Chapter 11 समरूपता Additional Questions

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Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions

विविध प्रश्नमाला 11

प्रश्न 1.
आकृति में DE || BC हो, AD = 4 सेमी., DB = 6 सेमी. एवं AE = 5 सेमी. हो, तो EC का मान होगा

(क) 6.5 सेमी.
(ख) 7.0 सेमी.
(ग) 7.5 सेमी.
(घ) 8.0 सेमी.
उत्तर:
(ग) 7.5 सेमी.

प्रश्न 2.
आकृति में AD, कोण A का समद्विभाजक, AB = 6 सेमी., BD = 8 सेमी., DC = 6 सेमी. हो, तो AC का मान होगा

(क) 4.0 सेमी.
(ख) 4.5 सेमी.
(ग) 5 सेमी.
(घ) 5.5 सेमी.
उत्तर:
(ख) 4.5 सेमी.

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि DE || BC हो, तो x को मान होगा

(क) $\sqrt{5}$
(ख) $\sqrt{6}$
(ग) $\sqrt{3}$
(घ) $\sqrt{7}$
उत्तर:
(घ) $\sqrt{7}$

प्रश्न 4.
आकृति में, यदि AB = 3.4 सेमी., BD = 4 सेमी., BC = 10 सेमी. हो, तो AC का मान होगा

(क) 5.1 सेमी.
(ग) 6 सेमी.
(ख) 3.4 सेमी.
(घ) 5.3 सेमी.
उत्तर:
(क) 5.1 सेमी.

प्रश्न 5.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 25 सेमी. एवं 36 सेमी. हैं, यदि छोटे त्रिभुज की माध्यिका 10 सेमी. हो तो बड़े त्रिभुज की संगत माध्यिका होगी
(क) 12 सेमी.
(ख) 15 सेमी.
(ग) 10 सेमी.
(घ) 18 सेमी.
उत्तर:
(क) 12 सेमी.

प्रश्न 6.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || CD है एवं इसके विकर्ण O बिन्दु पर मिलते हैं। यदि AB = 6 सेमी. एवं DC = 3 सेमी. हो, तो ΔAOB के क्षेत्रफल एवं ACOD के क्षेत्रफल का अनुपाते होगा
(क) 4:1
(ख) 1: 2
(ग) 2 : 1
(घ) 1 : 4
उत्तर:
(क) 4:1

प्रश्न 7.
यदि ∆ABC एवं ∆DEF में ∠A = 50°, ∠B = 70°, ∠C = 60°, ∠D = 60°, ∠E = 70° एवं ∠F = 50° हो तो निम्नलिखित में सही है
(क) ∆ABC ~ ∆DEF
(ख) ∆ABC ~ ∆EDF
(ग) ∆ABC ~ ∆DFE.
(घ) ∆ABC ~ ∆FED
उत्तर:
(घ) AABC ~ AFED

प्रश्न 8.
यदि ΔABC ~ ΔDEF हो एवं AB = 10 सेमी., DE = 8 सेमी. हो, तो ΔABC का क्षेत्रफल ΔDEF का क्षेत्रफल होगा
(क) 25 : 16
(ख) 16 : 25
(ग) 4 : 5
(घ) 5 : 4
उत्तर:
(क) 25 : 16

प्रश्न 9.
∆ABC की भुजाओं AB एवं AC पर बिन्दु D और E इस प्रकार हैं कि DE || BC है एवं AD = 8 सेमी., AB = 12 सेमी. तथा AE = 12 सेमी. हो, तो CE का माप होगा
(क) 6 सेमी.
(ख) 18 सेमी.
(ग) 9 सेमी.
(घ) 15 सेमी.
उत्तर:
(क) 6 सेमी.

