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Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल-
माना कि √5 एक परिमेय संख्या है।
अतः हम ऐसे दो पूर्णांक r व s प्राप्त कर सकते हैं जहाँ s ≠ 0 तथा
√5 = r/s
अब पुनः माना कि r व s में, 1 के अतिरिक्त अन्य कुछ गुणनखण्ड हैं तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखण्ड से r और s को विभाजित करके √5 = a/b प्राप्त कर सकते हैं।
यहाँ a और b सहअभाज्य है।
अर्थात् b√5 = a
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
⇒ (b√5)2 = a2
⇒ b2(√5)2 = a2
⇒ 5b2 = a2 …….(i)
अतः 5, a2 को विभाजित करता है।
प्रमेय 1.3 के अनुसार यदि एक अभाज्य संख्या p, a2 को विभाजित करती है तो p, a को भी विभाजित करेगी, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।
⇒ 5, a को भी विभाजित करता है। ……..(ii)
अतः a = 5c जहाँ c कोई पूर्णांक है।
a का मान (i) में रखने पर
5b2 = (5c)2
5b2 = 25c2
b2 = 5c2
या 5c2 = b2
⇒ 5, b2 को विभाजित करता है।
प्रमेय के अनुसार 5, b को भी विभाजित करता है। …….(iii)
(ii) व (iii) से, a और b का कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 5 है।
परन्तु यह इस तथ्य का विरोधाभासी है कि a और b अविभाज्य हैं या इनके 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हैं।
अतः हमारी कल्पना कि √5 एक परिमेय संख्या है, असत्य है।
अर्थात् √5 एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल-
माना कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है।
अतः हम अविभाज्य संख्या a और b प्राप्त कर सकते हैं जहाँ a और b पूर्णांक हैं कि b ≠ 0 तथा

अतः (i) से स्पष्ट है कि √5 एक परिमेय संख्या है।
परन्तु यह तथ्य इस कथन का खण्डन करता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
अर्थात् यह कल्पना असत्य है।
अतः दी गई संख्या 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं-

(ii) 7√5
हल-
7√5
माना कि दी गई संख्या 7√5 एक परिमेय संख्या है।
अतः हम ऐसे दो पूर्णांक a और b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि
7√5 = a/b
या 7b√5 = a
या √5 = a/7b ……(i)
चूँकि (i) में a, 7 और b सभी पूर्णांक हैं तथा दो पूर्णांकों का भाग भी एक परिमेय संख्या होती है। अर्थात्
a/7b = एक परिमेय संख्या
अतः (i) से √5 = एक परिमेय संख्या
जो कि कथन √5 एक अपरिमेय संख्या है, का विरोधाभासी कथन है।
अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अतः 7√5 एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम्)

(iii) 6 + √2
हल-

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