Chapter 14 रचनाएँ Additional Questions

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 14 रचनाएँ Additional Questions

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
ΔABC के अन्तर्गत वृत्त का केन्द्र O है तथा भुजा AB, BC, CA क्रमशः वृत्त को बिन्दु P, Q, R पर स्पर्श करती है। यदि ∠POQ= 110°, ∠QOR = 120° है तो ∠CAB का मान है
(A) 50°
(B) 60°
(C) 55°
(D) 65°
उत्तर:
(A) 50°

प्रश्न 2.
वह वृत्त जो किसी त्रिभुज की सब भुजाओं को बिना बढ़ाये स्पर्श करे, कहलाता है
(A) वृत्त
(B) परिगत वृत्त
(C) अन्तर्वृत्त
(D) बहिःवृत्त
उत्तर:
(C) अन्तर्वृत्त

प्रश्न 3.
दिये गये चित्र में, OA और OB वृत्त की। त्रिज्याएँ हैं। इनके बीच का कोण 100° का है। यदि बाहरी बिन्दु P से PA और PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हों, तो ∠APB का मान है

(A) 80°
(B) 90°
(C) 100°
(D) 40°
उत्तर:
(A) 80°

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में AT और BT दो स्पर्श रेखाएँ हैं तथा वृत्त का केन्द्र O है। यदि ∠AOT = हो, तो ∠ATB का मान क्या होगा?

(A) 70°
(B) 35°
(C) 55°
(D) 125°
उत्तर:
(A) 70°

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में O वृत्त का केन्द्र है तथा AT’ व BT दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो T बिन्दु पर एक-दूसरे को CK 65° 0 काटती हैं। यदि ∠ACI = 65° हो, तो ∠ATB का मान होगा

(A) 25°
(B) 65
(C) 115°
(D) 50°
उत्तर:
(D) 50°

प्रश्न 6.
वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या हो सकती
(A) 2
(B) 3
(C) 0
(D) 4
उत्तर:
(A) 2

प्रश्न 7.
दिए गए चित्र में स्पर्श रेखाओं की संख्या है

(A) PQ
(B) ST
(C) PM
(D) KN
उत्तर:
(B) ST

प्रश्न 8.
दिए गए चित्र में स्पर्श रेखाओं की संख्या है

(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
उत्तर:
(D) 7

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
दो वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं। यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 5 सेमी. तथा 3 सेमी. हों, तो उनके केन्द्रों के बीच की दूरी लिखिये।
उत्तर:
5 + 3 = 8 सेमी.

प्रश्न 2.
दो वृत्त एक-दूसरे को अन्त:स्पर्श करते हैं, तो उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या लिखिये।
उत्तर:
एक।

प्रश्न 3.
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखा की लम्बाई 12 सेमी. है, यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी. है तो केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दूरी $\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{169}=13$ सेमी.

प्रश्न 4.
किसी वृत्त की जीवा AB द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 140° है तो A तथा B बिन्दुओं पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
स्पर्श रेखा के मध्य का कोण = 180° – 140° = 40°

प्रश्न 5.
वृत्त की छेदन रेखा PQ है। छेदन रेखा PQ के स्पर्श रेखा बनने का प्रतिबन्ध लिखिए।
उत्तर:
जब बिन्दु P व Q सम्पाती हों अर्थात् दोनों एक ही बिन्दु हों तो। छेदन रेखा PQ स्पर्श रेखा कहलाएगी।

प्रश्न 6.
वृत्त की स्पर्श रेखा व त्रिज्या में क्या सम्बन्ध होता है?
उत्तर:
वृत्त के स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या एवं स्पर्श रेखा एक-दूसरे पर लम्ब होती हैं।

प्रश्न 7.
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखा की लम्बाई 12 सेमी. है, यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी. तो केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
दुरी
$\begin{array}{l}{=\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}} \\ {=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}}\end{array}$
= 13 सेमि.