प्रश्न 10.
एक 12 सेमी. लम्बी ऊर्ध्वाधर छड़ की जमीन पर छाया की लम्बाई 8 सेमी. लम्बी है। यदि इसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 40 मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई होगी
(क) 60 मीटर
(ख) 60 सेमी.
(ग) 40 सेमी.
(घ) 80 सेमी.
उत्तर:
(क) 60 मीटर

प्रश्न 11.
ΔABC में यदि D, BC पर कोई बिन्दु इस प्रकार है कि $\frac{\mathbf{A} \mathbf{B}}{\mathbf{A} \mathbf{C}}=\frac{\mathbf{B} \mathbf{D}}{\mathbf{D} \mathbf{C}}$ हो, एवं ∠B = 70°, ∠C = 50° हो, तो ∠BAD ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है-
∆ABC जिसमें D. BC पर बिन्दु इस प्रकार है कि $\frac{A B}{A C}$ $=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ तथा ∠B = 70° व 20 = 50°

प्रश्न 12.
यदि ∆ABC में DE || BC हो, एवं AD = 6 सेमी., DB = 9 सेमी. और AE = 8 सेमी. हो, तो AC को ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में दिया है कि DE || BC

प्रश्न 13.
यदि ∆ABC में 2A का समद्विभाजक AD हो एवं AB = 8 सेमी., BD = 5 सेमी. एवं DC = 4 सेमी. हो, तो AC को ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में

प्रश्न 14.
यदि दो समरूप त्रिभुजों की ऊँचाइयों का अनुपात 4:9 हो, तो दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के बीच अनुपात उनकी संगत ऊँचाइयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
माना ∆ABC और ∆PQR समरूप हैं और AD और PS इनकी संगत ऊँचाई है।

इसलिये त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 16 : 81

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
दो सरल रेखाएँ जो एक ही रेखा के लम्बवत् हों, परस्पर कहलाती हैं
(A) लम्ब रेखाएँ।
(B) समान्तर रेखाएँ
(C) समद्विभाजित रेखाएँ
(D) समान रेखाएँ
उत्तर:
(B) समान्तर रेखाएँ

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में AD, ∠A का अन्तः समद्विभाजक है। यदि AB = 6 सेमी, BD = 4 सेमी. और DC = 3 सेमी. हो तो AC का मान है

(A) 3 सेमी.
(B) 4 सेमी.
(C) 4.5 सेमी.
(D) 5 सेमी.
उत्तर:
(C) 4.5 सेमी.

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में यदि AB || CD हो तो × का मान है

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
उत्तर:
(C) 3

प्रश्न 4.
यदि दो समरूप त्रिभुजों की ऊँचाइयों का अनुपात 9 : 16 हो तो दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात होगा
(A) 81 : 256
(B) 81 : 156
(C) 16 : 9
(D) 3 : 4
उत्तर:
(A) 81 : 256

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में QA और PB, AB पर लम्बवत् हैं। यदि AO = 10 सेमी., BO = 6 सेमी. तथा PB = 9 सेमी. हो तो AQ की लम्बाई है

(A) 12 सेमी.
(B) 15 सेमी.
(C) 18 सेमी.
(D) 21 सेमी.
उत्तर:
(B) 15 सेमी.

प्रश्न 6.
∆ABC ~ ∆DEF है, यदि ∠A = 40°, ∠E = 80° है तो ∠C का मान है
(A) 70°
(B) 60°
(C) 50°
(D) 40°
उत्तर:
(B) 60°

प्रश्न 7.
यदि AABC में D भुजा BC को मध्य बिन्दु हो और AB² + AC² = x (BD² + AD²) तो x का मान होगा
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) शून्य
उत्तर:
(B) 2

प्रश्न 8.
चित्र में ABC एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ ∠B = 90° है। यदि BC = 8 सेमी. है तो AD की लम्बाई क्या होगी? जहाँ D, BC का मध्य बिन्दु है

(A) 20 सेमी.
(B) $\sqrt{20}$ सेमी.
(C) $2 \sqrt{20}$ सेमी.
(D) $4 \sqrt{20}$ सेमी.
उत्तर:
(C) $2 \sqrt{20}$ सेमी.

