Chapter 10 क्षेत्रमिति Ex 10.1
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 229-231
प्रश्न 1.
दी हुई आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए :
हल :
(a) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 5 सेमी + 4 सेमी + 2 सेमी + 1 सेमी
= 12 सेमी
(b) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 40 सेमी + 35 सेमी + 23 सेमी + 35 सेमी
= 133 सेमी
(c) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 15 सेमी + 15 सेमी + 15 सेमी + 15 सेमी
= 60 सेमी
(d) परिमाप = भुजा की लम्बाइयों का योग
= 4 सेमी + 4 सेमी + 4 सेमी + 4 सेमी + 4 सेमी
= 20 सेमी
(e) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 4 सेमी + 1 + सेमी + 4 सेमी + 0.5 सेमी + 2.5 सेमी + 2.5 सेमी + 0.5 सेमी
= 15 सेमी
(f) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 4 सेमी + 3 सेमी + 2 सेमी + 3 सेमी + 1 सेमी + 4 सेमी + 3 सेमी + 2 सेमी + 3 सेमी + 1 सेमी + 4 सेमी + 3 सेमी + 2 सेमी + 3 सेमी + 1 सेमी + 4 सेमी + 3 सेमी + 2 सेमी + 3 सेमी + 1 सेमी
= 52 सेमी
प्रश्न 2.
40 सेमी लम्बाई और 10 सेमी चौड़ाई वाले एक आयताकार बॉक्स के ढक्कन को चारों ओर से पूरी तरह एक टेप द्वारा बन्द कर दिया जाता है। आवश्यक टेप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
टेप की अभीष्ट लम्बाई
= आयताकार बॉक्स के ढक्कन का परिमाप
= 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (40 सेमी + 10 सेमी)
= 2 x 50 सेमी
= 100 सेमी
= 1 मी
प्रश्न 3.
एक मेज की ऊपरी सतह की दिशाएँ 2 मी 25 सेमी और 1 मी 50 सेमी हैं। मेज की ऊपरी सतह का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
मेज की ऊपरी सतह की लम्बाई
= 2 मी 25 सेमी
= 2.25 मी
मेज की ऊपरी सतह की चौड़ाई = 1 मी 50 सेमी
= 1.50 मी
∴मेज की ऊपरी सतह का परिमाप
= 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (2.25 मी + 1.50 मी)
= 2 x 3.75 मी
= 7.5 मी
प्रश्न 4.
32 सेमी लम्बाई और 21 सेमी चौड़ाई वाले एक फोटो को लकड़ी की पट्टी से फ्रेम करना है। आवश्यक लकड़ी की पट्टी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
फ्रेम की लम्बाई = 32 सेमी, चौड़ाई = 21 सेमी
∴फ्रेम का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2x (32 सेमी + 21 सेमी)
= 2 x 53 सेमी
= 106 सेमी
अतः लकड़ी की पट्टी की अभीष्ट लम्बाई = 106 सेमी
प्रश्न 5.
एक आयताकार भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 0.7 किमी और 0.5 किमी है। इसके चारों ओर एक तार से 4 पंक्तियों में बाड़ लगाई जाती है। आवश्यक तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
लम्बाई = 0.7 किमी, चौड़ाई = 0.5 किमी
∴भूखण्ड का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (0.7 किमी + 0.5 किमी)
= 2 x (1.2 किमी)
= 2.4 किमी
∵1 पंक्ति की बाड़ के लिए तार की लम्बाई = 2.4 किमी
∴4 पंक्ति की बाड़ के लिए तार की लम्बाई
= 4 x 2.4 किमी
= 9.6 किमी
प्रश्न 6.
निम्न आकृतियों में प्रत्येक की परिमाप ज्ञात कीजिए
(a) एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी तथा 5 सेमी हैं।
(b) एक समबाहु त्रिभुज जिसकी एक भुजा की लम्बाई 9 सेमी है।
(c) एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी प्रत्येक समान भुजा 8 सेमी की हो तथा तीसरी भुजा 6 सेमी हो।
हल :
(a) परिमाप = भुजा की लम्बाइयों का योग
= 3 सेमी + 4 सेमी + 5 सेमी
= 12 सेमी
(b) परिमाप = भुजा की लम्बाइयों का योग
= 3 x भुजा की लम्बाई
= 3 x 9 सेमी
= 27 सेमी
(c) परिमाप = भुजा की लम्बाइयों का योग
= 8 सेमी + 8 सेमी + 6 सेमी
= 22 सेमी
प्रश्न 7.