प्रश्न 8.
दिए गए चित्र में छेदन रेखा का नाम लिखिए।

उत्तर:
छेदन रेखा = SR

प्रश्न 9.
दिए गए चित्र में स्पर्श रेखाओं की संख्या लिखिए।

हल:
स्पर्श रेखाएँ-ED, DK, AB, BC, HG व HI हैं
अतः कुल संख्या = 6

प्रश्न 10.
3 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल:

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी त्रिभुज ABC के अन्तर्गत वृत्त की रचना कीजिए जबकि a = 5.8 सेमी., c = 5.0 सेमी. एवं ∠B = 55° हैं। ( रचना के बिन्दु नहीं लिखने हैं।)
हल:

प्रश्नानुसार AABC की रचना की।
∠B और C के समद्विभाजकं खींचे, जो O पर मिलते हैं।
O से भुजा BC पर लम्ब OP खींचा।
O को केन्द्र मानकर OPL त्रिज्या का वृत्त खींचा।

यह ΔABC का अभीष्ट अन्त:वृत्त

प्रश्न 2.
2.6 सेमी. त्रिज्या को एक वृत्त खींचिए। इस पर कोई बिन्दु P लेकर उस पर एक स्पर्श रेखा खींचिए।
हल:
रचना के चरण-

सबसे पहले परकार में 2.6 सेमी. त्रिज्या का चाप भरकर एक वृत्त बनाया।
वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु P लिया तथा उसे वृत्त के केन्द्र O से मिला दिया।
अब परकार की सहायता से P बिन्दु पर समकोण बनाया।
उसे बिन्दु P से मिला दिया।

Y इस प्रकार बिन्दु P पर XY स्पर्श रेखा प्राप्त कर ली।

प्रश्न 3.
AB = 5 सेमी. लम्बाई को एक रेखाखण्ड खींचिए। बिन्दु B को केन्द्र मानकर 2.2 सेमी, त्रिज्या का वृत्त बनाइए तथा इस वृत्त पर बिन्दु A से स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल:
रचना-

(i) एक रेखा AB = 5 सेमी. की खींची। बिन्दु B पर 2.2 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(ii) AB का मध्य बिन्दु O प्राप्त किया तथा O को केन्द्र मानकर (OA त्रिज्या का एक वृत्त खींचा। यह वृत्त पहले वाले वृत्त को P व Q बिन्दु पर। काटता है।P व Q को A से मिलाकर स्पर्श रेखा PA व AQ प्राप्त की।

प्रश्न 4.
8 सेमी. लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए। A को केन्द्र लेकर 4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त बनाइये तथा बिन्दु B से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्मों की रचना कीजिये एवं उनकी लम्बाइयाँ मापिये।
हल:
दिया है-
रेखाखण्ड AB = 8.0 सेमी., केन्द्र A से 4 सेमी. क्रिज्या का एक वृत्त खींचा गया है।
रचना-

रेखाखण्ड AB = 8. सेमी. खींचा।
केन्द्र A से 4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
अब हम रेखाखण्ड AB को परकार की सहायता से समद्विभाजित करते हैं। इस तरह से हमें AB का मध्य बिन्दु M प्राप्त होता है।
केन्द्र M लेकर AIB व्यास का एक वृत्त खींचा जो A केन्द्र वाले वृत्त को T₁ व T₂ स्थान पर काटता है।
रेखाखण्ड T₁B व T₂B खींचे अतः T₁B व T₂B केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं और इन्हें नापने पर T₁B = T₂B = 6.9 सेमी. प्राप्त होती है।

प्रश्न 5.
5 सेमी. व्यास के एक वृत्त की रचना कीजिए तथा इसकी परिधि पर स्थित बिन्दु P से केन्द्र का प्रयोग किए बिना वृत्त की स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल:
रचना के चरण-
यहाँ व्यास = 5 सेमी., त्रिज्या = 5/2 = 2.5 सेमी.

2.5 सेमी. की त्रिज्या लेकर एक वृत्त की रचना की।
वृत्त पर कोई P बिन्दु लिया।
P से वृत्त की कोई जीवा PB . खींची। PB के एकान्तर खण्ड पर कोई बिन्दु C X लिया।
CP और CB को मिलाया।
जीवा PB पर ∠BPY = ∠PCB इस प्रकार बनाया कि चाप PB वाला वृत्तखण्ड इसका एकान्तर वृत्तखण्ड हो।
PY को दूसरी ओर X तक बढ़ाया। XY वृत्त की स्पर्श रेखा होगी।

प्रश्न 6.
एक रेखाखण्ड ML = 9.7 सेमी. खींचिए तथा इस पर एक ऐसा बिन्दु N ज्ञात कीजिए कि $\mathbf{M N}=\frac{4}{5} \mathbf{M L}$
हल:
रचना के पद-

रेखाखण्ड ML = 9.7 सेमी. खींचिए।
एक न्यून कोण LMX की रचना कीजिए।
एक सुविधाजनक त्रिज्या लेकर MX पर 5 चाप A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ इस प्रकार के लेते हैं कि MA₁ = A₁A₂ = …….. = A₁A₂
A₅L को मिलाएं।
बिन्दु A₄ पर है A₄N || A₅L बनाइए (इसके लिए ∠MA₄N = ∠MA₅L की रचना कीजिए)
fara N रेखाखण्ड ML पर इस प्रकार का प्राप्त होता है

