Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1
प्रश्न 1.
आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल-
माना कि आफताब की वर्तमान आयु x वर्ष है। तथा आफताब की पुत्री की वर्तमान आयु y वर्ष है।
बीजगणितीय रूप- प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार
x – 7 = 7(y – 7)
या x – 7 = 7y – 49
या x – 7y + 42 = 0
प्रश्न में दी गई दूसरी शर्त के अनुसार
x + 3 = 3(y + 3)
या x + 3 = 3y + 9
या x – 3y – 6 = 0
अतः दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म हैं-
x – 7y + 42 = 0 तथा x – 3y – 6 = 0
आलेखीय रूप-
x – 7y + 42 = 0
x = 7y – 42 …….(1)
y = 5 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 7 × 5 – 42
= 35 – 42
= -7
y = 6 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 7 × 6 – 42
= 42 – 42
= 0
y = 7 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 7 × 7 – 42
= 49 – 42
= 7
बिन्दुओं A(-7, 5), B(0, 6), C(7, 7) को आलेखित करने और उन्हें मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – 7y + 42 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
x – 3y – 6 = 0
x = 3y + 6 …….(2)
y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 3 × 0 + 6
= 0 + 6
= 6
y = 3 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 3 × 3 + 6
= 9 + 6
= 15
y = -2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 3 × (-2) + 6
= -6 + 6
= 0
बिन्दुओं D(6, 0), E(15, 3), F(0, -2) को आलेखित करने और उन्हें मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x – 3y – 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रु. में 3 बल्ले और 6 गेंदें खरीदी। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें 1300 रु. में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल-
माना कि एक बल्ले का मूल्य = x रु.
एक गेंद का मूल्य = y रु.
बीजगणितीय रूप-
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,
3x + 6y = 3900
x + 2y = 1300
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
1x + 3y = 1300
∴ दो चरों में रैखिक समीकरण-युग्म हैं
x + 2y = 1300 और x + 3y = 1300
आलेखीय रूप-
x + 2y = 1300
x + 3y = 1300
x = 1300 – 2y ……(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 1300 – 2 × 0
x = 1300
y = 500 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 1300 – 2 × 500
= 1300 – 1000
= 300
y = 650 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 1300 – 2 × 650
= 1300 – 1300
= 0
बिन्दुओं A(1300, 0), B(300, 500) और C(0, 650) को आलेखित करने और उन्हें मिलाते हुए रेखा
खींचने पर हमें समीकरण x + 2y = 1300 का आलेख प्राप्त होता है।
x + 3y = 1300
x = 1300 – 3y …….(2)
y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 1300 – 3 × 0
= 1300
y = 500 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 1300 – 3 × 500
= 1300 – 1500
= -200
y = 300 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 1300 – 3 × 300
= 1300 – 900
= 400
बिन्दुओं A(1300, 0), E(-200, 500), F(400, 300) को आलेखित करने और उन्हें मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x + 3y = 1300 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ A(1300, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, x = 1300 और y = 0 दिए गए रैखिक समीकरण-युग्म का हल है।
प्रश्न 3.
2 kg. सेब और 1 kg. अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रु. था। एक महीने बाद 4 kg. सेब और 2 kg. अंगूर का मूल्य 300 रु. हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल-
माना कि 1 किग्रा. सेबों का मूल्य = x रु.
1 किग्रा. अंगूर का मूल्य = y रु.
बीजगणितीय रूपप्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,
2x + 1y = 160
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
4x + 2y = 300
∴ दो चरों वाली रैखिक समीकरण युग्म है।
2x + y = 160 और 4x + 2 = 300
आलेखीय रूप-
बिन्दुओं A(80, 0), B(50, 60), C(0, 160) को आलेखित करने और उन्हें मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + y = 160 का आलेख प्राप्त होता है।
बिन्दुओं D(75, 0), E(50, 50), F(0, 150) को आलेखित करने और उन्हें मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 4x + 2y = 300 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ कहीं पर भी प्रतिच्छेदित नहीं करती अर्थात् वे समान्तर हैं।