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
∆ABC में AD कोण BAC का समद्विभाजक है। यदि AB = 4 cm, AC = 6 cm, BD = 2 cm है तो BC का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 14

प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण कैसे होते हैं?
उत्तर:
बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।

प्रश्न 3.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 5 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिये।
हल:
∵ समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर है, अतः त्रिभुजों के क्षेत्रफलों में अनुपात
= (4 : 5)²
= 16 : 25

प्रश्न 4.
बौधायन प्रमेय का कथन लिखिए।
उत्तर:
बौधायन प्रमेय-किसी आयत के विकर्ण से बने वर्ग का क्षेत्रफल इसकी दोनों आसन्न भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में AD, ∠A का अन्त:समद्विभाजक है। यदि AB = 4 सेमी., AC = 6 सेमी. है तो BD: DC लिखिए।
हल:
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 15

प्रश्न 6.
यदि ΔABC ~ ΔDEF, AB = 5 सेमी., DE = 3 सेमी. तथा AABC का क्षेत्रफल = 50 सेमी. है, तो ΔDEF का क्षेत्रफल लिखिए।
हल:

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में BC || PQ यदि AP = 4 सेमी., AQ= 5 सेमी. तथा QC = 2.5 सेमी. तो PB का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
$\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}$

$=\frac{5}{2.5}=\frac{4}{\mathrm{PB}}$
अतः $P B=\frac{4}{2}=2$ सेमी.

प्रश्न 8.
उपर्युक्त प्रश्न के चित्र में यदि AB = 7 सेमी., AP = 5 सेमी. तथा AC = 10.5 सेमी. तो AQ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुज ABC तथा PQR के परिमाप क्रमशः 36 सेमी. तथा 24 सेमी. हैं। यदि PQ = 10 सेमी. हो तो AB ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
यदि दो त्रिभुज ABC और XYZ में $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{YZ}}=\frac{\mathrm{AC}}{Z \mathrm{X}}$ ता ΔABC के कोण A का मान त्रिभुज XYZ के किस कोण के बराबर होगा?
उत्तर:
∠X के समान।

प्रश्न 11.
यदि ∆ABC एवं ∆DEF $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}$ आपस में कैसे त्रिभुज होंगे?
उत्तर:
समरूप त्रिभुज।

प्रश्न 12.
दो त्रिभुजों के समरूप होने की दो दशाएँ बताइए।
उत्तर:
दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि

उनके संगत कोण समान हों
उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।

प्रश्न 13.
SSS नियम लिखिए।
उत्तर:
SSS नियम-यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती हैं, तो वे दोनों समरूप होते हैं।

प्रश्न 14.
∆ABC की भुजाओं AB और AC पर बिन्दु D और E इस प्रकार हैं कि DE || BC यदि AD = 8 सेमी., AB = 12 सेमी. तथा AE = 12 सेमी. हो तो CE का माप लिखिए।

हल:
आधारभूत आनुपातिक प्रमेय से
$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{CE}}$
यहाँ AD = 8 सेमी., BD = (12 – 8) = 4 सेमी. तथा AE = 12 सेमी. है। अतः मान रखने पर
$\begin{array}{l}{\frac{8}{4}=\frac{12}{C E}} \\ {C E=\frac{12}{8} \times 4=6}\end{array}$ सेमी.

प्रश्न 15.
दी गई आकृति में ∠ABC = 90° तथा BD 1 AC है। यदि BD = 8 सेमी. तथा AD = 4 सेमी हो तो CD को माप लिखिए।

हल:
∆ABD व ∆BDC में

प्रश्न 16.
चित्र में EF || BC, यदि AE: BE = 4:1 और CF = 1.5 सेमी. हो, तो AF की लम्बाई क्या होगी?
हल:
चित्र में EF || BC

$\therefore \quad \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{CF}}$
$\begin{aligned} \Rightarrow & \frac{4}{1}=\frac{\mathrm{AF}}{1.5} \\ \Rightarrow & \mathrm{AF}=4 \times 1.5 \end{aligned}$
6.0 सेमी.