$\mathrm{MN}=\frac{4}{5} \mathrm{ML}$

प्रश्न 7.
एक 4 सेमी. त्रिज्या का वृत्त खींचिए। उस पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि वे परस्पर 70° का कोण बनाती हों। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:
रचना के चरण-

O को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या का वृत्त खींचा OA एक त्रिज्या खींची। OA से 180 – 70 = 110° का कोण बनाते हुए दूसरी त्रिज्या OB खींची अर्थात् ∠AOB = 110° का होना चाहिए। अब A वे B पर स्पर्श रेखाएँ खींचीं जो कि परस्पर एक दूसरे को 70° कोण पर काटेंगी।

प्रश्न 8.
एक 4 सेमी. त्रिज्या के वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्श रेखाओं PA तथा PB की रचना कीजिए। जहाँ PA तथा PB के मध्य कोण 65° है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
चूँकि ∠APB = 65° दिया हुआ
∠A=∠B = 90°
अतः चतुर्भुज AOBP का चौथा कोण
∠AOB = 360 – (65° + 90 + 90)
= 360 – 245° = 115°
अर्थात् जीवा OA व OB के मध्य
∠AOB = 115°
रचना-

4 सेमी. त्रिज्या का वृत्त बनाया एवं त्रिज्याएँ OA व OB के मध्य 115° का कोण बनाया।
OA व OB के A व B पर लम्ब क्रमशः AP व BP खींचे जो एकदूसरे को P पर मिलते हैं।

∠APB को मापने पर ∠APB = 65° प्राप्त होता है। इस प्रकार अभीष्ट स्पर्श रेखाओं की रचना होती है।

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ 4 सेमी. और 3 सेमी. हैं तथा दोनों के केन्द्रों की मध्य दूरी 6.5 सेमी. है की रचना कर उन पर एक उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल:

C₁C₂ = 6.5 सेमी. की रेखा खींचकर C₁ व C₂ पर क्रमशः 4 सेमी. एवं 3 सेमी. त्रिज्या के दो वृत्त बनाएं।
r₁ – r₂ = 4 – 3 = 1 सेमी. की त्रिज्या का C₁ को केन्द्र मानकर बड़े वृत्त के अन्दर एक वृत्त और बनाया।
r₁ – r₂ त्रिज्या वाले वृत्त पर बिन्दु P का उपयोग कर PC₁ एक स्पर्श रेखा खींची।
C₁ को P से मिलाते हुए C₁Q रेखा खींची जो r₁ त्रिज्या वाले वृत्त को Q पर काटती है।
PC₂ के बराबर चाप खोलकर बिन्दु Q से r₂ त्रिज्या वाले वृत्त पर चाप व वृत्त का प्रतिच्छेदी बिन्दु R प्राप्त किया।
QR को मिलाएं। यही अभीष्ट उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 2.
दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 2.5 सेमी. एवं 1.5 सेमी. हैं, जिनके केन्द्र 8 सेमी. दूरी पर स्थित हैं, पर एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल:
रचना-

C₁C₂ = 8 सेमी. की रेखा खींचकर उसके दोनों सिरों पर क्रमशः 2.5 सेमी. एवं 1.5 सेमी. की त्रिज्याएँ लेकर वृत्त खींचे।
r₁ + r₂ = 2.5 + 1.5 = 4 सेमी. त्रिज्या का छोटे वृत्त r₂ = 1.5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र C₂ से एक और वृत्त बनाया।
निर्मय का उपयोग करते हुए r₁ + r₂= 4 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त पर C₁ से स्पर्श रेखा C₁R की रचना की एवं R को C₂ से मिलाया तो इस प्रकार रेखा RC₂ r₂ = 1.5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त को प्रतिच्छेद करती हुई निकलती है। इस प्रतिच्छेद बिन्दु को Q नाम दिया।
RC₁ के बराबर लम्बाई लेकर Q से r₁ = 2.5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त ‘पर प्रतिच्छेदी बिन्दु P प्राप्त किया। P व Q को मिलाया। इस प्रकार PQ ही अभीष्ट उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 3.
2.5 सेमी. का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 6.5 सेमी. की दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना द्वारा ज्ञात कीजिए।
हल:
रचना-

