Chapter 11 क्षेत्रमिति Ex 11.4

Chapter 11 क्षेत्रमिति Ex 11.4

प्रश्न 1.
आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है। निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयत –

(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।
(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।
(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

उत्तर:

(a) आयतन
(b) पृष्ठीय क्षेत्रफल
(c) आयतन।

प्रश्न 2.
बेलन A का व्यास 7 cm और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm और ऊँचाई 7 cm है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है? दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

हल:

प्रश्न 3.
एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 cm² और जिसका आयतन 900 cm³ है।
हल:
यहाँ, घनाभ का आयतन = 900 सेमी³ तथा आधार का क्षेत्रफल = 180 सेमी²
माना कि घनाभ की ऊँचाई = h सेमी है।
घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
900 सेमी² = 180 सेमी² x h
h = = 5 सेमी
अतः घनाभ की ऊँचाई = 5 सेमी

प्रश्न 4.
एक घनाभ की विमाएँ 60 cm x 54 cm x 30 cm हैं। इस घनाभ के अन्दर 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घर रखे जा सकते हैं?
हल:
यहाँ, l = 60 सेमी
b = 54 सेमी तथा
h = 30 सेमी
घनाभ का आयतन = l x b x h
= 60 x 54 x 30 सेमी³
घन की भुजा = 6 सेमी
घन का आयतन = (भुजा)³ = (6)³ सेमी³
= 6 x 6 x 6 सेमी³
= 216 सेमी³

अतः घनाभ में 450 घन रखे जा सकते हैं।

प्रश्न 5.
एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m³ और जिसके आधार का व्यास 140 cm है।
हल:

प्रश्न 6.
एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 m है और लम्बाई 7 m है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

हल:
टैंक की त्रिज्या = 1.5 m, टैंक की लम्बाई = 7 m
टैंक की धारिता = πr²h
= 227 x 1.5 x 1.5 x 7 मीटर³
= 49.5 मी³
= 49.5 x 1000 लीटर
(∵ 1 मी³ = 1000 लीटर)
= 49500 लीटर
अत: टैंक में भरे जाने वाली दूध की मात्रा = 49500 लीटर

प्रश्न 7.
किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए तो –

1. इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी?
2. इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?

हल:
माना कि घन की भुजा = x इकाई है, तब
इसका आयतन = x³ तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6x²
अब, जबकि घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तब

1. इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(2x)² = 6 x 4x²
= 24x² = 4 x 6x²
अतः नये घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल में चार गुना वृद्धि होगी।

2. नये घन का आयतन = (2x)²
= 8x² = 8 × x³
अतः इसके आयतन में आठ गुना वृद्धि होगी।

प्रश्न 8.
एक कुंड के अन्दर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 m’ है, _ तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?

हल:
यहाँ, कुंड का आयतन
= 108 m³
= 108 x 1000 लीटर
= 108000 लीटर
कुंड में पानी गिरने की दर = 60 लीटर प्रति मिनट
= 60 x 60 लीटर प्रति घण्टा

= 30 घण्टे
अतः कुंड को भरने में 30 घण्टे लगेंगे।