Chapter 4 सरल समीकरण Ex 4.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी के अन्तिम स्तम्भ को पूरा कीजिए:
हल:
प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि कोष्ठकों में दिए हुए मान, दिए गए संगत समीकरणों के हल हैं या नहीं :
(a) n + 5 = 19 (n = 1)
(b) 7n + 5 = 19 (n = 2)
(c) 3n + 5 = 19 (n = 2)
(d) 4p – 3 = 13 (p = 1)
(e) 4p – 3 = 13 (p = -4)
(f) 4p – 3 = 13 (p = 0).
हल:
(a) जब, n = 1, तब n + 5 = 1 + 5
= 6 ⇒ 6 ≠ 19 (∵R.H.S. = 19)
अत: n = 1, समीकरण n + 5 = 19 का हल नहीं है।
(b) जब, n = – 2, तब 7n + 5 = 7 x (-2) +5
= – 14 + 5 = -9 ⇒ -9 (∵R.H.S. = 19)
अत: n = – 2, समीकरण 7n + 5 = 19 का हल नहीं है।
(c) जब, n = 2 तब 7n + 5 = 7 x 2 +5
= 14 + 5 = 19 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
अत: n = 2, समीकरण 7n + 5 का हल है।
(d) जब p = 1, तब 4p -3 = 4 x 1 – 3 = 4 – 3
= 1 ⇒ 1 ≠ 13 (∵ R.H.S. = 13)
अतः p = 1, समीकरण 4p – 3 = 13 का हल नहीं है।
(e) जब p=-4, तब 4p – 3 = 4(-4)-3
= -16 – 3 = – 19 ⇒ -19 ≠ 13 (∵R.H.S. = 13)
अतः p = – 4, समीकरण 4p – 3 = 13 का हल नहीं है।
(f) जब p = 0, तब 4p – 3 = 4 x 0 – 3
= -3 ⇒ -3 ≠ 13 (∵R.H.S. = 13)
अतः p = 0, समीकरण 4p – 3 = 13 का हल नहीं है।
प्रश्न :
प्रयत्न तथा भूल विधि से निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
(i) 5p + 2 = 17
(ii) 3m -14 = 4
हल:
(i) जब p = 0, तब 5p + 2 = 5 x 0 + 2
= 0 + 2 = 2 ⇒ 2 ≠ 17
(∵ R.H.S. = 17)
जब p = 1, तब 5p + 2 = 5 x 1 + 2
5 + 2 = 7 – 7 ≠ 17
जब p = 2, तब 52 + 2 = 5 x 2 + 2
= 10 + 2 = 12 ⇒ 17
जब p = 3, तब 5 x 3 + 2 = 15 + 2 = 17 = R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.
अतःp = 3, समीकरण 5p + 2 = 17 का हल है।
(ii) यहाँ समीकरण 3m – 14 = 4 में 3m का मान 14 से अधिक होना चाहिए।
अर्थात् 3m > 14 अथवा m > 4
∴ जब m = 5, तब 3m – 14 = 3 x 5 – 14 = 15 – 14 = 1 ⇒ 144
(∵ R.H.S = 4)
जब m = 6, तब 3m – 14 = 3 x 6 – 14
= 18 – 14
= 4 = R.H.S.
अत: m = 6, समीकरण 3m – 14 = 4 का हल है।
प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों के समीकरण दीजिए :
(i) संख्याओं x और 4 का योग 9 है।
(ii) y में से 2 घटाने पर 8 प्राप्त होते हैं।
(iii) a का 10 गुना 70 है।
(iv) संख्या b को 5 से भाग देने पर 6 प्राप्त होता है।
(v) t का तीन-चौथाई 15 है।
(vi) m का 7 गुना और 7 का योगफल आपको 77 देता है।
(vii) एक संख्या x की चौथाई ऋण 4 आपको 4 देता है।
(viii) यदि आपy के 6 गुने में से 6 घटाएँ तो आपको 60 प्राप्त होता है।
(ix) यदि आप : के एक-तिहाई में 3 जोड़ें, तो आपको 30 प्राप्त होता है।
हल:
(i) x + 4 = 9
(ii) y – 2 = 8
(iii) 10a = 70
(iv) = 6
(v) = 15
(vi) 7m + 7 = 77
(vii) x – 4 = 4
(viii) 6y – 6 = 60
(ix) + 3 = 30
प्रश्न 5.
