Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 10 बिन्दु पथ Ex 10.2

प्रश्न 1.
त्रिभुज के तीनों शीर्षों एवं तीनों भुजाओं से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिये।
हल:
(i) दिया हुआ है–
ABC एक त्रिभुज है जिसमें D और E, AB और AC के मध्य बिन्दु हैं। ज्ञात करना है-ऐसे बिन्दु का बिन्दुपथ जो ΔABC के शीर्षों से समदूरस्थ रहकर गमन करे।

हम जानते हैं कि AB भुजा का मध्य बिन्दु D त्रिभुज ABC के शीर्ष A व B से समान दूरी पर है। इसलिये D उसे बिन्दु के बिन्दुपथ पर होगा जो A और B से
समान दूरी पर रहकर गमन करता है और भुजा AC का मध्य बिन्दु E उस बिन्दु के बिन्दुपथ पर होगा जो A और C से समान दूरी पर रहकर गमन करता है। हम यह भी जानते हैं कि AB और AC के लम्ब अर्धकों पर सभी बिन्दु A व B और C व D से समान दूरी पर होंगे इसलिये AB और AC भुजाओं के लम्ब अर्थकों के कटान बिन्दु O, त्रिभुज ABC के तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होगा।

चूँकि किसी त्रिभुज की दो भुजा के लम्बे अर्धक का कटान बिन्दु परिवृत्त का केन्द्र होता है, इसलिये अभीष्ट बिन्दुपथ ΔABC के परिवृत्त का केन्द्र O होगा। अतः त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ बिन्दु का बिन्दुपथ परिकेन्द्र होगा। उत्तर


(ii) दिया हुआ है-

ABC एक त्रिभुज है।
ज्ञात करना है-उस बिन्दु का बिन्दुपथ जो ΔABC की भुजाओं से समदूरस्थ रहकर गमन करे।

ΔABC का शीर्ष A और B, AB व AC और BA व BC पर स्थित होने के कारण AB व AC और BA व BC से समान दूरी पर स्थित हैं इसलिये A और B उन बिन्दुओं के बिन्दुपथों पर होंगे जो AB व AC और BA व BC से समान दूरी पर रहकर गमन करते हैं। हम यह भी जानते हैं कि ∠BAC और ∠ABC के कोण अर्थकों के सभी बिन्दु क्रमशः AB व AC और BA व BC से समान दूरी पर होंगे, इसलिये ∠BAC और ∠ABC के कोण अर्धकों का कटान बिन्दु O ΔABC की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर होगा।

चूँकि किसी भी त्रिभुज के किन्हीं दो कोणों के अर्थकों का कटान बिन्दु उस त्रिभुज के अन्तःवृत्त का केन्द्र होता है इसलिये अभीष्ट बिन्दुपथ ΔABC का अन्त∴वृत्त का केन्द्र O होगा।

प्रश्न 2.
एक ΔABC में, माध्यिकाएँ AD, BE और CF बिन्दू O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि AG = 6 सेमी., BE = 9 सेमी. और GF = 4.5 सेमी. हों, तो GD, BG और CF ज्ञात कीजिये।
हुल:
ΔABC में AD, BC की माध्यिका है और माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु G है।
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प्रश्न 3.
एक AABC में, माध्यिकाएँ AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिये कि AD+ BE >  \frac{3}{2}  AB
[संकेत AG + BG > AB]
हल:
दिया है-
AD, BE और CE, ΔABC की तीन माध्यिकाएँ हैं जो बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिये कि त्रिभुज की दो माध्यिकाओं का योग तीसरी माध्यिका से अधिक होता है।
हल:
दिया है-
AD, BE और CE, AABC की तीन माध्यिकायें हैं जिनका प्रतिच्छेद बिन्दु G है। अतः G केन्द्रक होगा।
सिद्ध करना है- दो माध्यिकाओं का योग > तीसरी माध्यिकता से

अर्थात्
AD + BE > CF
BE + CF > AD
AD + CF > BE
रचना-AD को H तक बढ़ाया
जब AG = GH
HB और HC को मिलाया।
उपपत्ति-
ΔABH में E, AB का मध्य बिन्दु है। (दिया है) G, AH का मध्य बिन्दु है। (रचना से)
∴ FG || BH
[∵ त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समान्तर होती है।]
GC || BH
E, AC का मध्य बिन्दु है। (दिया है)
G, AH कां मध्य बिन्दु हैं। (रचना से)
∴ GE || HC
⇒ BG || HC ………………………………..(2)
इस प्रकार चतुर्भुज BHCG से
GC || BH (समीकरण 1 से)
और BG|| HC (समीकरण 2 से)
अब चतुर्भुज BHCG एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ BH = CG
चूँकि, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
अब ΔBHG में BG + GH > BH
⇒ BG + AG > CG
∵ AG = GH (रचना से)
BH= CG (समीकरण 3 से)

इसी प्रकार BE + CF> AD
और AD + CF > BE इतिसिद्धम्।

प्रश्न 5.
एक ΔABC में माध्यिकाएँ AD, BE और CF बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिये कि–
4(AD + BE + CF) > 3(AB + BC + CA)
हल:
दिया है-
ΔABC की माध्यिकाएँ AD, BE और CF का प्रतिच्छेद बिन्दु G है।
सिद्ध करना है- 4 (AD + BE + CF) > 3 (AB + BC + CA)
उपपत्ति-
∴ माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु G है।

