Chapter 3 बहुपद Ex 3.5

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए-
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 2x² – 4x + 3 = 0
(iii) 2x² + x – 1 = 0
(iv) x² – 4x + 4 = 0
(v) 2x² + 5x + 5 = 0
(vi) 3x² – 2x + 

 = 0
हल:
(i) दिया हुआ समीकरण है-
2x² – 3x + 5 = 0
यहाँ पर a = 2, b = – 3 और c = 5 है।
∴ D = b² – 4ac = (-3)² – 4 × 2 × 5
D = 9- 40 = – 31 < 0
अतः समीकरण के वास्तविक मूल नहीं हैं। उत्तर

(ii) दिया हुआ समीकरण है-
2x² -4x + 3 = 0
यहाँ पर a = 2, b = – 4 और c = 3
∴ D = b² – 4ac = (-4)² – 4 × 2 × 3
D = 16 – 24 = -8 < 0
अतः समीकरण के वास्तविक मूल नहीं हैं। उत्तर

(iii) दिया हुआ समीकरण है-
2x² + x – 1 = 0
यहाँ पर a = 2, b = 1 और c = – 1
∴ D = b² – 4ac = (1)² – 4 × 2 × (- 1)
D = 1 + 8 = 9> 0
इसलिए दी गई द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल हैं। उत्तर

(iv) दिया हुआ समीकरण है-
x² – 4x + 4= 0
यहाँ पर a = 1, b = – 4 और c = 4
D = b² – 4ac = (-4)² – 4 × 1 × 4
= 16 – 16 = 0
अतः D = 0
अतः मूल वास्तविक एवं बराबर हैं। उत्तर

(v) दिया हुआ समीकरण है-
2x² + 5x + 5 = 0
यहाँ पर a = 2, b = 5 और c = 5
∴ D = b² – 4ac = (5)² – 4 × 2 × 5
D = 25 – 40 = – 15 < 0
अतः समीकरण के वास्तविक मूल नहीं हैं। उत्तर

(vi) दिया हुआ समीकरण है-
3x² – 2x +  = 0
यहाँ पर a = 3, b = – 2 और c = 
D = b² – 4ac = (-2)² – 4 × 3 × 3
D = 4 – 4 = 0
अतः समीकरण के मूल वास्तविक एवं समान हैं। उत्तर

प्रश्न 2.
निम्न द्विघात समीकरण में k का वह मान ज्ञात कीजिए कि उसके मूल वास्तविक तथा बराबर हों।
(i) kx(x – 2) + 6 = 0
(ii) x² – 2(k +1)x + k² = 0
(iii) 2x² + kx + 3 = 0
(iv) (k + 1)x² – 2(k – 1)x + 1 = 0
(v) k + 4) x²+ (k + 1)x + 1 = 0
(vi) kx² – 5x + k = 0
हल:
(i) दिया हुआ समीकरण है-
kx(x – 2) + 6 = 0
या kx² – 2kx + 6 = 0
यहाँ पर a = k, b = – 2k और c = 6 हैं।
∴ D = b² – 4ac = (- 2k)² – 4 × k × 6
D = 4k² – 24k
दिये हुए समीकरण के वास्तविक और समान मूल होंगे, यदि D = 0 हो।
अर्थात् 4k² – 24k = 0
⇒ 4k(k – 6) = 0
अर्थात् k = 0 या k = 6
अतः समीकरण के मूल बराबर होने के लिए k = 6 होना चाहिये क्योंकि k = 0 प्रतिबन्धित होता है। उत्तर

(ii) दिया हुआ समीकरण है-
x² – 2(k + 1)x + k² = 0
यहाँ परे a = 1, b = – 2(k + 1) और c = k²
∴ D = b² – 4ac = (- 2 (k + 1))² – 4 × 1 × k²
D = 4(k + 1)² – 4k²
= 4(k² + 2k + 1) – 4k²
= 4k² + 8k + 4 – 4k² = 8k+ 4
दिये हुए समीकरण के वास्तविक और समान मूल होंगे, यदि D = 0 हो।
अर्थात् 8k + 4 = 0 या 8k = – 4
या   उत्तर

(iii) दिया हुआ समीकरण है-
2x² + kx + 3 = 0
यहाँ पर a = 2, b = k और c = 3
∴ D = b² – 4ac = k² – 4 x 2 x 3
D = k² – 24
दिये हुए समीकरण के वास्तविक और समान मूल होंगे, यदि D = 0
या k² – 24 = 0
या 
अतः मूल बराबर होने के लिये k=   या k =   होना चाहिये।

(iv) दिया हुआ समीकरण है-
(k + 1)x² – 2(k – 1) + 1 = 0
यहाँ पर a = (k + 1), b = – 2(k – 1) और c = 1
∴ D = b² – 4ac
= (- 2k – 1))² – 4 × (k + 1) × 1
= 4(k – 1)² – 4(k + 1)
= 4 (k² – 2k + 1) – 4k – 4
= 4k² – 8k + 4 – 4k – 4
= 4k² – 12k
दिये हुए समीकरण के वास्तविक और समान मूल होंगे,
यदि D = 0 या 4k² – 12k = 0
4k(k – 3) = 0
अर्थात् k = 0 यी k = 3
अतः k = 0, 3
अतः समीकरण के मूल बराबर होने के लिए k = 3 होना चाहिये क्योंकि k = 0 प्रतिबन्धित होता है।

