Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.3
प्रश्न 1.
दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए
(i) x + y = 4
(ii) x – y = 2
(iii) y = 3x
(iv)3 = 2x +y
हल:
(i) x + y = 4
⇒ y = 4 – x
x के मानों के संगत । के मानों को प्रदर्शित करती सारणी निम्न प्रकार होगी
बिन्दुओं A (0, 4), B (2, 2) और C (4, 0) को ग्राफ. पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिन्दुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना
X-अक्ष पर 1 सेमी. = 1 इकाई
Y-अक्ष पर 1 सेमी. = 1 इकाई
(ii) x – y = 2
⇒ – y = 2 – x
या y = x – 2
x के मानों के संगत y के मानों को प्रदर्शित करती सारणी निम्न प्रकार है
बिन्दु ओं P (0, – 2), Q (1, – 1) और R (2, 0) ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिन्दुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना
X-अक्ष पर 1 सेमी. = 1
इकाई Y-अक्ष पर 1 सेमी. = 1 इकाई
(iii) y = 3x
x के मानों के संगत y के मानों को प्रदर्शित करती सारणी निम्न प्रकार है
बिन्दुओं P (-1, – 3), Q (0, 0) और R (1, 3) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिन्दुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना
X-अक्ष पर 1 सेमी. = 1
इकाई Y-अक्ष पर 1 सेमी. = 1 इकाई
(iv) 3 = 2x +y
⇒ 3 – 2x = y
y = 3 – 2x
x के मानों के संगत y के मानों को प्रदर्शित करती सारणी निम्न प्रकार है
बिन्दुओं L (0, 3), M (1, 1) और N (2, – 1) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिन्दुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना
X-अक्ष पर 1 सेमी. = 1 इकाई
Y-अक्ष पर 1 सेमी. = 1 इकाई
प्रश्न 2.
बिन्द (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं, और क्यों?
हल:
आप जानते हैं कि एक बिन्दु में से असीमित रूप से अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं। इनमें से कोई दो रैखिक समीकरण जो बिन्दु (2, 14) द्वारा संतुष्ट होते हैं, निम्नलिखित हैं
माना कि x और y में रैखिक समीकरण ax + by = c बिन्दु (2, 14) द्वारा संतुष्ट होता है।
अतः बिन्दु (2, 14) इस पर स्थित हैं।
∴ 2a + 14b = c
समीकरण में c का मान रखने पर,
ax + by = 2a + 14b
या a (x – 2) + b (y – 14) = 0
या b (y – 14) = – a (x – 2)
या y−14x−2=−aby−14x−2=−ab
a और b के विभिन्न मानों का प्रयोग करके हम अभीष्ट समीकरण प्राप्त कर सकते हैं।
यदि a = 2, b = 1
तोy−14x−2=−21y−14x−2=−21
या y – 14 = – 2x + 4
या 2x + y = 18
यदि a = 7, b = – 1
तो y−14x−2=−(7−1)y−14x−2=−(7−1)
या y – 14 = 7x – 14
7x – y = 0
अतः बिन्दु (2, 14) से होकर जाने वाली रेखायें अनन्त हो सकती हैं।
प्रश्न 3.
यदि बिन्दु ( 3, 4) समीकरण 3y = ax +7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार बिन्दु (3, 4) निम्नलिखित आलेख पर स्थित है
3y = ax + 7
अतः बिन्दु (3, 4) इस समीकरण को संतुष्ट करता है।
3 × 4 = a × 3 + 7
या 12 = 3a + 7
या 12 – 7 = 3a
या 5 = 3a
या 3a = 5
या a = 5353
अत: a = 5353, बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 पर स्थित है।
प्रश्न 4.
एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है-
पहले किलोमीटर का किराया 8 रुपए है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रुपए है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया y रुपए हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।
हल:
तय की गई कुल दूरी x मानने पर
पहले किलोमीटर का किराया = 8 रुपए
पहले किलोमीटर के बाद के प्रत्येक किमी. का किराया = 5 रुपए
कुल किराया = y रुपए
∴ प्रश्नानुसार 8 रुपए + 5 (x – 1) रुपए
= y रुपए
या 8 + 5 (x – 1) = y या
8 + 5x – 5 = y या
5x + 3 = y
5x – y + 3 = 0 …..(1)
यह दी गई समस्या का एक रैखिक समीकरण है।
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए x के मानों के संगत y के मानों को प्रदर्शित करती समीकरण निम्नलिखित है
बिन्दुओं P (1, 8) और Q (2, 13) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिन्दुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना
X-अक्ष पर 1 सेमी. = 1 किमी.
Y-अक्ष पर 1 सेमी. = 1 रुपया
प्रश्न 5.
निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए-
आकृति ( क ) के लिए
(i) y = x
(ii) x + y = 0
(iii) y = 2x
(iv) 2 + 3y = 7x
आकृति (ख) के लिए
(i) y = x + 2
(ii) y = x – 2
(iii) y = – x + 2
(iv) x + 2y = 6
हल:
आलेख (क) पर स्थित प्रत्येक बिन्दु समीकरण (ii) x + y = 0 को संतुष्ट करता है।
अतः, आलेख (क) के लिए चारों समीकरणों में से सही समीकरण है
x + y = 0
∵ x + y = 0
⇒ y = -x
x = 0 के लिए
y = 0 x = 1 के लिए y = – 1
x = – 1 के लिए y = 1
अब आलेख (ख) का प्रत्येक बिन्दु समीकरण (iii) y = – x + 2 में संतुष्ट है।
अतः, आलेख (ख) के लिए चारों समीकरणों में से सही समीकरण है
y = – x + 2
y = – x + 2 में
x = 2 के लिए y = – 2 + 2
⇒ y = 0
x = 0 के लिए y = – 0 + 2
y = 2
x = – 1 के लिए y = – (-1) + 2
⇒ y = 1 + 2
y = 3
प्रश्न 6.
एक अचर बल लगाने पर एक पिण्ड द्वारा किया गया कार्य पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी
(i) 2 मात्रक
(ii) 0 मात्रक
हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए स्थिर बल (माना k मात्रक) द्वारा किया गया कार्य, मात्रक है और पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी x मात्रक है। आप जानते हैं कि बल द्वारा किया गया कार्य पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है।
अनुपात और समानुपात से, हम इस तथ्य को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं
y = kx
k = 5 मात्रक लेने पर
y = 5x …..(1) जो कि दो चरों में रैखिक समीकरण है।
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए; x के मानों के संगत ) के मानों को प्रदर्शित करने वाली सारणी निम्न अनुसार है
बिन्दुओं P (1/2, 5/2), Q (1, 5) और R (3, 15) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिन्दुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
पैमाना
X-अक्ष पर : 1 सेमी. = 1 मात्रक तय की गई दूरी
Y-अक्ष पर : 1 सेमी. = 1 मात्रक किया गया कार्य। आलेख से हम देखते हैं कि
(i) जब x = 2 मात्रक, तो y = 10 मात्रक
अतः जब पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी 2 मात्रक हो, तो किया गया कार्य 10 मात्रक है।
(ii) जब x = 0 मात्रक
तब y = 0 मात्रक
अतः, जब कोई दूरी तय न की गई हो तब कोई कार्य नहीं होता।
प्रश्न 7.
एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रुपए अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आँकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप उनका अंशदान x रुपए और y रुपए मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
हल:
मान लीजिए दामिनी ने x रुपए और फातिमा ने y रुपए प्रधानमंत्री राहत कोष में अंशदान दिया
दोनों का कुल अंशदान = 100 रुपए में
⇒ x + y = 100 …..(1)
जो कि दो चरों में एक रैखिक समीकरण है।
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए हम x मानों के संगत ) के मानों को दर्शाती सारणी खींचते हैं।
बिन्दुओं P (40, 60), Q (50, 50) और P (70, 30) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिन्दुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
प्रश्न 8.
अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपान्तरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है
F = (95)(95)C + 32
(i) सेल्सियस कोx-अक्ष और फारेनहाइट को y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए।
(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा और यदि तापमान 0°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है। यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दो चरों °F और °C में रैखिक समीकरण है
F = (95)(95)C + 32 ….(1)
समीकरण (1) का आलेख खींचने के लिए हम | C के संगत F के मानों को दर्शाती सारणी खींचते हैं।
बिन्दुओं (0, 32) और (- 20, – 4) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए। इन बिन्दुओं को मिलाइए और रेखा प्राप्त कीजिए।
(ii) यदि तापमान C = 30°C है तब फारेनहाइट में मान होगा
F = (95)(95) × 30 + 32
= 9 × 6 + 32
= 54 + 32 = 86°F
(iii) यदि तापमान 95°F है तब सेल्सियस में ताप | होगा
95 = (95)(95)C + 32
95 – 32 = 9595C
63 = 9595C
C = 63×5963×59
= 7 × 5 = 35°C
पैमाना-X-अक्ष पर 1 सेमी. = 8°C
Y-अक्ष पर 1 सेमी. = 8°F
(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फारेनहाइट में तापमान होगा
F = (95)(95) × 0 + 32
F = 0 + 32 = 32°F
यदि तापमान 0°F है तब सेल्सियस में तापमान होगा
0 = (95)(95)C+32
0 – 32 = 9595c
– 32 = 9595C
C = -32×59=−160932×59=−1609
= – 17.8°C लगभग
(v) हाँ, ऐसा भी तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है। आलेख से हम देखते हैं कि बिन्दु (-40, – 40) रेखा पर स्थित है।
अतः, – 40 (दोनों F और C पर) संख्यात्मकतः समान तापमान है।