प्रश्न 17.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 16 : 81 है तो इनकी भुजाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः इनकी भुजाओं का अनुपात
$=\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{4}{9}$
अतः इनकी भुजाओं का अनुपात = 4 : 9

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
∆ABC में DE || BC है तथा $\frac{A D}{D B}=\frac{3}{5}$ है। यदि AC = 5.6 इकाई हो तो AE का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में DE || BC दिया हुआ है।

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में DE || BC है यदि AD = r, DB = r – 2, AE = r + 2 और EC = r-1 हो तो r का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में DE || BC अतः

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}$ (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय द्वारा)

प्रश्न 3.
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || DC है। AD व BC पर क्रमशः E और F इस प्रकार स्थित हैं कि EF || AB है। सिद्ध कीजिए
$\frac{\mathbf{A} \mathbf{E}}{\mathbf{E} \mathbf{D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F} \mathbf{C}}$ .
हल:
A व C को मिलाइए। इस प्रकार AC, EI के बिन्दु G से गुजरता
∴ AB || DC और EF || AB (दिया हुआ है)
∴ EF || DC (एक ही रेखा के समान्तर खींची गई सभी रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं ।)
∆ADC में EG || DC (यहाँ EF || DNC और E(G, EF का ही भाग है।)

प्रश्न 4.
आकृति में दर्शाए गए त्रिभुजों के युग्मों में कौन-कौनसे युग्म समरूप हैं? समरूपता के नियम लिखते हुए सांकेतिक रूप से लिखकर व्यक्त करें।
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 29

हल:
(i) ∆BCA ~ ∆PQR
चूंकि ∠B = ∠P = 60°, ∠C = ∠R = 40
अतः ∠A = 180 – (60 + 40) = ∠Q = 80°
अतः AAA समरूपता प्रमेय द्वारा ABCA ~ APRQ होगा।

(ii) ∆ABC व ADEF में
$\frac{A B}{D F}=\frac{B C}{F E}=\frac{C A}{E D}=\frac{1}{2}$
अतः SSS समरूपता प्रमेय से ∆ABC ~ ∆DEF

(iii) ∆ABC व ∆DEF में
$\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{D F}=2$ एवं ∠ABC = 70° = ∠EDF
अतः SAS समरूपता प्रमेय से ∆ABC ~ ∆EDF

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में AABC व ADEF की तुलना कर ∠D, ∠E एवं ∠F का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∆ABC एवं ∆DEF में $\frac{A B}{D F}=\frac{B C}{F E}=\frac{C A}{E D}=\frac{1}{2}$
अत: SSS समरूपता प्रमेय से।
∆ABC ~ ∆DEF
⇒ ∠A = ∠D, ∠B = ∠F C ∠C = ∠E
⇒ ∠F = 60° उत्तर ∠E = 40°
⇒ ∠D = 180 – (60 + 40) = 80°

प्रश्न 6.
आकृति में ∠ADE =∠B और AD = 3.8 सेमी., AE = 3.6 सेमी., BE = 2.1 सेमी. और BC = 4.2 सेमी. तो DE का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∆ADE एवं ∆ABC में
∠ADE एवं = ∠B (दिया हुआ ) ∠A = ∠A (उभयनिष्ट)

प्रश्न 7.
10 मीटर लम्बी एक सीढ़ी को एक दीवार पर टिकाने से वह भूमिं से 8 मीटर ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
आकृति के अनुसार ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका ∠B = 90° है।
अत: बौधायन प्रमेय से

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 35

प्रश्न 8.
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी./घण्टे की चाल से उड़ता है। उसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी./घण्टे की चाल से उड़ता है। $1 \frac{1}{2}$ घण्टे बाद दोनों हवाई जहाजों के मध्य की दूरी कितनी होगी?
हल:
प्रथम हवाई जहाज की उत्तर दिशा में $1 \frac{1}{2}$ घण्टे बाद हवाई अड्डे से दूरी = चाल × समय = 1000 × $\frac{3}{2}$ = 1500 किमी.
दूसरे हवाई जहाज की पश्चिम दिशा में $1 \frac{1}{2}$ घण्टे बाद हवाई अड्डे से दूरी

प्रश्न 9.
यदि ΔABC ~ ΔDEF है जिनमें AB = 2.2 सेमी. और DE = 3.3 सेमी. हो तो ∆ABC और ∆DEF के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि दो त्रिभुज समरूप हों तो उनकी संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात उनके क्षेत्रफलों के बराबर होता है।
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 37

प्रश्न 10.
दो समरूप त्रिभुज ABC और PQR की संगत भुजाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए जबकि दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल क्रमशः 36 वर्ग सेमी. एवं 49 वर्ग सेमी. है।
हल:
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपातों के बराबर होता है।

