text{AL} - \text{BL} = \text{LD} - \text{LC}$
$\Rightarrow \quad \text{AB} = \text{CD} \quad (\text{इति सिद्धम्})$

5. एक पार्क में बने $5\text{ m}$ त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी $6\text{ m}$ हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

हल—माना कि रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थिति को बिन्दुओं $A, B$ और $C$ से दिखाया गया है।

दिया गया है कि रेशमा और सलमा के बीच की दूरी $6$ मीटर है तथा सलमा और मनदीप के बीच की दूरी भी $6$ मीटर है। इसका अर्थ है कि—
$AB = BC = 6\text{ m}$
$\therefore$ वृत्त का केन्द्र $\angle ABC$ के समद्विभाजक पर स्थित है।
माना कि $M, AC$ और $OB$ का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
पुनः क्योंकि $AB = BC$
और $BM, \angle ABC$ को समद्विभाजित करता है।
$\therefore BM \perp AC$ और $M, AC$ का मध्य बिन्दु है।
माना कि $OM = x$
तब $MB = 5 - x$
अब, समकोण $\triangle OMA$ से
$\Rightarrow OA^2 = OM^2 + AM^2$
$5^2 = x^2 + AM^2$ .....(i)

पुनः समकोण $\triangle AMB$ से,
$AB^2 = AM^2 + MB^2$
$\Rightarrow 6^2 = AM^2 + (5 - x)^2$ .....(ii)

$5^2 - x^2 = 6^2 - (5 - x)^2$
$\Rightarrow (5 - x)^2 - x^2 = 6^2 - 5^2$
$\Rightarrow (25 - 10x + x^2) - x^2 = 36 - 25$
$\Rightarrow 25 - 10x + x^2 - x^2 = 11$
$\Rightarrow - 10x = 11 - 25$
$\Rightarrow - 10x = - 14$
$\Rightarrow x = \frac{14}{10}$
अतः, (i) से, $AM^2 = 5^2 - x^2$

$= 5^2 - \left(\frac{14}{10}\right)^2$
$= \left(5 + \frac{14}{10}\right)\left(5 - \frac{14}{10}\right)$

$\Rightarrow AM^2 = \frac{64}{10} \times \frac{36}{10}$
$\Rightarrow AM = \sqrt{\frac{64 \times 36}{10 \times 10}}$
$\Rightarrow AM = \frac{8 \times 6}{10}$
$\Rightarrow AM = \frac{48}{10}$
$\Rightarrow AM = 4.8\text{ m}$
$\therefore AC = 2\text{ MA}$

$= 2 \times 4.8 = 9.6$ मीटर
अतः रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी $9.6$ मीटर है।

6. $20\text{ m}$ त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैयद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल—माना कि तीनों लड़कों अंकुर, सैयद तथा डेविड की स्थिति को बिन्दुओं $A, B$ और $C$ से दिखाया गया है। तीनों बिन्दु समान दूरी पर हैं।

$\therefore AB = BC = AC = a$ मीटर (माना)

$\therefore$ समबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ वृत्त की समान जीवाएँ हैं और वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र से समदूरस्थ होती हैं।
$\therefore OD = OE = OF = x$ मीटर (माना)
$OA, OB$ और $OC$ को मिलाइए।
अब, हमारे पास तीन सर्वांगसम त्रिभुजें हैं।
$\triangle OAB, \triangle OBC$ और $\triangle AOC$
$\therefore ar (\triangle AOB) = ar (\triangle BOC) = ar (\triangle AOC)$ .....(i)
अब, $a$ भुजा वाली समबाहु $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल

$= ar (\triangle AOB) + ar (\triangle BOC) + ar (\triangle AOC)$ .....(ii)

