Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1

प्रश्न 1.
सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्भे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।

हल-
माना कि AB खम्भे की ऊँचाई है।
AC = 20 m डोर की लम्बाई है।
इस स्थिति में, उन्नयन कोण 30° है।
अब समकोण ∆ABC में,


अतः खम्भे की ऊँचाई = 10 m

प्रश्न 2.
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि आँधी से पहले पेड़ की लम्बाई BD है।
आँधी के यश्चात् AD = AC = टूटे गए पेड़ के भाग की लम्बाई।


अतः वृक्ष की ऊँचाई = 8√3 m
या वृक्ष की ऊँचाई = 8 × 1.732
= 13.856
~ 13.86 m

प्रश्न 3.
एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल-
प्रथम स्थिति- 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए-
माना कि AC = l1 m फिसलनपट्टी की लम्बाई है और BC = 1.5 m फिसलनपट्टी की ऊँचाई है।
इस स्थिति में उन्नयन कोण 30° है।


द्वितीय स्थिति- अधिक उम्र के बच्चों के लिए-
माना कि AC = l2 m फिसलनपट्टी की लम्बाई है और BC = 3 m फिसलनपट्टी की ऊँचाई हैं।
इस स्थिति में उन्नयन कोण 60° का है।


अतः 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिये फिसलनपट्टी की लम्बाई = 3 मीटर
तथा इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिये फिसलनपट्टी की लम्बाई = 2√3 मीटर

प्रश्न 4.
भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि QR = h m मीनार की ऊँचाई है और PQ = 30 m भूमि स्तर पर दूरी है।


अतः, मीनार की ऊँचाई = 17.32 m

प्रश्न 5.
भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढाल नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि R बिन्दु पर पतंग की स्थिति है।
PR = 1 m पतंग के साथ लगी डोरी की लम्बाई है।
इस स्थिति में उन्नयन कोण 60° है।


अतः, डोरी की लम्बाई = 40√3 m
या अतः डोरी की लम्बाई = 40 × 1.732 = 69.28 m

प्रश्न 6.
1.5 m लम्बा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है?
हल-
माना कि ED = 30 m भवन की ऊँचाई है और EC = 1.5 m लड़के की ऊँचाई है।
विभिन्न स्थितियों में उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° है और यहाँ पर
DC = DE – EC = 30 – 1.5 = 28.5 m


अतः, लड़के द्वारा भवन की ओर चली गई दूरी = 19√3 m

प्रश्न 7.
भूमि के एक बिन्दु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 450 और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि BC = 20 m भवन की ऊँचाई है और DC = h m संचार भवन की ऊँचाई है।
भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है।


(i) और (ii) से,

या 20√3 = 20 + h
या h = 20√3 – 20
या h = 20(3 – 1)
या h = 20(1.732 – 1)
या h = 20 × 0.732 
या h = 14.64 m
अतः, मीनार की ऊँचाई = 14.64 m
अतः संचार मीनार की ऊँचाई = 20(√3 – 1) m = 14.64 m

प्रश्न 8.
एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि BC = h m पेडस्टल की ऊँचाई है और CD = 1.6 m मूर्ति की ऊँचाई है।
भूमि के बिन्दु से मूर्ति के शिखर और पेडस्टल के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं।


अतः पेडस्टल की ऊँचाई = 0.8 × (√3 + 1) m
या पेडस्टल की ऊँचाई = 0.8(1.732 + 1)
= 0.8 × 1.732
~ 2.20 m

प्रश्न 9.
एक मीनार के पाद-बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पादबिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि BC = 50 m मीनार की ऊँचाई है और AD = h m भवन की ऊँचाई है।
मीनार के पाद बिन्दु से भवन के शिखर का और भवन के पाद-बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।


अतः, भवन की ऊँचाई = 162323 m

प्रश्न 10.
एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमनेसामने समान लम्बाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि BC = DE = h m
दो बराबर खम्भों की ऊँचाई है और बिन्दु A अभीष्ट बिन्दु है जहाँ से दोनों खम्भों के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।


