Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.2
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में प्रत्येक कथन में उपयोग किए गए गुणधर्म का वर्णन कीजिए (संलग्न आकृति) :
(i) यदि a|| b, तो ∠1 = ∠5
(ii) यदि ∠4 = ∠6 तो, a || b .
(iii) यदि ∠4 + ∠5 = 180°, तो a || b.
उत्तर:
(i) यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक छेदी रेखा काटती है, तो संगत कोण बराबर होते हैं। (संगत कोण गुणधर्म)
(ii) यदि दो दी हुई रेखाएँ एक तिर्यक छेदी रेखा द्वारा इस प्रकार काटी जाएँ कि उनके अन्तः एकान्तर कोण समान हों, तो रेखाएँ समान्तर होती हैं। (अन्तः एकान्तर कोण गुणधर्म)
(iii) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तः कोणों का प्रत्येक युग्म सम्पूरक होता है।
प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में निम्नलिखित की पहचान कीजिए :
(i) संगत कोणों के युग्म
(ii) अन्तः एकान्तर कोणों के युग्म
(iii) तिर्यक छेदी रेखा के एक तरफ बने अन्तः कोणों के युग्म (iv) ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण
उत्तर:
(i) संगत कोणों के युग्म – (∠1, ∠5); (∠2, ∠6); (∠3, ∠7) और (∠ 4, ∠8)
(ii) अन्तः एकान्तर कोणों के युग्म – (∠ 2, ∠8); (∠3, ∠5)
(iii) तिर्यक छेदी रेखा के एक तरफ के बने अन्तः कोणों के युग्म – (∠2, ∠5) और (∠ 3, ∠8)
(iv) ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण – (∠ 1, ∠3); (∠2, ∠4); (∠5, ∠7) और (∠ 6, ∠8).
प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में p || q अज्ञात कोण ज्ञात कीजिए:
हल:
∵ ∠e + 125° = 180° (रैखिक युग्म)
∴∠e = 180° – 125° = 55°
∵ ∠e = ∠f (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)
∴ ∠f = 55°
साथ ही, ∠a = ∠f= 55° (एकान्तर कोण)
∠d = 125° (संगत कोण)
∠b = ∠d (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)
∴ ∠b = 125°
∠c =∠a (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)
∴ ∠c = 55°
अतः अभीष्ट अज्ञात कोण ∠a = 55°, ∠b = 125°, ∠c = 55°, ∠d = 125°, ∠e = 55°, और ∠f = 55°
प्रश्न 4.
यदि l || m हैं, तो निम्नलिखित आकृतियों में x का मान ज्ञात कीजिए :
हल:
(i) क्योंकि l || m और t प्रतिच्छेदी तिर्यक रेखा है।
∠x + 110° = 180° (एकान्तर कोण)
∠x = 180° – 110° = 70°
अतः अभीष्ट 2x = 70°
(ii) ∠x = 100° (संगत कोण)
प्रश्न 5.
दी हुई आकृति में, दो कोणों की भुजाएँ समान्तर हैं। यदि ∠ABC = 70° तो
(i) ∠ DGC ज्ञात कीजिए।
(ii) ∠ DEF ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, AB || DE और BC || EF
(i)∵ BC तिर्यक छेदी रेखा है
∴ ∠DGC = ∠ ABC (संगत कोण)
∴ ∠DGC = 70° (∵ ∠ABC = 70°)
(ii) ∵ BC || EF की ED तिर्यक छेदी रेखा है
∴ ∠ DEF = ∠ DGC
∴ ∠ DEF = 70°(∵ ∠DGC = 70°)
प्रश्न 6.
नीचे दी हुई आकृतियों में निर्णय लीजिए कि क्या l, m के समान्तर है?
हल:
(i) ∵126° + 44° = 170° ≠ 180°
अर्थात् तिर्यक छेदी रेखा के एक ही ओर के अन्त:कोणों का योग 180° नहीं है।
∴ l और m समान्तर नहीं हैं।
(ii) यहाँ l और m की तिर्यक छेदी रेखा n है।
यहाँ ∠p चिह्नित किया,
∠p = 75° (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)
साथ ही, ∠p + 75° = 75° + 75° = 150° ≠ 180°
∴ l और m समान्तर नहीं हैं।
(iii) ∠p चिह्नित करने पर,
∵ ∠p + 123° = 180° (रैखिक युग्म है)
∴∠p = 180° – 123° = 57° अर्थात् संगत कोण बराबर हैं।
∴ l और m समान्तर हैं।
(iv) यहाँ ∠1 चिन्हित किया।
∵ ∠1 + 98° = 180° (रैखिक युग्म)
∠1 = 180° – 98° = 82°
चूँकि संगत कोण ∠1 ≠ 72° (∵∠1 = 82°)
अर्थात् संगत कोण बराबर नहीं हैं।
अतः l और m समान्तर नहीं हैं।