$\Rightarrow ar (\Delta \text{ABC}) = 3 ar (\Delta \text{BOC})$
[समीकरण (i) व (ii) के अनुसार]
$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 3 \left( \frac{1}{2} \text{BC} \times \text{OE} \right)$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 3 \left( \frac{1}{2} \times a \times x \right)$
$\Rightarrow \frac{a^2}{a} = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times x$
$\Rightarrow a = 2\sqrt{3} x \quad \dots(\text{iii})$
$\text{OE} \perp \text{BC}$
$\therefore \text{BE} = \text{EC} = \frac{1}{2} \text{BC}$
[क्योंकि केन्द्र से खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।]
$\Rightarrow \text{BE} = \text{EC} = \frac{1}{2} a$
$\Rightarrow \text{BE} = \text{EC} = \frac{1}{2} (2\sqrt{3} x)$
[समीकरण (iii) के अनुसार]
$\Rightarrow \text{BE} = \text{EC} = \sqrt{3} x$
अब, समकोण $\Delta \text{BEO}$ में,
$\text{OE}^2 + \text{BE}^2 = \text{OB}^2$
(पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार)
$\Rightarrow x^2 + (\sqrt{3} x)^2 = 20^2$
$\Rightarrow x^2 + 3x^2 = 400$
$\Rightarrow 4x^2 = 400$
$\Rightarrow x^2 = \frac{400}{4}$
$\Rightarrow x^2 = 100$
$\Rightarrow x = \sqrt{100}$
$\Rightarrow x = 10 \text{ m} \quad \dots(\text{iv})$
समीकरण (iii) के आधार पर
$a = 2\sqrt{3} x$
$\Rightarrow a = 2\sqrt{3} \times 10 \text{ मीटर}$
[(iv) का प्रयोग करने पर]
$\Rightarrow a = 20\sqrt{3} \text{ मी.}$
अतः प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई $20\sqrt{3}$ मीटर है।

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प्रश्नावली 9.3

1. आकृति में, केन्द्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि $\angle \text{BOC} = 30^{\circ}$ तथा $\angle \text{AOB} = 60^{\circ}$ हैं। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है, तो $\angle \text{ADC}$ ज्ञात कीजिए।

हल : $\because \angle \text{AOC}$, वृत्त के केन्द्र पर चाप ABC द्वारा बनाया कोण है तथा $\angle \text{ADC}$, वृत्त के बचे हुए भाग के एक बिन्दु पर बनता है। अतः

$\angle \text{AOC} = \angle \text{AOB} + \angle \text{BOC}$
$\Rightarrow \angle \text{AOC} = 60^{\circ} + 30^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{AOC} = 90^{\circ}$
अब,
$\angle \text{AOC} = 2 \angle \text{ADC}$
हम जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।
या $\angle \text{ADC} = \frac{1}{2} \angle \text{AOC}$
$\Rightarrow \angle \text{ADC} = \frac{1}{2} \times 90^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{ADC} = 45^{\circ}$

2. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।

हल : माना कि AB एक लघु चाप है।

जीवा $\text{AB} = \text{त्रिज्या OA} = \text{त्रिज्या OB}$ (दिया हुआ है)

$\therefore \Delta \text{AOB}$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$\therefore \angle \text{AOB} = 60^{\circ}$
[क्योंकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है।]
अब $m \text{AB} + m \text{BA} = 360^{\circ}$

$\Rightarrow \angle \text{AOB} + \angle \text{BOA} = 360^{\circ}$
$[\because \angle \text{BOA}$ वृत्त के केन्द्र $\text{O}$ पर अन्तरित वृहत कोण है$]$
$\Rightarrow \quad 60^{\circ} + \angle \text{BOA} = 360^{\circ}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{BOA} = 360^{\circ} - 60^{\circ}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{BOA} = 300^{\circ}$
$\text{D}$ लघु चाप पर एक बिन्दु है।
$\therefore \quad m \text{BA} = 2 \angle \text{BDA}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{BOA} = 2 \angle \text{BDA}$
हम जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।

