Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए-
(i) 24x2yz और 27x4 y2z2
(ii) x2 – 3x + 2 और x4 + r3 – 6x2
(iii) 2x2 – 8 और x2 – 5x + 6
(iv) x2 – 1; (x2 + 1) (x + 1) तथा x2 + x – 1
(v) 18(6x4 + x3 – x2) और 45(2x6 + 3x5 + x4)
हल:
(i) माना दिये गये व्यंजक
n(x) = 24x2yz
तथा v(x) = 27x4y2z2 हैं।
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = 2 × 2 × 2 x 3 × x2 y × 2
तथा v = 3 × 3 × 3 x x4 x y2 x z2
अतः सर्वनिष्ठ गुणज
= 23 × 33 × x4 × y2 × z2 [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
= 8 × 27 × x4 × y2 × 2z2
= 216x4y2z2
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों का अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = 216x4y2z2 उत्तर

(ii) x2 – 3x + 2 और x4 + x3 – 6x2
माना u(x) = x2 – 3x + 2
तथा v(x) = x4 + x3 – 6x2
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = x2 – 3x + 2 = (x – 2) (x – 1)
v = x4 + x3 – 6x2 = (x2 + x – 6)
= x2(x + 3)(x – 2)
अतः सर्वनिष्ठ गुणज
= x2(x – 1) (x – 2) (x + 3) [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों को अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = x2(x – 1) (x – 2) (x + 3) उत्तर

(iii) माना u(x) = 2x2 – 8
तथा v(x) = x2 – 5x + 6
अत: गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = 2x2 – 8
= (x2 – 4) = 2[(x)2 – (2)2]
=2(x + 2)(x – 2)
v = x2 – 5x + 6 = (x – 3) (x – 2)
अतः सर्वनिष्ठ गुणज (Common multiple)
= 2(x – 2) (x – 3) (x + 2)
= 2(x2 – 4) (x – 3) [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों का अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = 2(x2 – 4) (x – 3) उत्तर

(iv) माना दिये गये व्यंजक
u(x) = x2 – 1
v(r) = (x2 + 1) (x + 1)
तथा w(x) = x2 + x – 1
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = x2 – 1 = (x – 1) (x + 1)
v = (x2 + 1) (x + 1)
w = x2 + x – 1
अतः सर्वनिष्ठ गुणज (Common multiple)
= (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x2 + 1 – 1) [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
= ( x2 – 1) (x2 + 1) (x2 + x – 1)
= [(x)4 – 1) (x2 + x – 1)
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों का अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = (x4 – 1) (x2 + x – 1) उत्तर

(v) माना दिये गये व्यंजक
u(r) = 18(6x4 + x3 – x2)
तथा v(x) = 45(2x6 + 3x5 + x4)
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = 18(6x4 + x3 – x2)
= 18x2 (6x2 + x – 1)
= 18x2 {6x2 + 3x – 2x – 1}
= 182 {3(2x + 1) – 1(2x + 1)}
= 18x2 (2x + 1) (3x – 1)
= 212 × 32 × x (2x + 1) (3x – 1)
v = 45 (2x6 + 3x5 + x4)
= 45x4(2x2 + 3x + 1)
= 32 × 51 × x4(2x2 + 2x + x + 1)
= 32 × 51 × x4(2x(x + 1) + 1(x + 1))
= 32 × 51 × x4 x (x + 1) x (2x + 1)
अतः सर्वनिष्ठ गुणज (Common multiple)
=21 × 32 × 51 × x4 × (x + 1) (2x + 1) (3x-1)
= 2 × 9 × 5 × x4 x (x + 1) (2x + 1) (3 – 1)
= 90x4(x + 1) (2x + 1) (3x – 1) [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों का अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = 90x4 (x + 1) (2x + 1) (3x – 1) उत्तर

प्रश्न 2.
निम्नलिखित व्यंजकों के महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए-
(i) a3b4, ab5, a2b8
(ii) 16x2y2, 48x4z
(iii) x2 – 7x + 12; x2 – 10x + 21 तथा x2 + 2x – 15
(iv) (x + 3)2 (x – 2) और (x + 3) (x – 2)2
(v) 24(6x4 – x3 – 2x2) और 20(6x6 + 3x5 + x4)
हल:
(i) माना दिये गये व्यंजक
u = a3b4
v = ab5
तथा w = a2b8
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = a3 × b4
v = a × b5
तथा w = a2 × b8
यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक
= a × b4
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = ab4 है।

(ii) माना दिये गये व्यंजक
u = 16x2y2
तथा v = 48x4z
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x × y × y
= 24 x x2 xy
v = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × x × x × x × x × z
= 24 × 31 × x4 × z2
यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ ‘भाजक = 24 × x2 = 16 x2
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = 16x2है।

(iii) माना दिये गये व्यंजक
u = x2 – 7x + 12
v = x2 – 10x + 21
तथा w = x2 + 2x – 15
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर

यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक = (x – 3)
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = (x – 3) है।

(iv) माना दिये गये व्यंजक
u = (x + 3)2 (x – 2)
तथा v = (x + 3) (x – 2)2
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = (x + 3)2 (x – 2) = (x + 3) × (x + 3) × (x – 2)
v = (x + 3) (x – 2)2 = (x + 3) × (x – 2) × (x – 2)
यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक = (x + 3) (x – 2)
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = (x + 3) (x – 2) उत्तर

(v) माना दिये गये व्यंजक
u = 24(6x4 – x2 – 2x2)
तथा v = 20(6x6 + 3x2 + x)
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर

यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक = 22 × x2 = 4x
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = 4x2 उत्तर

प्रश्न 3.
यदि u(x) = (x – 1)2 तथा v(x) = (x2 – 1) हो तो सम्बन्ध LCM × HCF = u(x) × v(x) की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल:
दिया है-
u(x) = (x – 1)2
v(x) = (x2 – 1)
अतः गुणनखण्डन के रूप में लिखने पर
u = (x – 1) × (x – 1) …..(i)
v = x2 – 1 = (x – 1) (x + 1) …………..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से HCF तथा LCM लिखने पर
HCF = (x – 1)
LCM = (x – 1) ×(x – 1) × (x + 1)
= (x – 1) × (x + 1) = (x – 1)2 (x + 1)
हमें सम्बन्ध की जाँच करनी है।
LCM × HCF = u(x) × y(x)
→ LHS = LCM x HCF = (x – 1)2 (x + 1) x (x – 1)
= (x – 1)3 (x + 1)
RHS = u(x) × v(x) = (x – 1)2 × (x – 1)
= (x – 1)2 x (x – 1) (x + 1)
= (x – 1)3 (x + 1)
अतः LHS = RHS
अर्थात् LCM × HCF = u(x) × v(x)
अत: सत्यापन की जाँच पूरी होती है।

प्रश्न 4.
दो व्यंजकों का गुणनफल (x – 7)(x2 + 8 +12) है। यदि इन व्यंजकों का महत्तम समापवर्तक (HCF), (x + 6) है तो इनका लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है-दो व्यंजकों का गुणनफल = (x – 7)(x2 + 8x + 12)
(HCF) = (x + 6)
LCM = ?
हम जानते हैं-
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Ex 3.6 3

प्रश्न 5.
दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः (x – 5) तथा x3 – 19x – 30 है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है- HCF = (x – 5)
LCM = x2 – 19x – 30
माना दो द्विघातीय व्यंजक (1) तथा v(x) हैं।
अब x3 – 19x – 30 में