(i) 2.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींच कर इसके केन्द्र Q से 6.5 सेमी. की दूरी पर एक बिन्दु P लिया PQ को मिलाया।
(ii) PQ रेखा को समद्विभाजित कर L बिन्दु प्राप्त किया। L को केन्द्र मानकर PQ पर एक वृत्त की रचना की A व B बिन्दु पर दोनों वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं। P को A से व B से मिलाकर दो स्पर्श रेखाएँ PB व PA प्राप्त की।
नापने से PB = PA = 6.0 सेमी.
गणना द्वारा जाँचसमकोण त्रिभुज PBQ में
कर्ण² = (आधार)²+ (लम्ब)²
(PQ)² = (PB)² + (BQ)²
यहाँ PQ= 6.5 सेमी., QB = 2.5 सेमी. और PB का मान ज्ञात करना है।

अतः नापने और गणना द्वारा स्पर्श रेखाओं की लम्बाई 6 सेमी. प्राप्त हुई।

प्रश्न 4.
PQ रेखा 6 सेमी. की खींचिए।Q बिन्दु से 3.5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। बिन्दु P से इस वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापकर तथा गणना करके ज्ञात कीजिए।
हल:
रचना के चरण-

एक रेखा PQ = 6 सेमी. की खींची।।
Q बिन्दु पर 3.5 सेमी.। त्रिज्या का एक वृत्त बनाया।
PQ का लम्बे समद्विभाजक PK सेमी करके PQ का मध्य बिन्दु O प्राप्त किया।
O को केन्द्र एवं OP को त्रिज्या मानकर एक दूसरा वृत्त बनाया।
जहाँ दोनों वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं वहाँ बिन्दु L और M अंकित किये।
इन्हें क्रमशःP से मिलाकर PL तथा PM स्पर्श रेखाएँ प्राप्त कीं। नापने पर PL = PM= 4.87 सेमी.

गणना द्वारा जाँच-
ΔPQL में ∠PLQ= 90° (अर्द्धवृत्त में होने के कारण)
अतः. PQ² = PL²+ LQ²
PL² = PQ² – LQ² = (6)² – (3.5)² = 36 – 12.25
PL² = 23.75
$\Rightarrow \quad \cdot P L=\sqrt{23.75}=4.87$ सेमी. (लगभग)
अतः गणना व नापने पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4.75 सेमी. प्राप्त हुई।

प्रश्न 5.
3.5 सेमी. तथा 2.5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्तों के केन्द्रों के मध्य की दूरी C₁C₂ = 5.5 सेमी. है। वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए।
हल:
रचना के पद-

C₁C₂ = 5.5 सेमी. का एक रेखाखण्ड खींचकर C₁ व C₂ पर क्रमशः r₁ = 3.5 सेमी. और r₂ = 2.5 सेमी. त्रिज्या के दो वृत्तों की रचना की।
दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं के अन्तर r₁ – r₂ = 3.5 – 2.5 = 1 सेमी. की त्रिज्या का एक वृत्त बड़े वृत्त के केन्द्र C₁ पर बनाया और C₁C₂ का समद्विभाजन बिन्दु O प्राप्त कर O से OC₁ = OC₂ की त्रिज्या लेकर डोटेड वृत्त बनाया जो r₁ – r₂ त्रिज्या वाले वृत्त को P पर काटता है।
PC₂ को मिलाकर r₁ – r₂ त्रिज्या वाले वृत्त C₂ से PC₂ स्पर्श रेखा खींची। C₁P को मिलाते हुए C₁Q रेखा खींची जो r₁ त्रिज्या वाले वृत्त को Q पर काटती है। PC₂ के समान चाप लेकर Q. को केन्द्र मानकर r₂ त्रिज्या वाले वृत्त का प्रतिच्छेदी बिन्दु R प्राप्त किया।
QR को मिलाया। QR ही अभीष्ट उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा है।

प्रश्न 6.
दो वृत्त 2.5 सेमी. एवं 1 सेमी. त्रिज्याओं के केन्द्र परस्पर 7 सेमी. दूरी पर हैं। एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल:
रचना के पद-