या $\quad \angle \text{BDA} = \frac{1}{2} \angle \text{BOA}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{BDA} = \frac{1}{2} \times 300^{\circ}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{BDA} = 150^{\circ}$
अतः जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु $\text{D}$ पर अंतरित कोण $150^{\circ}$ है।
माना कि दीर्घ चाप $\text{BA}$ पर एक बिन्दु $\text{E}$ है।
$\therefore \quad m \text{AB} = 2 \angle \text{AEB}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{AOB} = 2 \angle \text{AEB}$

[क्योंकि किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
या $\quad \angle \text{AEB} = \frac{1}{2} \angle \text{AOB}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{AEB} = \frac{1}{2} \times 60^{\circ}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{AEB} = 30^{\circ}$
अतः जीवा द्वारा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु $\text{E}$ पर अंतरित कोण $30^{\circ}$ है।

3. आकृति में, $\angle \text{PQR} = 100^{\circ}$ है, जहाँ $\text{P, Q}$ तथा $\text{R}$, केन्द्र $\text{O}$ वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु हैं। $\angle \text{OPR}$ ज्ञात कीजिए।

हल-आकृति; $\text{Q}$ लघु चाप $\text{PQR}$ पर स्थित कोई बिन्दु है।

$\therefore \quad m \text{RP} = 2 \angle \text{PQR}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{ROP} = 2 \angle \text{PQR}$
[हम जानते हैं कि किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।]
$\therefore \quad \angle \text{ROP} = 2 \times 100^{\circ}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{ROP} = 200^{\circ}$
अब
$\quad m \text{PR} + m \text{RP} = 360^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{POR} + \angle \text{ROP} = 360^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{POR} + 200^{\circ} = 360^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{POR} = 360^{\circ} - 200^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{POR} = 160^{\circ} \quad \dots(\text{i})$
अब, $\triangle \text{OPR}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
$\therefore \quad \text{OP} = \text{OR}$
$(\text{वृत्त की त्रिज्याएँ})$
$\therefore \quad \angle \text{OPR} = \angle \text{ORP}$
$(\text{बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण}) \quad \dots(\text{ii})$
अब समद्विबाहु त्रिभुज $\text{OPR}$ में,
$\angle \text{OPR} + \angle \text{ORP} + \angle \text{POR} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle \text{OPR} + \angle \text{OPR} + 160^{\circ} = 180^{\circ}$
$[\text{समीकरण (i) व (ii) से}]$
$\Rightarrow \quad 2 \angle \text{OPR} = 180^{\circ} - 160^{\circ}$
$\Rightarrow \quad 2 \angle \text{OPR} = 20^{\circ}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{OPR} = \frac{20^{\circ}}{2}$
$\Rightarrow \quad \angle \text{OPR} = 10^{\circ} \text{ उत्तर}$

4. आकृति में, $\angle ABC = 69^{\circ}$ और $\angle ACB = 31^{\circ}$ हो, तो $\angle BDC$ ज्ञात कीजिए।

हल- $\triangle ABC$ में,

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle BAC + 69^{\circ} + 31^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle BAC = 180^{\circ} - 69^{\circ} - 31^{\circ}$
$\Rightarrow \angle BAC = 80^{\circ}$ .....(i)
बिन्दु $A$ और $D$ वृत्त के एक ही वृत्तखण्ड में हैं।
इसलिए, $\angle BDC = \angle BAC$
एक ही वृत्तखण्ड में कोण बराबर होते हैं।
$\Rightarrow \angle BDC = 80^{\circ}$
[(i) का प्रयोग करने पर]

5. आकृति में, एक वृत्त पर $A, B, C$ और $D$ चार बिन्दु हैं। $AC$ और $BD$ एक बिन्दु $E$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\angle BEC = 130^{\circ}$ तथा $\angle ECD = 20^{\circ}$ हैं। $\angle BAC$ ज्ञात कीजिए।

हल- आकृति के अनुसार

$\angle CED + \angle BEC = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)
$\Rightarrow \angle CED + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle CED = 180^{\circ} - 130^{\circ}$
$\Rightarrow \angle CED = 50^{\circ}$ .....(i)
$\triangle ECD$ में,
$\angle EDC + \angle CED + \angle ECD = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle EDC + 50^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle EDC = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 20^{\circ}$
$\Rightarrow \angle EDC = 110^{\circ}$
$\Rightarrow \angle BDC = 110^{\circ}$
एक ही वृत्तखण्ड के कोण समान होते हैं
$\therefore \angle BAC = \angle BDC$ उत्तर