समीकरण (ii) व समीकरण (iii) को जोड़ने पर।
…………………(v)
समीकरण (iii) व समीकरण (i) को जोड़ने पर
CF + AD =  \frac{3}{2}  (GC + AG)
∴ CF + AD >  \frac{3}{2}  CA (∴ GC + AG > GA)
∴ 2(CF + AD) > 3CA. ………………………………(vi)
समीकरण (iv), (v) व (vi) को जोड़ने पर
2(AD+ BE) + 2(BE + CF) + 2(CF + AD) > 3AB + 3BC + 3CA 44(AD + BE + CF) > 3(AB + BC + CA) (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 6.
ΔABC का लम्ब केन्द्र P है। सिद्ध कीजिए कि ΔPBC को लम्ब केन्द्र बिन्दु A है।
हल:
दिया है-
P लम्ब केन्द्र है ΔABC का।।
उपपत्ति- माना कि AP BP CP को बढ़ाने पर बिन्दु D, E F पर क्रमशः भुजा BC, AC एवं AB पर काटते हैं।
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अतः बिन्दु A, ΔPBC का लम्ब केन्द्र है। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 7.
AABC में माध्यिकाएँ AD, BE और CF बिन्दु G से गुजरती
(a) यदि GF = 4 सेमी. हो तो GC का मान ज्ञात कीजिए।
(b) यदि AD = 7.5 सेमी. हो तो GD का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) ∆ABC में CE, भुजा AB की माध्यिका है।

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प्रश्न 8.
∆ABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, BC को मध्य बिन्दु D है। सिद्ध कीजिए कि परिकेन्द्र, अंतःकेन्द्र, लम्ब केन्द्र तथा केन्द्रक सभी AD रेखा पर स्थित हैं।
हल:
दिया है–
∆ABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, D, BC का मध्य बिन्दु है।।
सिद्ध करना है-परिके न्द्र, अंत∴केन्द्र, लम्बकेन्द्र तथा केन्द्रक सभी AD रेखा पर स्थित हैं।
उपपत्ति-परिकेन्द्र-किसी त्रिभुज का परिकेन्द्र इसकी भुजा के लम्ब समद्विभाजक पर होता है।

∆ABD = ∆ACD
(भुजा-भुजा-भुजा नियम)
⇒ ∠ADB = ∠ADG = 90°
(∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°)
AD ⊥ BC
अब AD ⊥ BC तथा BD = DC.
AD, भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है। अतः परिकेन्द्र AD पर स्थित है। अंतकेन्द्र-त्रिभुज के अंतकेन्द्र, कोणों के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
∆ABD = ∆ACD (भुजा-भुजा-भुजा नियम)
⇒ ∠BAD = ∠CAD (CPCT से)
∴ AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
अतः त्रिभुज का अंत∴केन्द्र, AD पर स्थित है। लम्ब केन्द्र-त्रिभुज का लम्ब केन्द्र, लम्ब पर स्थित होता है।
ΔABD = ΔACD (भुजा-भुजा-भुजा नियम से) ।
∠ADB = ∠ADC = 90°
अतः त्रिभुज का लम्ब केन्द्र AD पर स्थित है। केन्द्रक-त्रिभुज का केन्द्रक, माध्यिकाओं पर स्थित होता है।
∴ D, भुजा BC का मध्य बिन्दु है।
⇒ AD, ΔABC की माध्यिका है।
अतः केन्द्रक AD पर स्थित है। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 9.
ΔABC का लम्ब केन्द्र H है। AH, BH और CH में मध्य बिन्दु क्रमशः X, Y और Z हैं। सिद्ध कीजिए कि ΔXYZ का लम्ब केन्द्र भी H है।
हल:
दिया है-
ΔABC का लम्ब H है। AH, BH और CH में मध्य बिन्दु क्रमशः X, Y और Z हैं।
सिद्ध करना है-
ΔXYZ का लम्ब केन्द्र भी H है।
उपपत्ति-
ΔABC का लम्ब केन्द्र H है। (दिया है)

ΔABH में X, AH का मध्य बिन्दु है तथा Y, BH का मध्य बिन्दु है।
∴ XY || AB होगी। (मध्य बिन्दु प्रमेय से)
इसी प्रकार, YZ || BC एवं
ZX || AC होंगी।
अब संगत कोण बराबर होने से
∠1 = ∠2 = 23 (प्रत्येक 90°)
अतः ΔXYZ को लम्ब केन्द्र भी H है। (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 10.
ΔABC की भुजा BC में वह बिन्दु किस प्रकार ज्ञात करेंगे जो भुजाओं AB और AC से समदूरस्थ हों।
हल:
ΔABC में,
∠A का समद्विभाजक AX खींचा जो BC को D पर काटता है। AX पर कोई बिन्दु P लेते हैं, बिन्दु P से भुजा AB पर PN तथा AC पर PM लम्ब डाला।
PN ⊥ AB तथा PM ⊥ AC
ΔAPN वे ΔAPM से

∠PNA = ∠PMA = 90° (रचना से).
AP = AP (उभयनिष्ठ है)
∠PAN = ∠PAM
∠A का समद्विभाजक AX है।
ASA से,
ΔΡΝΑ ≅ ΔΑΡΜ
⇒ PN = PN (CPCT से)
अतः बिन्दु P से AB व AC समान दूरी पर है।
∴ AX रेखा पर स्थित कोई भी बिन्दु AB व AC से समान दूरी पर होगी।
अतः BC रेखा पर स्थित बिन्दु D, AB व AC से समान दूरी पर होगा।