Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.2
प्रश्न 1.
अगर आपको किसी संख्या से घटाने और परिणम को से गुणा करने पर प्राप्त होता है तो वह संख्या क्या है?
हल:
मानाकि अभीष्ट संख्या x है।
अब, प्रश्नानुसार,
∴ अभीष्ट संख्या:
प्रश्न 2.
एक आयताकार तरण ताल (swimming pool) की लम्बाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 2 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है तो इसकी लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मानाकि तरण ताल की चौड़ाई x मीटर है,
तब इसकी लम्बाई = (2x + 2) मीटर
परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
=2 x (2x + 2 + x)
= 2 x (3x + 2)
= 6x + 4
अब, प्रश्नानुसार
6x + 4 = 154
या 6x = 154 – 4 = 150
या x = = 25
लम्बाई = (2 x 25 + 2) मीटर
= 52 मीटर
और चौड़ाई = 25 मीटर
प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार cm तथा उसका परिमाप 4 cm है। उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक बराबर भुजा की माप x सेमी है। अतः इसका परिमाप = (x + x + ) सेमी
= (2x + )
सेमी
परन्तु, प्रश्नानुसार,
2x + = 4 = 4 =
या 30x + 20 = 62
या 30x = 62 – 20 = 42
या x = =
या x = 1 सेमी
∴ समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं में प्रत्येक भुजा की माप = 1 सेमी
प्रश्न 4.
दो संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि दो संख्याएँ x तथा x + 15 हैं।
तब x + (x + 15) = 95
या 2x + 15 = 95
दोनों ओर से 15 घटाने पर,
∴ 2x + 15 – 15 = 95 – 15
या 2x = 80
या x = 40
अतः एक संख्या 40 और दूसरी संख्या 40 + 15 = 55
प्रश्न 5.
दो संख्याओं में अनुपात 5 : 3 है। यदि उनमें अन्तर 18 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि संख्याएँ 5x व 3x हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
5x – 3x = 18
या 2x = 18
या x = = 9
∴ संख्याएँ 5x = 5 x 9 = 45 तथा 3x = 3 x 9 = 27
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 45 तथा 27
प्रश्न 6.
तीन लगातार पूर्णांकों का योग 51 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि तीन लगातार पूर्णांक x, (x + 1) और (x + 2) हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
x + (x + 1) + (x + 2) =51
या 3x + 3 = 51
या 3x = 51 – 3 = 48
या x = = 16
अतः अभीष्ट पूर्णांक 16, 17 व 18 हैं।
प्रश्न 7.
8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए?
हल:
माना कि तीन लगातार गुणज 8x, 8 (x + 1) व 8 (x + 2) हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
8x + 8 (x + 1) + 8 (x + 2) = 888
या 24x + 24 = 888
या 24x = 888 – 24 = 864
या x = = 36
अतः तीन लगातार गुणज 8 x 36, 8 (36 + 1) व 8 (36 + 2)
अर्थात् अभीष्ट तीन लगातार गुणज = 288, 296 व 304 हैं।
प्रश्न 8.
तीन लगातार पूर्णांक बढ़ते क्रम में लेकर उन्हें क्रमश: 2, 3 तथा 4 से गुणा कर योग करने पर योगफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि तीन लगातार पूर्णांक x, (x + 1) और (x + 2) हैं।
अब, प्रश्नानुसार,
2 × x + 3 (x + 1)+4 x (x + 2) = 74
या 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
या 9x + 11 = 74
या 9x = 74 – 11
या 9x = 63
या x = = 7
अतः तीन अभीष्ट लगातार पूर्णांक = 7,8 व 9 हैं।
प्रश्न 9.
राहुल और हारून की वर्तमान आयु में अनुपात 5 : 7 है। 4 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
माना कि राहुल की वर्तमान आयु = 5x वर्ष है
हारून की वर्तमान आयु = 7x वर्ष
चार वर्ष बाद राहुल की आयु (5x + 4) वर्ष
चार वर्ष बाद हारून की आयु = (7x + 4) वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
5x + 4 + 7x + 4 = 56
12x + 8= 56
8 को दायें पक्ष में पक्षान्तर करने पर,
12x = 56 – 8
या 12x = 48
या x = = 4
∴ राहुल की आयु = 5 x 4 = 20 वर्ष
तथा हारून की आयु = 7 x 4 = 28 वर्ष
प्रश्न 10.
किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं में अनुपात 7 : 5 है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
हल:
मानाकि कक्षा में बालकों की संख्या = 7x
तथा बालिकाओं की संख्या = 5x
अब, प्रश्नानुसार,
या 7x = 5x + 8
या 7x – 5x = 8
या 2x = 8
x = = 4
∴ बालकों की संख्या = 7 x 4 = 28
और बालिकाओं की संख्या = 5 x 4 = 20
अतः विद्यार्थियों की कुल संख्या = 28 + 20 = 48
प्रश्न 11.