(i) और (ii) से,

या x = (80 – x) √3 × √3
या x = (80 – x) 3
या x = 240 – 3x
या 4x = 240
या x = 60 m
x का मूल्य (i) में प्रतिस्थापित करने पर

= 20√3 m
अतः खम्भों की ऊँचाई = (20 × 1.732) m = 34.64 m
∴ DA = x = 60 m
और AB = 80 – x = (80 – 60) m = 20 m
अतः, खम्भे की ऊँचाई 34.64 m है और बिन्दु की खम्भों से दूरी क्रमशः 20 m और 60 m है।

प्रश्न 11.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। (देखिए आकृति)। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल-
माना कि BC = x m नहर की चौड़ाई है और CD = h m टीवी टॉवर की ऊँचाई है।
भिन्न-भिन्न स्थितियों में टॉवर के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।



या √3(√3x) = 20 + x
या 3x = 20 + x
या 2x = 20
या x = 10
x का मान (i) में प्रतिस्थापित करने पर
h = 10(√3)
या h = 10 × 1.732
या h = 17.32 m
अतः टीवी टॉवर की ऊँचाई 17.32 m है और नहर की चौड़ाई 10 m है।

प्रश्न 12.
7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि BD = h m केबल टॉवर की ऊँचाई है और AE = 7 m भवन की ऊँचाई है।
केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण और पाद का अवनमन कोण क्रमशः 60° और 45° है।


अर्थात ∠DEC = 60° और ∠CEB = 45°
BA || EC, EA || BC
∴ EA = BC = 7 m

या 7√3 = h – 7
या h = 7√3 + 7
या h = 7(√3 + 1) m
अतः केबल टॉवर की ऊँचाई = 7(√3 + 1) m
या h = 7(1.732 + 1)
या h = 7(2.732)
या h = 19.124
या h = 19.124 m
अतः, केबल टॉवर की ऊँचाई = 19.124 m

प्रश्न 13.
समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के’ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि CD = 75 m लाइट हाउस की ऊँचाई है और लाइट हाउस के शिखर के बिन्दु D से दो जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं।



या x + y = 75√3
या x + 75 = 75√3 [(i) का प्रयोग करने पर]
या x = 75√3 – 75
या x = 75(√3 – 1)
या x = 75(1.732 – 1)
या x = 75(0.732)
या x = 54.90 m
अतः दो जहाजों के बीच की दूरी = 75(√3 – 1) m = 54.90 m

प्रश्न 14.
1.2 m लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (देखिए आकृति)। इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।


हल-
माना कि 1.2 m लम्बी लड़की की स्थिति ‘A’ है।
इस बिन्दु से विभिन्न दूरियों पर गुब्बारे के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।
साथ ही, BE = CD = 87 m गुब्बारे की ऊँचाई है।


अतः, इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = 58√3 m

प्रश्न 15.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि CD = h m मीनार की ऊँचाई है तथा ‘A’ कार की प्रारम्भिक स्थिति है और छः सेकण्ड के बाद कार B पर पहुँच जाती है।
A और B पर कार के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।
पुनः माना कि कार की चाल v मीटर प्रति सेकण्ड है।


∵ दूरी = चाल × समय
AB = कार द्वारा 6 सेकण्ड में तय की गई दूरी
AB = 6v मीटर 
तथा कार द्वारा मीनार तक पहुँचने में लिया गया समय ‘n’ सेकण्ड है।
∴ BC = nv मीटर
समकोण ∆ACD में,

या 6v + nv = nv(√3 × √3)
या 6v + nv = 3nv
या 6v = 2nv
या n = 3
अतः मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय = 3 सेकण्ड

प्रश्न 16.
मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।
हल-
माना कि CD = h m मीनार की ऊँचाई है और B, A अभीष्ट बिन्दु हैं जो मीनार से.क्रमशः 4 m और 9 m की दूरी पर हैं।

Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1