6. $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु $E$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle DBC = 70^{\circ}$ और $\angle BAC = 30^{\circ}$ हो, तो $\angle BCD$ ज्ञात कीजिए। पुनः, यदि $AB = BC$ हो, तो $\angle ECD$ ज्ञात कीजिए।

हल-

$\angle BDC = \angle BAC$
[एक ही वृत्तखण्ड के कोण]
$\Rightarrow \angle BDC = 30^{\circ}$
($\because \angle BAC = 30^{\circ}$ दिया है)
$\triangle BCD$ में,
$\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle BCD + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
[$\because \angle DBC = 70^{\circ}$]
$\Rightarrow \angle BCD = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ}$
$\Rightarrow \angle BCD = 80^{\circ}$ .....(i)
यदि $AB = BC$
तो $\triangle ABC$ में;
$\angle ACB = \angle BAC$
(क्योंकि त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)
$\Rightarrow \angle ACB = 30^{\circ}$ .....(ii)
अब, $\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD$
$\Rightarrow 80^{\circ} = 30^{\circ} + \angle ACD$
[समीकरण (i) और (ii) के अनुसार]
$\Rightarrow 80^{\circ} - 30^{\circ} = \angle ACD$
$\Rightarrow 50^{\circ} = \angle ACD$
या, $\angle ACD = 50^{\circ}$
या, $\angle ECD = 50^{\circ}$

7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।

हल- $AC$ एक व्यास है।

$\therefore \angle B = \angle D = 90^{\circ}$ .....(i)
(क्योंकि अर्धवृत्त में कोण समकोण होता है)

इसी प्रकार $BD$ व्यास है।

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$\therefore \angle A = \angle C = 90^{\circ}$ .....(ii)
अब, व्यास $AC = BD$
$\Rightarrow \overparen{AC} \cong \overparen{BD}$ (बराबर जीवाओं की सम्मुख चापें)
$\Rightarrow \overparen{AC} - \overparen{DC} \cong \overparen{BD} - \overparen{DC}$
$\Rightarrow \overparen{AD} \cong \overparen{BC}$
$\Rightarrow AD = BC$ (बराबर चापों की सम्मुख जीवाएँ) .....(iii)
इसी प्रकार $AB = DC$ .....(iv)
हम देखते हैं कि चतुर्भुज का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ का है और सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, $ABCD$ एक आयत है।
अन्य विधि : माना वृत्त का केन्द्र $O$ है। चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ है तथा व्यास $AC = BD$, जो कि विकर्ण भी हैं।
हमें सिद्ध करना है कि चतुर्भुज $ABCD$ एक आयत है।
उपपत्ति : चूंकि एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं अतः:
$OA = OB = OC = OD$
यहाँ $OA = OC = \frac{1}{2} AC$ ...(1)
तथा $OB = OD = \frac{1}{2} BD$ ...(2)
समीकरण (1) व (2) से, $AC = BD$
$\therefore$ चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण बराबर हैं तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः चतुर्भुज $ABCD$ एक आयत है।

8. यदि एक समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।

हल-दिया है-एक समलम्ब $ABCD$ जिसमें $AB \parallel DC$ और $AD = BC$ है।

सिद्ध करना है-बिन्दु $A, B, C, D$ चक्रीय है। (अर्थात् $ABCD$ चक्रीय समलम्ब है)

