Chapter 14 रचनाएँ Ex 14.1

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 14 रचनाएँ Ex 14.1

प्रश्न 1.
6.7 सेमी. लम्बाई के एक रेखाखण्ड को 2 : 3 में विभाजित कीजिए।
हल:
रचना के चरण-

सर्वप्रथम रेखाखण्ड AB = 6.7 सेमी. खींचा।
अब किरण AC खींची जो AB के साथ कोई भी न्यूनकोण बनाए।
किरण AC पर, A से प्रारम्भ कर 2 + 3 = 5 बराबर त्रिज्या के चाप अंकित किए -AA₁, A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄ और A₄A₅
अब A₅B को मिलाया।
A₂ से A₂P || A₅B खींचा जो AB को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करता है।
इस प्रकार P, AB को 2: 3 के अनुपात में बाँटता है। दोनों भागों को मापने पर AP = 2.6 सेमी. और PB = 4.1 सेमी.

स्पष्टीकरण-
ΔABA₅ में, PA₂ || BA₅
∴ ΔAPA₂ ∼ ΔABA₅

$\Rightarrow \quad \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{AA}_{2}}{\mathrm{A}_{2} \mathrm{A}_{5}}=\frac{2}{3}$
= AP: PB = 2 : 3

प्रश्न 2.
एक रेखाखण्ड AB = 8.3 सेमी. लम्बाई का बनाइए। रेखाखण्ड AB पर एक बिन्दु C ऐसा ज्ञात कीजिए कि $\mathbf{A C}=\frac{1}{3} \mathbf{A B}$ इसे सत्यापित भी कीजिए।
हल:

रचना के चरण-

सर्वप्रथम रेखाखण्ड AB = 8.3 सेमी. खींचा।
अब किरण AC खींची जो AB के साथ कोई भी न्यूनकोण बनाए।
किरण AC पर, A से प्रारम्भ कर 1 + 2 = 3 बराबर त्रिज्या के चाप अंकित किए। AA₁, A₁A₂, A₂A₃.
अब A₃B को मिलाया।
A से A₁C || A₃B खींचा जो AB को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करता है।
इस प्रकार C, AB को 1 : 2 के अनुपात में बाँटता है।

प्रश्न 3.
एक 2.8 सेमी. के वृत्त की रचना कर उस पर स्थित बिन्दु P पर एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल:
रचना के चरण

कोई बिन्दु O लेकर उस पर 2.8 सेमी. त्रिज्या का वृत्त खींचा।
वृत्त पर कोई बिन्दु P लिया
OP पर लम्बवत् रेखा XY खींची।

XY वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखा होगी।

प्रश्न 4.
एक 3 सेमी. त्रिज्या के व्यास के दोनों सिरों पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। क्या वह परस्पर प्रतिच्छेद करेगी? कारण सहित उत्तर लिखिए।
हल:
रचना के चरण

कोई बिन्दु O को केन्द्र लेकर त्रिज्या 3.0 का वृत्त खींचा।
PQ वृत्त का व्यास खींचा जो 0 से गुजरता है।
OP व OQ पर लम्ब खींचा जो [3 सेमी, क्रमशः AP व QX है।
AP को B तक तथा QX को Y A तक बढ़ाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

दोनों स्पर्श रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद नहीं करेंगी क्योंकि दोनों स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 5.
एक 3.1 सेमी. त्रिज्या के वृत्त में एक 2.3 सेमी. की जीवा काटिए और उसके दोनों सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल:
रचना के चरण-

सर्वप्रथम O को केन्द्र मानकर 3.1 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
वृत्त की परिधि के किसी बिन्दु P को केन्द्र मानकर 2.3 सेमी. त्रिज्या का एक चाप परिधि पर काटा तथा जीवा PQ प्राप्त की।
OP व OQ पर लम्ब खींचा जो क्रमशः AP व QX है।।
AP को B तक तथा QX को Y तक बढ़ाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
एक 2.7 सेमी. त्रिज्या लेकर वृत्त की रचना कीजिए। उस वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींचिए।
हल:
रचना के चरण

सर्वप्रथम O को केन्द्र मानकर 2.7 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
वृत्त पर कोई विन्दु P लिया।
OP पर लम्बवत् रेखा XY खींची। XY वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखा होगी।

प्रश्न 7.
किसी बिन्दु O पर 2.4 सेमी. त्रिज्या लेकर वृत्त बनाइए। इसमें 60° का कोण बनाती हुई दो त्रिज्याएँ OA और OB की रचना करके A व B पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए जो परस्पर T बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ATP को मापिए।
हल:
रचना के चरण-

2.4 सेमी. की त्रिज्या का वृत्त खींचकर इसके केन्द्र पर 60° का कोण बनाते हुए दो त्रिज्याएँ OA तथा OB खींचीं। बिन्दु A व B पर समकोण की रचना करने पर हमें स्पर्श रेखाएँ AT व BT प्राप्त होंगी। कोण ATP को मापने पर ∠ATP = 120° प्राप्त हुआ।