प्रश्न 11.
यदि ΔABC ~ ΔPQR हो, AABC का क्षेत्रफल = 16 सेमी. एवं ΔPQR का क्षेत्रफल 9 सेमी. तथा AB = 2.1 सेमी. हो तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 12.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए AB = 2AC है।

हल:
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें
∠C = 90°, AC.= BC (दिया हुआ) ………..(1)
समकोण त्रिभुज में बौधायन प्रमेय से
AB² = AC² + BC²

प्रश्न 13.
दी गयी आकृति में, AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिये कि AB² + CD² = BD² + AC² है। (पाइथागोरस प्रमेय से)

हल:
ΔADC से

प्रश्न 14.
एक समतल जमीन पर 2 मी. लम्बे छात्र की छाया की लम्बाई 1 मी. है। उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 5 मी. हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि मीनार की ऊँचाई h मी. है।
चित्रानुसार हम देखते हैं कि ΔABC तथा ΔDEC समरूप हैं अर्थात्।
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 44

अतः मीनार की ऊँचाई = 10 मी.

प्रश्न 15.
आकृति में ∠OKS व ∠ROP का मान ज्ञात कीजिए, यदि ΔOPR ~ ΔOSK तथा ∠POS = 125° और ∠PRO = 70° है।

हल:
प्रश्नानुसार ∠POS = 125° तथा ∠PRO = 70°
चित्रानसार ROS एक सरल रेखा है।

∴ ∠ROP + ∠POS = 180°
या ∠ROP + 125° = 180°
या ∠ROP = 180° – 125°
=55°
जब ∠ROP = 55° तो ∠KOS भी 55° का होगा क्योंकि ये शीर्षाभिमुख कोण या सम्मुख कोण हैं।
ΔOPR ~ ΔOSK ∴ ∠R = ∠S = 70°
अतः ΔROP में ∠R +20+ ∠P = 180°
70° + 55° + ∠P = 180°
∠ P = 180° – 70° – 55° 4
∠ P = 55०
∠ P = ∠K = 55°
अतः ∠OKS = 55° तथा ∠ROP = 55°

प्रश्न 16.
दी गई आकृति में यदि OP. OQ = OR . OS तो दर्शाइए ∠OPS = ∠ORQ a ∠OQR = ∠OSP. (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)

हल:
ΔPOS व ΔQOR में OP. OQ = OR . OS दिया हुआ है।
$\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OS}}=\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OQ}}$ ……….(1)
तथा ∠POS = ∠ROQ (शीर्षाभिमुख कोण) ……………(2)
समीकरण (1) व (2) से
ΔPOS ~ ΔROQ
इसलिये P =∠R एवं ∠S = ∠Q (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
अतः ∠OPS = ∠ORQ वे ∠OOR = ∠OSP इतिसिद्धम्

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
ΔBCD एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ AB, BC, CD और DA पर क्रमशः P, Q, R एवं s बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि ये चतुर्भुज के शीर्ष A व C के सापेक्ष इन्हें समत्रिभाजित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
हल:
PQRS के समान्तर चतुर्भुज सिद्ध करने के लिए हमें PQ ॥ SR एवं QR || PS सिद्ध करना होगा।

दिया हुआ है-
P, Q, R और S बिन्दु क्रमश: AB, BC, CD और DA पर इस प्रकार स्थित हैं कि
BP = 2PA, BQ = 2QC, DR = 2RC और DS = 2SA
रचना-
A को C से मिलाया

(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय की विलोम प्रमेय द्वारा) (1) व (2) से SR || AC तथा PQ || AC ⇒ SR || PQ इसी प्रकार BD को मिलाकर हम उपर्युक्तानुसार QR || PS सिद्ध कर सकते हैं। अर्थात् PORS एक समान्तर चतुर्भुज है

प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ΔBCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{\mathbf{A} \mathbf{O}}{\mathbf{B} \mathbf{O}}=\frac{\mathbf{C} \mathbf{O}}{\mathbf{D} \mathbf{O}}$ है तो सिद्ध कीजिए कि ΔBCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
हल:
दिया हुआ है-