रचना- $AM \perp CD$ और $BN \perp CD$ खींचिए।
उपपत्ति-$\triangle AMD$ व $\triangle BNC$ में
$AD = BC$ (ज्ञात है)
$AM = BN$ (दो समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी)
$\angle AMD = \angle BNC$ (रचना से प्रत्येक = $90^{\circ}$)
$\therefore \triangle AMD \cong \triangle BNC$ (RHS नियम)
इस प्रकार $\angle C = \angle D$
परन्तु दो समान्तर रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने कोण सम्पूरक होते हैं।
$\therefore \angle BAD + \angle D = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle BAD + \angle C = 180^{\circ}$
परन्तु $\angle BAD$ व $\angle C$ चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं, अतः चतुर्भुज $ABCD$ एक चक्रीय है।

9. दो वृत्त दो बिन्दुओं $B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $B$ से जाने वाले दो रेखाखण्ड $ABD$ और $PBQ$ वृत्तों को $A, D$ और $P, Q$ पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि $\angle ACP = \angle QCD$ है।

हल-चित्र से स्पष्ट है

$\angle ACP = \angle ABP$ ...(1)
[$\because$ एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं।]
तथा $\angle QCD = \angle QBD$ ...(2)
तथा $\angle ABP = \angle QBD$ ...(3)
$\therefore$ समीकरण (1), (2) एवं (3) से
$\angle ACP = \angle QCD$ इति सिद्धम्

10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को

व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।

हल-दिया है-दो वृत्त एक-दूसरे को बिन्दुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $AP$ और $AQ$ उनके व्यास हैं।

सिद्ध करना है-बिन्दु $B$, तीसरी भुजा $PQ$ पर स्थित है।

रचना- $A$ और $B$ को मिलाइए।
उपपत्ति-$AP$ व्यास है।
$\therefore \angle 1 = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)
साथ ही, $AQ$ व्यास है।
$\therefore \angle 2 = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)
$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} + 90^{\circ}$
$\Rightarrow \angle PBQ = 180^{\circ}$
$\Rightarrow PBQ$ एक सरल रेखा है।
अतः, $B$ अर्थात् इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा अर्थात् $PQ$ पर स्थित है।

11. उभयनिष्ठ कर्ण $AC$ वाले दो समकोण त्रिभुज $ABC$ और $ADC$ हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle CAD = \angle CBD$ है।

हल-दिया है कि दो समकोण त्रिभुज $ABC$ और $ADC$ जिनमें $B$ और $D$ पर क्रमशः समकोण हैं।

$\therefore \angle ABC = \angle ADC$ (प्रत्येक $90^{\circ}$)
यदि हम $AC$ (उभयनिष्ठ कर्ण) व्यास लेकर एक वृत्त खींचें तो यह निश्चित रूप से बिन्दुओं $B$ और $D$ में से होकर जाएगा।

[क्योंकि $B$ और $D$ वे बिन्दु हैं जो चाप $AC$ के एकान्तर खण्डों में हैं।]
अब, $CD$ एक ही वृत्तखण्ड में $\angle CBD$ और $\angle CAD$ अंतरित करती है।
$\therefore \angle CAD = \angle CBD$ (इति सिद्धम्)

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12. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज आयत होता है।

हल-मान लीजिए $ABCD$ एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज है। यह सिद्ध करने के लिए यह एक आयत है इतना ही सिद्ध करना पर्याप्त है कि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण समकोण है।

अब, $ABCD$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\Rightarrow \angle B = \angle D$ .....(i)
(क्योंकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)
साथ ही, $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
$\Rightarrow \angle B + \angle D = 180^{\circ}$ .....(ii)
(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है-
$\angle B + \angle B = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 2 \angle B = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle B = 90^{\circ}$
इसलिए, $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$
इसी प्रकार $\angle A = \angle C$
अतः, $ABCD$ एक आयत है।

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अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न-

1. एक वृत्त का व्यास $AD$ तथा एक चाप $AB$ है। यदि $AD = 34$ सेमी, $AB = 30$ सेमी है तब चाप $AB$ की वृत्त के केन्द्र $O$ से दूरी है-
   (A) $17$ सेमी
   (B) $15$ सेमी
   (C) $4$ सेमी
   (D) $8$ सेमी

