Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.4

Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.4

प्रश्न 1 से 6 तक प्रत्येक में, अतिपरवलयों के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.

अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
a² = 16, b² = 9
∴ c² = a² + b² = 16 + 9 = 25
∴ a = 4, b = 3, c = 5
शीर्षों के निर्देशांक (± a, 0) या (± 4,0).
नाभियों के निर्देशांक (± c, 0) या (± 5, 0)

प्रश्न 2.

प्रश्न 3.
9y² – 4x² = 36
हल:
अतिपरवलय का समीकरण 9y² – 4x² = 36

⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
∴ a² = 4, b² = 9
c² = a² + b² = 4 + 9 = 13
∴ a= 2, b = 3, c = √13
शीर्षों के निर्देशांक (0, ± a) या (0, ± 2)

प्रश्न 4.
16x² – 9y² = 576.
हल:
अतिपरवलय का समीकरण : 16x² – 9y² = 576
576 से भाग देने पर,

प्रश्न 5.
5y² – 9x² = 36.
हल:
अतिपरवलय का समीकरण : 5y² – 9x² = 36

प्रश्न 6.
49y² – 16x² = 784.
हल:
अतिपरवलय का समीकरण : 49y² – 16x² = 784

अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
a² = 16, b² = 49
∴ c² = a² + b² = 16 + 49 = 65
∴ a = 4, b = 7, c = √65
शीर्षों के निर्देशांक (0, ± a) या (0, ± 4).
नाभियों के निर्देशांक (0, ± c) या (0, ± √65).

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 15 तक प्रत्येक में, दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7.
शीर्ष (± 2, 0), नाभियाँ (± 3, 0).
हल:
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
a = 2, c = 3, c² = a² + b²
या 9 = 4 + b²
∴ b² = 5

प्रश्न 8.
शीर्ष (0, ± 5), नाभियाँ (0, ± 8).
हल:
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
a = 5, c = 8, c² = a² + b²
या 64 = 25 + b²
∴ b² = 64 – 25 = 39, a² = 25

प्रश्न 9.
शीर्ष (0, ± 3), नाभियाँ (0, ± 5).
हल:

प्रश्न 10.
नाभियाँ (± 5, 0), अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 8.
हल:
अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a = 8
⇒ a = 4
∴ a² = 16
नाभियाँ (± 5, 0)
⇒ c = 5, c² = a² + b²
या 25 = 16 + b²
∴ b² = 9

प्रश्न 11.
नाभियाँ (0, ± 13), संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 24.
हल:
नाभियाँ (0, ± 13)
⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
और C = 13, c² = 169
संयुग्मी अक्ष की लम्बाई, 2b = 24
∴ b = 12, b² = 144
c² = a² + b²
या 169 = a² + 144
∴ a² = 169 – 144 = 25

प्रश्न 12.
नाभियाँ (± 3√5, 0), नाभिलंब जीवा की लम्बाई = 8.
हल:

प्रश्न 13.
नाभियाँ (± 4,0), नाभिलंब जीवा की लम्बाई 12 है।
हल:
नाभियाँ (± 4,0)
⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
और c = 4 या c² = 16
या c² = a² + b², ∴ a² + b² = 16 …(1)

∴ b² = 6a …(2)
समी (1) और (2) से,
a² + 6a – 16 = 0
या (a + 8)(a – 2) = 0 .
a = – 8 या a = 2
परन्तु a ≠ – 8, ∴ a = 2, a² = 4
b² = 6a = 6 × 2 = 12

प्रश्न 14.
शीर्ष (± 7, 0), e = 4/3.
हल:
शीर्ष (± 7, 0)
⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।

प्रश्न 15.