एक त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 10 सेमी, 14 सेमी तथा 15 सेमी हैं।
हल :
त्रिभुज की भुजाएँ = 10 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी
∴त्रिभुज का परिमाप = त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 10 सेमी + 14 सेमी + 15 सेमी
= 39 सेमी
प्रश्न 8.
एक समषभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजा की माप 8 मी है।
हल :
∵समषट्भुज का परिमाप = 6 x समषट्भुज की एक भुजा
∴दिए हुए समषट्भुज का परिमाप = 6 x 8 मीटर
= 48 मी.
प्रश्न 9.
एक वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाप 20 मी है।
हल :
∵वर्ग की भुजा
प्रश्न 10.
एक समपंचभुज का परिमाप 100 सेमी है। प्रत्येक भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
समपंचभुज का परिमाप = 100 सेमी
∵समपंचभुज का परिमाप = 5 x एक भुजा की लम्बाई
∴एक भुजा की लम्बाई
= 20 सेमी
प्रश्न 11.
एक धागे का टुकड़ा 30 सेमी लम्बाई का है। प्रत्येक भुजा की लम्बाई क्या होगी, यदि धागे से बनाया जाता है
(a) एक वर्ग ?
(b) एक समबाहु त्रिभुज ?
(c) एक समषट्भुज ?
हल :
(a) ∵ धागा वर्ग के रूप में है और वर्ग का
परिमाप = 4 x भुजा
= 7.5 सेमी
∴प्रत्येक भुजा की लम्बाई = 7.5 सेमी
(b) ∵धागा एक समबाहु त्रिभुज के रूप में है।
∴परिमाप = 3 x एक भुजा की लम्बाई
या एक भुजा की लम्बाई
= 10 सेमी
(c)∵ धागा एक समषट्भुज के रूप में है और समषट्भुज का परिमाप = 6 x भुजा की लम्बाई
∴6 x भुजा की लम्बाई = 30 सेमी
या भुजा की लम्बाई
= 5 सेमी
प्रश्न 12.
एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 सेमी तथा 14 सेमी हैं। इस त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है। इसकी तीसरी भुजा की लम्बाई क्या होगी?
हल :
त्रिभुज का परिमाप
= त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 12 सेमी + 14 सेमी + तीसरी भुजा
= 26 सेमी + तीसरी भुजा
लेकिन परिमाप = 36 सेमी
∴26 सेमी + तीसरी भुजा = 36 सेमी
या तीसरी भुजा की लम्बाई = 36 सेमी – 26 सेमी
= 10 सेमी
अतः त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई = 10 सेमी
प्रश्न 13.
250 मीटर भुजा वाले वर्गाकार बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने का व्यय Rs 20 प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
हल :
बगीचे की भुजा की लम्बाई = 250 मी
∵बगीचा वर्गाकार है
∴परिमाप = 4 x एक पुजा की लम्बाई
= 4 x 250 मी
= 1000 मी
∵ बाड़ लगाने की दर = Rs 20 प्रति मीटर
∴ बाड़ लगाने का व्यय = Rs 20 x Rs 1,000
= Rs 20,000
प्रश्न 14.
एक आयताकार बगीचा जिसकी लम्बाई 175 मीटर तथा चौड़ाई 125 मीटर है, के चारों ओर Rs 12 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
बगीचे की लम्बाई = 175 मी बगीचे की चौड़ाई
= 125 मी
∵ बगीचा आयताकार है।
∴ बगीये का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (175 मी + 125 मी)
= 2 x 300 मी
= 600 मी
∵ बाड़ लगाने की दर = Rs 12 प्रति मीटर
∴ बाड़ लगाने का व्यय = Rs 12 x 600
= Rs 7,200
प्रश्न 15.
स्वीटी 75 मी भुजा वाले वर्ग के चारों ओर दौड़ती है और बुलबुल 60 मी लम्बाई और 45 मी चौड़ाई वाले आयत के चारों ओर दौड़ती है। कौन कम दूरी तय करती है ?
हल :
वर्ग की भुजा = 75 मी
∴वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 75 मी
= 300 मी
∴स्वीटी द्वारा तय की गई दूरी = 300 मीटर
आयत की लम्बाई = 60 मी, चौड़ाई = 45 मी
आयत का परिमाप – 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (60 मी + 45 मी)
= 2 x 105 मी
= 210 मी
∴बुलबुल द्वारा तय की गई दूरी = 210 मीटर
चूँकि 210 मी < 300 मी
अत: बुलबुल कम दूरी तय करती है।
प्रश्न 16.
निम्न प्रत्येक आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए। आप उत्तर से क्या निष्कर्ष निकालते हैं ?