2. चित्र में, $\angle OAB = 40^{\circ}$ तब $\angle ACB$ बराबर है-
   (A) $50^{\circ}$
   (B) $40^{\circ}$
   (C) $60^{\circ}$
   (D) $70^{\circ}$

3. दिए गए चित्र में $\angle ABO = 35^{\circ}$, $\angle CDE = x^{\circ}$ तथा $DE$ वृत्त की स्पर्श रेखा है। $x$ का मान होगा-
   (A) $35^{\circ}$ (B) $55^{\circ}$ (C) $70^{\circ}$ (D) $90^{\circ}$

4. दिए गए चित्र में चतुर्भुज $ABCD$ के परिगत एक वृत्त खींचा गया है। इसमें सही सम्बन्ध है-
   (A) $\angle A = \angle C$ (B) $\angle A = \angle B$ (C) $\angle A = 90^{\circ} - \angle C$ (D) $\angle A = 180^{\circ} - \angle C$

5. दिए गए चित्र में, $\angle BAC$ का मान होगा-
   (A) $80^{\circ}$ (B) $160^{\circ}$ (C) $90^{\circ}$ (D) $200^{\circ}$

6. दिए गए चित्र में, यदि वृत्त का केन्द्र $O$ हो, तो $\angle AOB$ का मान होगा-
   (A) $70^{\circ}$ (B) $110^{\circ}$ (C) $120^{\circ}$ (D) $140^{\circ}$

7. दिए गए चित्र में, यदि वृत्त का केन्द्र $O$ हो और $\angle AOC = 160^{\circ}$ हो तो $\angle ABC$ का मान होगा-
   (A) $160^{\circ}$ (B) $200^{\circ}$ (C) $80^{\circ}$ (D) $100^{\circ}$

8. किसी वृत्त पर एक चाप $ABC$ और $\angle ABC = 135^{\circ}$ है। तब चाप $ABC$ और परिधि का अनुपात है-
   (A) $1:4$ (B) $3:4$ (C) $3:8$ (D) $1:2$

9. चित्र में $\angle ABC = 45^{\circ}$, तब $\angle AOC =$
   (A) $45^{\circ}$ (B) $60^{\circ}$ (C) $75^{\circ}$ (D) $90^{\circ}$

10. चित्र में, यदि $\angle AOB = 90^{\circ}$, तथा $\angle ABC = 30^{\circ}$ तब $\angle CAO$ बराबर है-
    (A) $30^{\circ}$ (B) $45^{\circ}$ (C) $90^{\circ}$ (D) $60^{\circ}$

उत्तर-तालिका

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

1. जिस कोण का शीर्ष वृत्त का केन्द्र हो उसे ......... कोण कहते हैं।
2. एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज एक ......... होता है।
3. वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र पर ............. कोण अन्तरित करती हैं।
4. एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण ............. होते हैं।
5. ऐसे दो या दो से अधिक वृत्त ............. वृत्त कहलाते हैं जिनकी त्रिज्याओं की माप समान हो।

उत्तर- 1. केन्द्रीय 2. आयत 3. समान 4. सम्पूरक 5. सर्वांगसम

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए-

1. सर्वांगसम वृत्तों (या एक ही वृत्त) में दो चाप बराबर हों तो उनकी संगत जीवाएँ समान लम्बाई की होती हैं।
2. वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
3. वृत्त का व्यास उस वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है।
4. वृत्त के किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है।
5. किसी वृत्त की जीवाएँ जो वृत्त के केन्द्र से बराबर दूरी पर हैं, परस्पर लम्बवत् होती हैं।

उत्तर- 1. सत्य 2. सत्य 3. सत्य 4. सत्य 5. असत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. एक वृत्त की त्रिज्या $4$ सेमी. है। इस वृत्त में दो समान्तर जीवाओं के मध्य-बिन्दुओं से गुजरने वाली जीवा की लम्बाई लिखिए।

हल- समान्तर जीवाओं का मध्य बिन्दु केन्द्र से जाता है। अतः वृत्त का व्यास इसकी जीवा होगी।

