Chapter 13 सीमा और अवकलज विविध प्रश्नावली

Chapter 13 सीमा और अवकलज विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए :
(i) – x.
हल:

(ii) (- x)^{– 1}.
हल:
मान लीजिए

(iii) sin (x + 1).
हल:
मान f(x) = sin (x + 1)
∴ f(x + h) = sin (x + h + 1)
या f(x + h) – f(x) = sin (x + h +1) – sin (x + 1)

हल:

निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, p, 4, r और s निश्चित शून्येत्तर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।)
प्रश्न 2.
(x + a).
हल:

प्रश्न 4.
(ax + b) (cx + d)².
हल:
माना, f(x) = (ax + b)(cx + d)²

= a. (cx + a)² + (ax + b). 2c (cx + d)
= 2c(ax + b) (cx + d) + a(cx + d)².

प्रश्न 5.

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.
4√x – 2.
हल:

प्रश्न 12.
(ax + b)ⁿ.
हल:
माना f(x) = (ax + b)ⁿ
x के आपेक्ष अवकलन करने पर
f'(x) = n(ax + b)^{n – 1} d/dx(ax + b)
= n(ax + b)^{n – 1} . a
= na(ax + b)^{n – 1}.

प्रश्न 13.
(ax + b)ⁿ (cx + d)^m .
हल:
माना, fx= (ax + b)ⁿ (cx + d)^m

प्रश्न 14.
sin (x + a).
हल:
माना f(x) = sin (x + a)
x + a को u रखने पर
f(x) = sin u
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 15.
cosec x cot x.
हल:

हल:
माना


हल:

प्रश्न 18.

हल:
माना

प्रश्न 19.
sinⁿx
हल:

प्रश्न 20.

हल:

प्रश्न 21.

हल:

प्रश्न 22.
x⁴(5 sin x – 3cos x)
हल:

प्रश्न 23.
(x² + 1)cosx.
हल:

प्रश्न 24.
(ax² + sinx)(p + q cosx).
हल:

प्रश्न 25.
(x + cos x)(x – tan x).
हल:

= (1 – sin x)(x – tan x) + (x + cos x)(1 – sec² x)
= (1 – sin x)(x – tan x) – (x + cos x) tan²x.

प्रश्न 26.

हल:

प्रश्न 27.
हल:

प्रश्न 28.

हल:

प्रश्न 29.
(x + sec x) (x – tan x).
हल:

प्रश्न 30.

हल:
माना