Chapter 6 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 6.2
निम्नलिखित असमिकाओं को आलेखन विधि से द्विविमीय तल में निरूपित कीजिए। (प्रश्न 1 से 10 तक)
प्रश्न 1.
x + y < 5.
हल:
समीकरण x + y = 5 को लीजिए। यह एक सरल रेखा है जो बिन्दु (5, 0), (0, 5) से होकर गुजरती है।
x = 0, y = 0 असमिका x + y < 5 में रखने पर,
अर्थात 0 + 0 < 5 या 0 < 5
⇒ मूल बिन्दु x + y < 5 के क्षेत्र में है।
छायाकिंत क्षेत्र x + y < 5 को निरूपित करता है जो इसका हल है।
प्रश्न 2.
2x +y ≥ 6.
हल:
2x + y ≥ 6
समीकरण 2x + y = 6 को लीजिए, यह रेखा (3, 0) और (0, 6) से गुजरती है।
x = 0, y = 0 को 2x + y ≥ 6 में रखें तो 0 ≥ 6, जो सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु 2x + 2 6 के क्षेत्र में नहीं हैं।
2x + y ≥ 6 का क्षेत्र छायांकित किया गया है।
प्रश्न 3.
3x + 4y ≤ 12.
हल:
दी गई असमिका 3x + 4y ≤ 12 सरल रेखा 3x + 4y = 12 बिन्दु (4, 0), (0, 3) से होकर जाती है।
असमिका 3x + 4y ≤ 12 में (0, 0) रखने पर,
0 + 0 ≤ 12 अर्थात 0 ≤ 12 जो सत्य है
∴ मूल बिन्दु 3x + 4y ≤ 12 के क्षेत्र में आता है।
इसका आलेख साथ वाली आकृति में दिखा गया है।
प्रश्न 4.
y+8 ≥ 2x.
हल:
दी हुई रैखिक असमिका y + 8 ≥ 2x सरल रेखा 2x – y = 8 बिन्दु (4,0). और (0, – 8) से होकर जाती है।
असमिका
y + 8 ≥ 2x,
x = 0, y = 0 रखने पर
0 + 8 ≥ 0 अर्थात 8 ≥ 0 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु y + 8 ≥ 2x के क्षेत्र में आता है। इसका आलेख साथ दी हुई आकृति में बनाया गया है।
प्रश्न 5.
x – y ≤ 2.
हल:
दी हुई असमिका x – y ≤ 2
सरल रेखा x – y = 2 बिन्दु (2, 0), (0, – 2) से होकर जाती है।
x = 0, y = 0 असमिका x – y ≤ 2 में रखने पर 0 ≤ 2 जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु x – y ≤ 2 के क्षेत्र में है।
असमिका x – y ≤ 2 का आलेख साथ वाली आकृति में बनाया गया है।
प्रश्न 6.
2x – 3y > 6.
हल:
दी हुई रैखिक असमिका 2x – 3y > 6
सरल रेखा 2x – 3y = 6, (3, 0) और (0, – 2) से होकर जाती है।
असमिका 2x – 3y > 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 > 6 जो सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0) दी हुई असमिका में नहीं आता है।
∴ इसका आलेख दी हुई आकृति में दर्शाया गया है।
प्रश्न 7.
– 3x + 2y ≥ – 6.
हल:
दी हुई रैखिक असमिका – 3x + 2y ≥ – 6 या 3x – 2y ≤ 6
सरल रेखा – 3x + 2y = – 6 बिन्दु (2, 0) और (0, – 3) से होकर जाती है।
– 3x + 2y ≥ – 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ – 6, जो सत्य है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0), 3x + 2y ≥ – 6 असमिका के क्षेत्र में है।
∴ इसका आलेख दी हुई आकृति में दर्शाया गया है।
प्रश्न 8.
3y – 5x < 30.
हल:
दी हुई असमिका 3y – 5x < 30
सरल रेखा 3y – 5x = 30, बिन्दु (-6, 0) और (0, 10) से होकर जाती है।
असमिका 3y – 5x < 30 में x = 0, y = 0 रखने पर
∴ 0 < 30 सत्य है।
मूल बिन्दु (0, 0), 3y – 5x < 30 के क्षेत्र में है। इसका आलेख दी गई आकृति में दर्शाया गया है।
प्रश्न 9.
y < – 2
हल:
दी हुई रैखिक असमिका y < – 2 सरल रेखा y = – 2 बिन्दु (2, – 2) और (- 2, – 2) से होकर जाती है।
y <- 2 में y = 0 रखने पर 0 < – 2, यह सत्य नहीं है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0), y < – 2 में नहीं।
दी हुई आकृति में छायांकित क्षेत्र से दर्शाया गया है।
प्रश्न 10.
x > – 3
हल:
दी हुई रैखिक असमिका x > – 3
सरल रेखा x = – 3 बिन्दु (- 3, 2), (- 3, – 2) से होकर जाती है।
x > – 3 में x = 0 रखने पर,
0 > – 3, यह सत्य है।
∴ मूल बिन्दु (0, 0), x > – 3 में है। दी हुई आकृति में x > – 3 छायांकित क्षेत्र से दर्शाया गया है।