बाइचुंग के पिताजी उसके दादा जी से 26 वर्ष छोटे हैं और उससे 29 वर्ष बड़े हैं। यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बाइचुंग की आयु = x वर्ष है
बायुचुंग के पिताजी की आयु = (x + 29) वर्ष
बाइचुंग के दादा जी की आयु = [(x + 29) + 26] वर्ष
= (x + 55) वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
x + (x + 29) + (x + 55) = 135
या 3x + 84 = 135
या 3x = 135 – 84
या 3x = 51
या x = = 17
∴ बाइचुंग की आयु = 17 वर्ष,
उसके पिता की आयु = 17 + 29 = 46 वर्ष, तथा
उसके दादा जी की आयु = 17 + 55 = 72 वर्ष।
प्रश्न 12.
15 वर्ष बाद रवि की आयु उसकी वर्तमान आयु से चार गुनी हो जाएगी। रवि की वर्तमान आयु क्या है?
हल:
माना कि रवि की वर्तमान आयु = x वर्ष है।
∴ 15 वर्ष बाद रवि की आयु = x + 15 वर्ष
अब, प्रश्नानुसार,
x + 15 = 4x
या 4x = x + 15
या 4x – x = 15
या 3x = 15
या x = = 5
अतः रवि की वर्तमान आयु = 5 वर्ष।
प्रश्न 13.
एक परिमेय संख्या को से गुणा कर जोड़ने पर – प्राप्त होता है। वह संख्या क्या है?
हल:
माना कि संख्या = x
अब, प्रश्नानुसार,
अत: अभीष्ट परिमेय संख्या = −12
प्रश्न 14.
लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है। उसके पास नगदी के रूप में ₹ 100, ₹ 50, ₹ 10 वाले नोट हैं। उनकी संख्या में क्रमशः 2 : 3 : 5 का अनुपात है और उनका कुल मूल्य ₹4,00,000 है। उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने नोट हैं ?
हल:
माना कि ₹ 100, ₹ 50 तथा ₹ 10 वाले नोटों की संख्या क्रमश: 2x, 3x व 5x है।
₹ 100 वाले नोटों से कुल नगदी = 2x × 100 = ₹ 200x
₹ 50 वाले नोटों से कुल नगदी = 3x × 50 = ₹ 150x
₹ 10 वाले नोटों से कुल नगदी = 5x × 10 = ₹ 50x
अब, प्रश्नानुसार,
कुलधन = 200x + 150x + 50x = ₹ 4,00,000
∴ 200x + 150x + 50x = 4,00,000
या 400x = 400000
या x =
या x = 1000
अतः ₹ 100 के नोटों की संख्या = 2 x 1000 = 2000
₹ 50 के नोटों की संख्या = 3 x 1000 = 3000
₹ 10 के नोटों की संख्या = 5 x 1000 = 5000
प्रश्न 15.
मेरे पास ₹ 300 मूल्य के ₹ 1,₹ 2 और ₹ 5 वाले सिक्के हैं। ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों की कुल संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने सिक्के हैं
हल:
माना कि ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या =x
₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3x
और ₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या = 160 – (x + 3x)
= 160 – 4x
अब, ₹ 5 वाले सिक्कों का मूल्य = 5 × x = ₹ 5x
₹ 2 वाले सिक्कों का मूल्य = 2 × 3x = ₹ 6x
₹ 1 वाले सिक्कों का मूल्य = 1 × (160 – 4x)
= ₹ (160 – 4x)
अब, प्रश्नानुसार
कुल धन = 5x + 6x + (160 – 4x) = ₹ 300
∴ 5x + 6x + 160 – 4x = 300
या 7x = 300 – 160 = 140
या x = = 20
∴ ₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 3 x 20 = 60
और ₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 160 – (20 + 60) = 80
प्रश्न 16.
एक निबन्ध प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को ₹ 100 और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को ₹ 25 पुरस्कार के रूप में दिए जाएँगे। यदि पुरस्कारों में बाँटी गई राशि ₹ 3,000 थी तो । कुल विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए जबकि कुल 63 प्रतिभागी थे।
हल:
माना कि विजेताओं की संख्या = x है।
∴ शेष प्रतिभागियों की संख्या = (63 – x)
विजेताओं की दी गई धनराशि = 100 x x = ₹ 100x
प्रतिभागियों को बाँटी गई धनराशि = ₹ (63 – x) x 25
∴ कुल बाँटी गई धनराशि = 100x + 25 (63 – x)
= ₹ 3,000
∴ 100x + 25 (63 –x) = 3,000
या 4x + (63 –x) = 120
या 3x + 63 = 120
या 3x = 120 – 63 = 57
या x = = 19
विजेताओं की संख्या = 19