Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2

प्रश्न 1.
घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 32 × 34 × 38
(ii) 615 ÷ 610
(iii) a3 × a2
(iv) 7x × 72
(v) (52)3 ÷ 53
(vi) 25 × 55
(vii) a4 × b4
(viii) (34)3
(ix) (220 ÷ 215) × 23
(x) 8t ÷ 82
हल:
(i) 32 × 34 × 38 = 32+4+8 = 314
(∵ am × an × ar = am+n+r)

(ii) 615 ÷ 610 = 615-10
(∵ am ÷ an = am-n)
= 65

(iii) a3 × a2 = a3+2
(∵ am × an = am+n)
= a5

(iv) 7x × 72 = 7x+2
(∵ am × an = am+n)

(v) (52)3 ÷ 53 = 52×3 ÷ 53 = 56 ÷ 53
[∵ (am)n = amn, am ÷ an = am-n)]
= 56-3 = 53

(vi) 25 × 55 = (2 × 5)5 [∵ am × bm = (ab)m]
= 105

(vii) a4 × b4 = (a × b)4 [∵ am × bm = (ab)m]
= (ab)4

(viii) (34)3 = 34×3 [∵ (a) = (am)n = amn]
= 312

(ix) (220 ÷ 215) × 23 = (220-15) × 23
[∵ am ÷ an = am-n, am × an = am+n]
= 25 × 23 = 25+3 = 28

(x) 8t ÷ 82 = 8t-2 (∵ am + an = am-n)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:

हल:

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए :
(i) 10 × 1011 = 10011
(ii) 23 > 52
(iii) 23 × 32 = 65
(iv) 30 = (1000)0
हल:
(i) L.H.S. = 10 × 1011 = 1012
और R.H.S. = (100)11 = (102)11
= 102×11 = 1022
∴ 10 × 1011 ≠ 10011
अत: कथन असत्य है।
यहाँ L.H.S ≠ R. H. S.

(ii) L.H.S. = 23 = 2 × 2 × 2 = 8
और R.H.S. = 52 = 5 × 5 = 25
यहाँ L.H.S. < R. H. S.
8 < 25 अर्थात् 23 < 52
अत: कथन असत्य है।

(iii) ∵ L.H.S. = 23 × 32 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 72
R.H.S. = 65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6
= 7,776
यहाँ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ 72 ≠ 7,776 अर्थात् 23 × 32 ≠ 65
अत: कथन असत्य है।

(iv) 30 = (1000)0
∵ 30 = 1 और (1000)0 = 1
यहाँ L.H.S. = R.H.S.
∴ 30 = (1000)0
अत: कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 108 × 192
(ii) 270
(iii) 729 × 64
(iv) 768
हल:

∵ 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 22 × 33
और 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 26 × 3
∴ 108 × 192 = 22 × 33 × 26 × 3
= 28 × 34


∴ 270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2 × 33 × 5


∵ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 36
और 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26
∴ 729 × 64 = 36 × 26


∴ 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 28 × 31 = 28 × 3

प्रश्न 5.
सरल कीजिए :

हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 277

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
10 की घातों का प्रयोग करते हुए घातांकीय रूप में प्रसारित कीजिए:
(i) 172
(ii) 5643
(iii) 56439
(iv) 176428
हल:
(i) 172 = 1 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1
= 1 × 102 + 7 × 101 + 2 × 100

(ii) 5643 = 5 × 1000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1
= 5 × 103 + 6 × 102 + 4 × 101 + 3 × 100

(iii) 56439 = 5 × 10000 + 6 × 1000 + 4 × 100 +3 × 10 + 9 × 1
= 5 × 104 + 6 × 103 + 4 × 102 + 3 × 101 + 9 × 100

(iv) 176428 = 1 × 100000 + 7 × 10000 + 6 × 1000 +4 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1
= 1 × 105 + 7 × 104 + 6 × 103
+4 × 102 + 2 × 101 + 8 × 100

Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2