C₁C₂ = 7 सेमी. का एक रेखाखण्ड खींचकर C₁ व C₂ पर क्रम श: 2.5 सेमी. एवं + सेमी. त्रिज्या के दो वृत्तों की रचना की।
दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं का योग r₁ + r₂ = 2.5 + 1.00 = 3.5 सेमी. त्रिज्या का डोटेड वृत्त केन्द्र C₂ पर (छोटे वृत्त के केन्द्र पुर) खींचा। C₁C₂ का समद्विभाजक बिन्दु O प्राप्त कर एक वृत्त OC₁ = OC₂ त्रिज्या लेकर एक और डोटेड वृत्त खींचा जो r₁ + r₂ त्रिज्या वाले वृत्त को R पर काटता है। C₁R को मिलाकर r₁ + r₂ त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखा खींची।
RC₂ को मिलाया जो r₂ त्रिज्या वाले छोटे वृत्त को Q पर काटता है। RC त्रिज्या लेकर Q को केन्द्र मानकर r₁ त्रिज्या वाले वृत्त पर चाप काटा जो P पर प्रतिच्छेद करता है।

PQ को मिलाया। यही r₁ व r₂ त्रिज्या वाले वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 7.
AABC की रचना कीजिए जिसकी भुजा BC = 4 सेमी., ∠B = 40° एवं ∠A = 90° हो। इस त्रिभुज के परिगत वृत्त की रचना कीजिए और परिकेन्द्र की स्थिति की जाँचें कीजिए।
हल:
रचना के चरण-

चूँकि त्रिभुज में ∠A+ ∠B + ∠C = 180° (भुजा BC के C पर स्थित कोण ज्ञात करने के लिए)
अतः ∠C = 180 – (∠A+∠B) या ∠C = 180 – (9) + 40) = 50°
ΔABC की BC = 4 सेमी., ∠B = 40° व ∠C = 50” का, उपयोग कर रचना की। इस रचना से ∠A = 90° स्वतः प्राप्त होगा।
AB एवं AC के लम्ब समद्विभाज खींचकर परिकेन्द्र O प्राप्त किया।
परिकेन्द्र से एक शीर्ष A तक त्रिज्या लेकर एक वृत्त की रचना की जो ΔABC के सभी शीर्षों से गुजरता है।
यही AABC का अभीष्ट परिवृत्त (परिगत) वृत्त है ΔABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका परिकेन्द्र त्रिभुज के कर्ण BC पर स्थित है।

प्रश्न 8.
4 cm. त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm. त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल:
रचना के चरण-

सर्वप्रथम O बिन्दु से 4 cm. और 6 cm. त्रिज्या के दो संकेन्द्रीय वृत्त खींचिए।
बड़े वृत्त की परिधि पर बिन्दु P अंकित कीजिए।
अब OP को जोड़कर इसे समद्विभाजित कीजिए। M को इसका मध्य बिन्दु मान लीजिए।
M केन्द्र से MP त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जो वृत्त को Q और R पर . प्रतिच्छेदित करें।
PQ और PR को मिलाइए। तब PQ और PR वांछित स्पर्श रेखाएँ हैं। | मापने पर PQ = PR = 4.5 cm. (लगभग)

स्पष्टीकरण-
OQ को मिलाने पर, ∠PQ0 = 90° क्योंकि ∠PQ0 अर्द्धवृत्त में बना। कोण है।
∴ PQ ⊥ OQ
चूँकि OQ दिए हुए वृत्त की त्रिज्या है, अतः PO वृत्ते की स्पर्श रेखा होगी। इसी प्रकार, PR भी वृत्त की स्पर्श रेखा होगी। स्पर्श रेखा की लम्बाई मापने पर।
PQ = PR = 4.5 cm,

प्रश्न 9.
8 cm. लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 cm. त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm. त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल:
रचना के चरण-

सर्वप्रथम रेखाखण्ड AB = 8 cm. खींचिए
अब A को केन्द्र लेकर 4 cm. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए और B को केन्द्र मानकर 3 cm, त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। AB को समद्विभाजित करके मध्य बिन्दु O ज्ञात किया।
स्पष्ट है कि O, AB का मध्य-बिन्दु है O केन्द्र से OA या OB त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जो B केन्द्र वाले वृत्त को T₁ और T₂ पर और A केन्द्र वाले वृत्त को T₃ और T₄ पर प्रतिच्छेदित करे।
AT₁, AT₂, BT₃ BT₄ को मिलाइए। तब ये वांछित स्पर्श रेखाएँ होंगी।

स्पष्टीकरण-
BT₁ को मिलाने पर ∠BT₁A = 90°, क्योंकि, ∠BT₁A अर्द्धवृत्त में स्थित कोण है।
∴ AT₁ ⊥ BT₁
चूँकि BT₁ दिए गए वृत्त की त्रिज्या है, अतः AT₁ वृत्त की स्पर्श रेखा होगी। इसी प्रकार, AT₂, BT₃ और BT₄ भी स्पर्श रेखाएँ होंगी।

Chapter 14 रचनाएँ Additional Questions

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