प्रश्न 8.
एक 3.2 सेमी. त्रिज्या का वृत्त खींचिए। उस पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि वो परस्पर 70° का कोण बनाती हों।
हल:
दिया है-
∠ATB = 70°
∠A=∠B = 90°
अतः चतुर्भुज AOBT का चौथा कोण ।
∠AOB = 360° – (70° + 90° + 90°)
= 110°
रचना के चरण-

O को केन्द्र मानकर 3.2 सेमी. त्रिज्या का वृत्त खींचा तथा त्रिज्याओं OA तथा OB के बीच 110° का कोण बनाया। OA तथा OB के A तथा B पर लम्ब क्रमशः AT तथा BT खींचे जो बिन्दु T पर मिलते हैं।
इस प्रकार AT तथा BT दो अभीष्ट स्पर्श रेखायें हैं।

प्रश्न 9.
एक वृत्त 3 सेमी. त्रिज्या का खींचिए जिसके केन्द्र O से 5 सेमी. दूर स्थित P से दो स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल:
रचना के चरण

3 सेमी. त्रिज्या का वृत्त बनाया जिसका केन्द्र O है।
O से 5 सेमी. दूर P लेकर OP को मिलाया।
OP का लम्ब समद्विभाजक खींचकर OP का मध्य बिन्दु C प्राप्त क्रिया।
C को केन्द्र मानकर OC = CP त्रिज्या लेकर एक वृत्त की रचना की जो दिए गए वृत्त को A व B पर काटता है।
A व B को क्रमशः P से मिलाया PA व PB की वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु से खींची गई अभीष्ट स्पर्श – रेखाएँ हैं।

प्रश्न 10.
दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ 3 सेमी. एवं 4 सेमी. हैं। जिनके केन्द्रों के मध्य की दूरी 8 सेमी. है। दोनों वृत्तों पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ कितनी खींची जा सकती हैं ? तथा दो उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल:
दिया है-
r₁ = 4 सेमी.,
r₂ = 3 सेमी.
C₁C₂ = 8 सेमी.
∴ C₁C₂ > r₁ + r₂
i.e., 8 > 3 + 4
अतः चार उभयनिष्ठ स्पर्श रेखायें खींची जा सकती है।
रचना के चरण-

सर्वप्रथम दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ 3 सेमी. तथा 4 सेमी. हैं, के वृत्त बनाएँ जिनके केन्द्रों C₁ व C₂ के मध्य की दूरी 8 सेमी. है।
दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं के अन्तर r₁– r₂ = 4 – 3 = 1 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त बड़े वृत्त के अन्दर केन्द्र C₁ पर बनाया और C₁C₂ को समद्विभाजन बिन्दु O प्राप्त कर O से OC₁ = OC₂ की त्रिज्या लेकर डोटेड वृत्त बनाया जो r₁ – r₂ = 1 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त को P तथा P‘पर काटता है।
PC₁ को मिलाकर r₁ – r₂ = 1 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त C₂ से PC₂ स्पर्श रेखा खींची। C₁P को मिलाते हुए C₁Q रेखा खींची जो r₁ = 4 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त को Q पर काटती है। PC₂ के समान चाप लेकर Q को केन्द्र मानकर = 3 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त का प्रतिच्छेद बिन्दु R प्राप्त किया।
QR को मिलाया। QR ही अभीष्ट उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा है।
उपरोक्त प्रक्रिया के अनुसार दूसरी उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा ST प्राप्त की।

प्रश्न 11.
दो वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 1.7 सेमी. और 2.8 सेमी. की हैं, की एक उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए जबकि दोनों के केन्द्र एक दूसरे से 6 सेमी. दूरी पर हैं।
हल:
दिया है
r₁ = 1.7 सेमी.,
r₂ = 2.8 सेमी.
तथा उनके केन्द्रों के बीच दूरी C₁C₂ = 6 सेमी.
रचना के पद

C₁C₂ = 6 सेमी. की रेखा खींचकर उसके दोनों सिरों पर क्रमशः 1.7 सेमी, और 2.8 सेमी. की त्रिज्याएँ लेकर वृत्त खींचे।
r₁ + r₂ = 1.7 सेमी. + 2.8 सेमी. = 4.5 सेमी. त्रिज्या का छोटे वृत्त r₁ = 1.7 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र C₂ से एक और वृत्त बनाया।
r₁ +r₂ = 4.5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त पर C₂ से स्पर्श रेखा C₂R की रचना की एवं R को C₁ से मिलाया तो इस प्रकार रेखा RC₁, r₁ = 1.7 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त को प्रतिच्छेद करती हुई निकलती है। इस प्रतिच्छेद बिन्दु को Q नाम दिया।
RC₂ के बराबर लम्बाई लेकर Q से r₂ = 2.8 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त पर प्रतिच्छेद बिन्दु P प्राप्त किया।P व Q को मिलाया। इस प्रकार PQ ही अभीष्ट उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा है।

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