निम्नलिखित समीकरणों को सामान्य कथनों के रूप में लिखिए :
(i) p + 4 = 15
(ii) m- 7 = 3
(iii) 2m = 7
(iv) = 3
(v) = 6
(vi) 3p + 4 = 25
(vii) 4p – 2 = 18
(viii) + 2 = 8
उत्तर:
(i) p और 4 का योग 15 है।
(ii) m में से 7 घटाने पर 3 प्राप्त होता है।
(iii) m का दो गुना होने पर 7 प्राप्त होता है।
(iv) संख्या m को 5 से भाग देने पर 3 प्राप्त होता है।
(v) संख्या m का में करने पर 6 प्राप्त होता है।
(vi) संख्या p के तीन गुने का 4 से योग 25 है।
(vii) संख्या p के चार गुने में से 2 घटाने पर 18 मिलते हैं।
(viii) संख्या p के आधे में से 2 जोड़ने पर 8 मिलता है।
प्रश्न 6.
निम्नलिखित स्थितियों में समीकरण बनाइए :
(i) इरफान कहता है कि उसके पास, परमीत के पास जितने कंचे हैं उनके पाँच गुने से 7 अधिक कंचे हैं। इरफान के पास 37 कंचे हैं। (परमीत के कंचों की संख्या को m लीजिए।)
(ii) लक्ष्मी के पिता की आयु 49 वर्ष है। उनकी आयु लक्ष्मी की आयु के तीन गुने से 4 वर्ष अधिक है। (लक्ष्मी की आयु को y वर्ष लीजिए।)
(iii) अध्यापिका बताती है कि उनकी कक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा प्राप्त किए गए अधिकतम अंक प्राप्त किए न्यूनतम अंक का दुगुना धन 7 है। प्राप्त किए गए अधिकतम अंक 87 हैं।
(न्यूनतम प्राप्त किए गए अंकों को। लीजिए।)
(iv) एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण प्रत्येक आधार कोण का दुगुना है। (मान लीजिए प्रत्येक आधार कोण b डिग्री है। याद रखिए कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है।)
हल:
(i) माना कि परमीत के पास m कंचे हैं।
∴ परमीत के कंचों का 5 गुना = 5m
∵ इरफान के कंचे = परमीत के कंचों का
5 गुना +7 इरफान के कंचे = 5m +7
लेकिन इरफान के कंचे = 37.
∴ अभीष्ट समीकरण 5m +7 = 37 है।
(ii) माना कि लक्ष्मी की आयु = y वर्ष
∴ लक्ष्मी की आयु की तीन गुना = 3y वर्ष
लक्ष्मी के पिता की आयु = लक्ष्मी की आयु का 3 गुना + 4 वर्ष = 3y + 4
लेकिन लक्ष्मी के पिता की आयु = 49 वर्ष
∴ अभीष्ट समीकरण : 3y + 4 = 49
(iii) माना कि न्यूनतम अंक = l
∴ न्यूनतम अंक का दुगुना = 2l
चूँकि अधिकतम अंक = न्यूनतम अंक का दुगुना +7
= 2l + 7
लेकिन अधिकतम अंक = 87
∴ अभीष्ट समीकरण 2l + 7 = 87 है।
(iv) माना कि आधार कोण = b डिग्री..
∵ समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं।
∴ त्रिभुज का दूसरा आधार कोण = b डिग्री
चूँकि शीर्ष कोण = प्रत्येक आधार कोण का दुगुना = 2b डिग्री
लेकिन, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180 डिग्री (180°)
∴ b + b + 2b = 180°
∴ अभीष्ट समीकरण : 4b = 180°