जीवा की लम्बाई $= 2 \times \text{त्रिज्या}$

$= 2 \times 4 = 8$ सेमी. उत्तर

2. दी गई आकृति में O वृत्त का केन्द्र है तथा जीवाएँ $AB = BC$ हैं। यदि $\angle BOC = 100^{\circ}$ है, तो $\angle AOB$ का मान लिखिए।

उत्तर- $\angle AOB = 100^{\circ}$ $\because AB = BC$ है।

3. एक वृत्त की दो जीवाएँ $AB$ तथा $CD$ हैं जो परस्पर समान्तर और बराबर हैं। यदि प्रत्येक की लम्बाई $8$ सेमी. हो और वृत्त की त्रिज्या $5$ सेमी. हो तो उनके बीच की दूरी लिखो।

हल- केन्द्र से $AB$ की दूरी $= \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$ सेमी. अतः दोनों के मध्य की दूरी $= 3 \times 2 = 6$ सेमी. उत्तर

4. एक वृत्त की त्रिज्या $5$ सेमी. और वृत्त के केन्द्र से एक जीवा पर लम्ब की लम्बाई $4$ सेमी. है तो जीवा की लम्बाई ज्ञात करो।

हल- $2\sqrt{5^2 - 4^2} = 2 \times 3 = 6$ सेमी. उत्तर

5. एक वृत्त की जीवा $7$ सेमी. है और केन्द्र से जीवा की दूरी $1.2$ सेमी. है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करो।

हल- त्रिज्या $= \sqrt{(3.5)^2 + (1.2)^2}$

$= \sqrt{12.25 + 1.44} = \sqrt{13.69}$
$= 3.7$ सेमी. उत्तर

6. दी गई आकृति में, $AOB$ वृत्त का व्यास है तथा $\angle ROS = 42^{\circ}$ है, तो $\angle RTS$ की माप ज्ञात कीजिए।

हल- $\angle RTS = 69^{\circ}$ उत्तर

7. दी गई आकृति में $AB$ वृत्त का व्यास है। यदि $\angle ABC = 59^{\circ}$ है तो $\angle BAC$ का मान लिखिए।

हल- $\angle BAC = 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ}$ क्योंकि $\angle ACB = 90^{\circ}$ है। उत्तर

8. दिए गए चित्र में, 'O' वृत्त का केन्द्र है तथा $\angle CAO = 30^{\circ}$ है, तो $\angle AOD$ का मान है-

हल- $\angle AOD = 2 \angle CAO = 60^{\circ}$ उत्तर

9. दिए गए चित्र में $\angle x$ व $\angle y$ का मान ज्ञात करो।

हल- $\angle x = 2 \times 54 = 108^{\circ}$

तथा $\angle y = \frac{1}{2} \angle x$
अतः $y = \frac{108}{2} = 54^{\circ}$ उत्तर

10. दिए गए चित्र में $\angle DBC = 36^{\circ}$ हो, तो $\angle BAC$ का मान लिखिए।

हल- $54^{\circ}$ उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

1. सिद्ध कीजिए वृत्त की बराबर जीवायें केन्द्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

हल- उपपत्ति- एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है। इसकी दो जीवायें $AB$ और $CD$ दी गई हैं जो आपस में बराबर हैं। हमें यहाँ पर सिद्ध करना है कि $\angle AOB = \angle COD$ होगा।

त्रिभुज $AOB$ तथा $COD$ में,
$OA = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्यायें हैं)
$OB = OD$ (एक वृत्त की त्रिज्यायें)
$AB = CD$ (दिया है)
अतः $\triangle AOB \cong \triangle COD$ (SSS नियम)
इस प्रकार से हम पाते हैं कि
$\angle AOB = \angle COD$ (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
(इति सिद्धम्)

2. दी गई आकृति में, $ABCDE$ अर्धवृत्त में बना पंचभुज है, तो सिद्ध कीजिए- $\angle ABC + \angle CDE = 3$ समकोण। (केवल उपपत्ति के पद लिखिए)।

