Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।

प्रश्न 1.
निम्न त्रिज्या वाले गोलों का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(i) 10.5 cm
(ii) 5.6 cm
(iii) 14 cm
हल:

प्रश्न 2.
निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(i) 14 cm
(ii) 21 cm
(iii) 3.5 m
हल:

प्रश्न 3.
10 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्ध गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल:
माना कि अर्द्ध गोले की त्रिज्या r cm है।
तथा यह r = 10 cm है।

अर्द्ध गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल
= 2πr² + πr² = 3πr²
= 3 × 3.14 × (10)² cm²
= 3 × 314/100 × 100 cm²
= 3 × 314 cm²
= 942 cm² 

प्रश्न 4.
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। हल:
प्रथम स्थिति में जबकि गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r = 7 cm हो।
गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4π × 7 × 7 cm²
द्वितीय स्थिति में जबकि गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 14 cm हो।
∴ गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4 × 22/7 × 14 × 14
= 4π × 14 × 14 …..(ii)
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात


∴ वांछित अनुपात = 1 : 4 

प्रश्न 5.
पीतल से बने एक अर्द्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास 10.5 cm है। 16 रुपये प्रति 100 cm की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
कटोरे का आन्तरिक व्यास
(2r) = 10.5 cm
∴ कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या


अत: कटोरे का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 6.
उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm है।
हल:

प्रश्न 7.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:


अतः चन्द्रमा और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 16 

प्रश्न 8.
एक अर्द्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या
(r) = 5 cm
स्टील की मोटाई (t) = 0.25 cm
अतः कटोरे की बाह्य त्रिज्या (R) = r + t
= 5 + 0.25 = 5.25 cm
अतः कटोरे का बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR²
= 2 × 22/7 × 5.25 × 5.25 cm²

प्रश्न 9.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है ( देखिये आकृति)। ज्ञात कीजिए
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) ऊपर
(i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात।
​​​​​​​
हल:
(i) गोले की त्रिज्या = r
∴ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
(ii). चूँकि गोला बेलन के अन्तर्गत है, अतः बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास तथा बेलन की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के समान होगी।
∴ बेलन की त्रिज्या = r
तथा बेलन की ऊँचाई (h) = 2r
∴ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × π × r × 2r  [∵ h = 2r]
= 4πr² .
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (aबेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

अतः अनुपात = 1 : 1