(v) दिया हुआ समीकरण है-
(k + 4)x² + (k + 1)x + 1 = 0
यहाँ पर a = k+ 4, b = k+ 1 और c = 1
∴ D = b² – 4ac = (k + 1)² – 4 x (k +4) × 1
D = k² + 2k + 1 – 4k – 16
D = k² – 2k – 15
दिये हुए समीकरण के वास्तविक और समान मूल होंगे यदि D = 0 हो।
अर्थात् k² – 2k – 15 = 0
⇒ k² – 5k + 3k – 15 = 0
⇒ k(k – 5) + 3(k – 5) = 0
⇒ (k – 5) (k + 3) = 0
अर्थात् k – 5 = 0 या k+ 3 = 0
अर्थात् k = 5 या k = – 3
अतः k = – 3, 5 उत्तर

(vi) दिया हुआ समीकरणं है-
kx² – 5x + k = 0
यहाँ पर a = k, b = – 5 और c = k
इसलिए D = b² – 4ac = (-5)² – 4 x k x k
D = 25 – 4k² दिये गये द्विघात समीकरण के वास्तविक और समान मूल होंगे यदि D = 0 हो
अर्थात् 25 – 4k² = 0 ⇒ 4k² = 25
⇒ 
अतः   उत्तर

प्रश्न 3.
k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल वास्तविक व भिन्न हों-
(i) kx² + 2x + 1 = 0
(ii) kx² + 6x + 1 = 0
(iii) x² – kx + 9 = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है-
kx² + 2x + 1 = 0
यहाँ पर a = k, b = 2 और c = 1
माना इस समीकरण का विविक्तकरे D है।
∴ D = b² – 4ac = (2)² – 4 × k × 1
D = 4 – 4k
∴ द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक व भिन्न हैं। इसके लिए D> 0 होना चाहिए।
अर्थात् 4 – 4k > 0
या 4 > 4k
या 4k < 4 या k < 1
अतः k का मान 1 से कम होगा। उत्तर

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है-
kx² + 6x + 1 = 0
यहाँ पर a =k, b = 6 और c = 1
माना इस समीकरण का विविक्तकर D है।
∴ D = b² – 4ac = (6)² – 4 × k × 1
D = 36 – 4k

∴ द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक व भिन्न हैं। इसके लिए D > 0 होना चाहिए।
अर्थात् 36 – 4k > 0
या 36 > 4k या 4k < 36
या k < 9
अतः k का मान 9 से कम होगा। उत्तर

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है-
x² +kx + 9 = 0
यहाँ पर a = 1, b = – k और c = 9
माना इस समीकरण का विविक्तकर D है।
∴ D = b² – 4ac = (-k)² – 4 × 1 × 9
D = k² – 36
∴ द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक व भिन्न हैं। इसके लिए D > 0 होना चाहिए।
अर्थात् K² – 36 > 0
अर्थात् (k – 6) (k + 6) > 0
स्थिति I: यदि k – 6 > 0, और k + 6 > 0
तब k > 6 …..(i)
और k > – 6 …..(ii)
स्थिति II: यदि k – 6 < 0 और k + 6 < 0
तब k < 6 …..(iii)
और k < – 6 ………..(iv)
स्थिति I तथा II से स्पष्ट है कि द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक व भिन्न होंगे यदि k<- 6 या k > 6
अतः k का मान 6 से बड़ा या – 6 से छोटा होगा। उत्तर

प्रश्न 4.
k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण’ x² + 5kr + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हों।
हल:
दिया गया द्विघात का समीकरण है-
x² + 5kx + 16 = 0
यहाँ पर a = 1, b = 5k और c = 16
विविक्तिकर D = b² – 4ac = (5k)² – 4 x 1 x 16
D = 25k² – 64
यदि मूल वास्तविक नहीं हैं इसके लिए D < 0 होना चाहिए अर्थात्
25k² – 64 < 0
⇒ (5k)² – (8)² < 0
(5k + 8) (5k – 8) < 0

प्रश्न 5.
यदि द्विघात समीकरण (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0 के मूल वास्तविक व बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि 2b = a + c
हल:
दिया गया द्विघात का समीकरण
(b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0
यहाँ पर A = b – c, B = c – a, C = a – b
मूल वास्तविक व बराबर हैं। अतः इसके लिए
B² – 4AC = 0
अर्थात् (c – a)² – 4 × (b – c) × (a – b) = 0
⇒ (c – a)² – 4(b – c) (a – b) = 0
⇒ c² – 2ac + a² – 4(ab – b² – ac + bc) = 0
⇒ c² – 2ac + a² – 4ab + 4b² + 4ac – 4bc = 0
⇒ c² + a² + 2ac + 4b² – 4ab – 4bc = 0
⇒ c² + a² + 2ac – 4b(a + c) + (2b)² = 0
⇒ (c + a)² – 2 × ( c + a) × 2b + (2b)² = 0
⇒ (c + a – 2b)² = 0
दोनों तरफ र्गमूल लेने पर
⇒ c + a – 2b = 0
2b = a + c इति सिद्धम्