हल- $\because$ अर्धवृत्त की परिधि पर बना कोण समकोण होता है।

अतः $\angle ADE = 90^{\circ}$ .....(i)
चतुर्भुज $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं।
$\therefore \angle ABC + \angle CDA = 180^{\circ}$ .....(ii)
(i) व (ii) को जोड़ने पर
$\angle ADE + \angle CDA + \angle ABC = 90^{\circ} + 180^{\circ}$
$\angle CDE + \angle ABC = 270^{\circ}$
या $\angle ABC + \angle CDE = 90 \times 3$
या $\angle ABC + \angle CDE = 3$ समकोण
(इति सिद्धम्)

3. दो वृत्त दो बिन्दुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $AD$ और $AC$ दोनों वृत्तों के व्यास हैं। सिद्ध कीजिए कि $B$ रेखाखण्ड $DC$ पर स्थित है।

हल- $AB$ को मिलाइए। अब,

$\angle ABD = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)
$\angle ABC = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)
इसलिए, $\angle ABD + \angle ABC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
अतः $DBC$ एक रेखा है। अर्थात् $B$ रेखाखण्ड $DC$ पर स्थित है।

4. चित्र में, दो समान जीवायें $AB$ और $CD$ एक-दूसरे को $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि, $DA = CB$

हल- दिया है- वृत्त $C (O, r)$ में जीवा $AB =$ जीवा $CD$, परस्पर $E$ प्रतिच्छेद करती हैं।

सिद्ध करना है- $DA = CB$

उपपत्ति- $\because$ जीवा $AB =$ जीवा $CD$ (दिया है)
$\Rightarrow BA = CD$

$\therefore$ लघुचाप $\text{BA} = \text{लघुचाप} \text{CD}$
लेकिन $\text{BD} = \text{BD}$ (उभयनिष्ठ)
$\therefore \text{BA} - \text{BD} = \text{CD} - \text{BD}$
$\Rightarrow \text{DA} = \text{CB}$

5. सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त में दो चाप सर्वांगसम होते हैं, यदि उनके द्वारा केन्द्र पर बने कोण समान हों।

हल- दिया है- वृत्त $C(O, r)$ में दो चाप $\text{AB}$ व $\text{CD}$ इस प्रकार हैं कि

$\angle \text{AOB} = \angle \text{COD}$
सिद्ध करना है-
$\text{AB} \cong \text{CD}$
रचना- $\text{AB}$ व $\text{CD}$ को मिलाइए।

उपपत्ति- $\triangle \text{AOB}$ तथा $\triangle \text{OCD}$ में
$\therefore \text{OA} = \text{OC}$ (एक ही वृत्त की त्रिज्या)
$\text{OB} = \text{OD}$ (एक ही वृत्त की त्रिज्या)
$\angle \text{AOB} = \angle \text{COD}$ (दिया है)
$\therefore \triangle \text{OAB} \cong \triangle \text{OCD}$ (भुजा-कोण भुजा सर्वांगसमता अभिगृहीत)
$\Rightarrow \text{AB} = \text{CD}$
$\therefore$ वृत्त की दी जीवाएँ बराबर हैं $\Rightarrow \text{AB} \cong \text{CD}$

6. यदि वृत्त की त्रिज्या $13$ सेमी. है। यदि इसकी एक जीवा की लम्बाई $10$ सेमी. हो, तो इस जीवा की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल- यहाँ $\triangle \text{OPB}$ में $\text{OB} = 13$ सेमी.

तथा $\text{PB} = \frac{\text{AB}}{2} = \frac{10}{2} = 5$ सेमी.

अतः पाइथागोरस प्रमेय से
$\text{OP}^2 = \text{OB}^2 - \text{PB}^2$
या $\text{OP}^2 = 13^2 - 5^2$
या $\text{OP}^2 = 169 - 25$
$\text{OP} = \sqrt{144} = 12$ सेमी.
अतः जीवा की केन्द्र से दूरी $= 12$ सेमी. उत्तर