हल :
(a) वर्ग की भुजा की लम्बाई = 25 सेमी
∴परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 25 सेमी
= 100 सेमी
(b) आयत की लम्बाई = 40 सेमी, चौड़ाई = 10 सेमी
∴आयत का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (40 सेमी + 10 सेमी)
= 2 x 50 सेमी
= 100 सेमी
(c) आयत की लम्बाई = 30 सेमी, चौड़ाई
= 20 सेमी
∴आयत का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (30 सेमी + 20 सेमी)
= 2 x 50 सेमी
= 100 सेमी
(d) त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ – 30 सेमी, 40 सेमी और 30 सेमी ।
∴त्रिभुज का परिमाप = त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयों का योग = 30 सेमी + 40 सेमी + 30 सेमी
= 100 सेमी
उत्तर
यहाँ दी हुई.सभी आकृतियों का परिमाप समान है।
प्रश्न 17.
अवनीत 9 वर्गाकार टाइल खरीदता है, जिसकी प्रत्येक भुजा मी है और वह इन टाइलों को एक वर्ग के रूप में रखता है।
(a) नए वर्ग का परिमाप क्या है [आकृति (a)]?
(b) शैरी को उसके द्वारा टाइलों को रखने की व्यवस्था पसंद नहीं आती है। वह इन टाइलों को एक क्रॉस के रूप में रखवाती है। इस व्यवस्था का परिमाप कितना होगा? [आकृति (b)]?
(c) किसका परिमाप अधिक है?
(d) अवनीत सोचता है, क्या कोई ऐसा भी तरीका है जिससे इनसे भी बड़ा परिमाप प्राप्त किया जा सकता हो? क्या आप ऐसा करने का सुझाव दे सकते हैं ? (टाइलें किनारों से आपस में मिली हुई हों और वे टूटी न हों।)
हल :
(a) अवनीत की व्यवस्था में वर्ग की भुजा की लम्बाई
वर्ग व्यवस्था का परिमाप = 4 x भुजा
= 6 मी
(b) क्रॉस व्यवस्था के रूप में परिमाप
= 10 मी
(c) ∵ 10 मी > 6 मी
∴ क्रॉस व्यवस्था का परिमाप अधिक है।
(d)∵टाइलों की कुल संख्या = 9
हाँ, बड़ा परिमाप ज्ञात करने के लिए निम्न व्यवस्था की जा सकती है
∴परिमाप = 2×(92+12) मी
= 2 x 5
= 10 मी
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 234
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
ग्राफ पेपर पर एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त में उपस्थित वर्गों की संख्या को गिनकर वृत्ताकार क्षेत्र का अनुमानित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त के अन्दर पूरे घिरे हुए वर्ग = 1
वृत्त के अन्दर आधे से अधिक घिरे हुए वर्ग = 4
वृत्त के अन्दर आधे से कम घिरे हुए वर्ग = 4
∵1 वर्ग का क्षेत्रफल = 1 x 1
∴ वृत्ताकार क्षेत्र का अनुमानित क्षेत्रफल
= 1 x 1 +4 x 1+ 4 x 0
= 1 + 4
= 5 वर्ग इकाई
प्रश्न 2.
ग्राफ पेपर पर पत्तियों, फूल की पंखुड़ियों तथा ऐसी ही अन्य वस्तुओं को छायांकित कीजिए और उनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) पत्ती के अन्दर पूरे घिरे हुए वर्ग = 1
पत्ती के अन्दर आधे से अधिक घिरे हुए वर्ग = 6
पत्ती के अन्दर आधे से कम घिरे हुए वर्ग = 5
∴पत्ती का क्षेत्रफल = 1 x 1 + 6 x 1 + 5 x 0
= 1 + 6 + 0
= 7 वर्ग इकाई
(ii) पंखुड़ी के अन्दर पूरे घिरे हुए वर्ग = 0.
पंखुड़ी के अन्दर आधे से अधिक घिरे हुए वर्ग = 4
पंखुड़ी के अन्दर आधे से कम घिरे वर्ग = 2
∴पंखुड़ी का क्षेत्रफल = 0 x 1 + 4 x 1 + 2 x 0
= 0 + 4 + 0
= 4 वर्ग इकाई
(iii) फूल के अन्दर पूरे घिरे हुए वर्ग = 1
फूल के अन्दर आधे से अधिक घिरे हुए वर्ग = 4
फूल के अन्दर आधे से कम घिरे हुए वर्ग = 2
∴फूल का क्षेत्रफल = 1 x 1 + 4 x 1 x 2 x 0
= 1 + 4 + 0
= 5 वर्ग इकाई