चतुर्भुज में आकृति के अनुसार $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}$
सिद्ध करना है-
ΔBCD एक समलम्ब चतुर्भुज है, इसके लिए हमें AB || CD सिद्ध करना होगा।
रचना-
O से OE || AB रेखा खींची।

अर्थात् ABCD एक समलम्ब चतुरभुज है

प्रश्न 3.
आकृति में यदि OA. OB = OC. OD है तो दर्शाइए ∠A = ∠C व ∠B =∠D

हल:
ΔAOD व ΔBOC में OA. OB = OC. OD दिया हुआ है।
अतः $\frac{\mathrm{O} \mathrm{A}}{\mathrm{O} \mathrm{D}}=\frac{\mathrm{O} \mathrm{C}}{\mathrm{OB}}$ ………(1)
∠AOD = ∠COB (शीर्षाभिमुख कोण) …………………(2)
(1) व (2) से ΔAOD ~ ΔCOB
इसलिए ∠A = ∠C एवं ∠D=∠B (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण) इतिसिद्धम्

प्रश्न 4.
आकृति में QA तथा PB, AB पर लम्ब है यदि AB = 16 सेमी., OQ= $5 \sqrt{3}$ सेमी. और OP = $5 \sqrt{13}$ सेमी. है तो AO एवं BO के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
ΔAOO एवं ΔBOP में ∠OAQ = ∠OBP (प्रत्येक 90°)
∠AOQ = ∠BOP (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः AA समरूपती प्रमेय द्वारा

प्रश्न 5.
आकृति में ΔBCD एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसकी AB ॥ DC है। यदि ΔAED ~ ΔBEC हो तो सिद्ध कीजिए AD = BC है।

हल:
ΔEDC एवं ΔEBA में
∠1 = ∠2 एवं ∠3 = ∠4 (एकान्तर कोण)
तथा ∠DEC = ∠AEB (शीर्षाभिमुख कोण)
अत: AAA समरूपता प्रमेय द्वारा
ΔEDC ~ ΔEBA

प्रश्न 6.
समान्तर चतुर्भुज ΔBCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M को B से मिलाने वाली रेखा AC को L पर काटती है। यदि AD व BM को आगे बढ़ावें तो वह E पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए EL = 2BL

हल:
ΔBMC व ΔEMD में
MC = MD (M, CD का मध्य बिन्दु है)
∠CMB =∠DME (शीर्षाभिमुख कोण)
∠MCB = ∠MDE (एकान्तर कोण)
अतः ASA सर्वांगसम नियम द्वारा।
ΔBMC = ΔEMD
अतः BC = ED परन्तु AD = BC [ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है].
और AE = AD + DE
या AE = BC + BC
या, AE = 2BC …………………(1)
AAEL व ACBL में
∠ALE=∠CLB (शीर्षाभिमुख कोण)
4EAL = ∠BCL (एकान्तर कोण)
अतः AA समरूपता प्रमेय द्वारा
ΔAEL ~ ΔACB

प्रश्न 7.
आकृति में AABC में एक रेखा। जो BC के समान्तर है, AB और AC को क्रमशः D व E पर काटती हुई LE इस प्रकार निकलती हैं कि AD: DB = 1 : 2 हो जाता है, तो इस प्रकार बने समलम्ब चतुर्भुज BDEC एवं AADES BL क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:
चूँकि l || BC

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 62
किन्तु समलम्ब चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल ΔADE का क्षेत्रफल
⇒ समीकरण (3) से समलम्ब चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल = 9 × ΔADE का क्षेत्रफल – ΔADE का क्षेत्रफल
⇒ समलम्ब BDEC का क्षेत्रफल = 8 × ΔADE का क्षेत्रफल
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 63

प्रश्न 8.
आकृति के अनुसार एक त्रिभुज ABC की भुजा AC के समान्तर रेखाखण्ड PQ उसकी भुजा AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि $\frac{B P}{B A}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ हो तो सिद्ध कीजिए। रेखाखण्ड PQ, AABC को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है।

हल:
दिया हुआ है–
∴ PQ || AC दिया हुआ है।
अतः ∠A = ∠BPQ (संगत कोण)
एवं 2C = ∠BQP (संगत कोण) एवं $\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BA}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः ΔBAC ~ ΔBPQ (AA समरूपता प्रमेय से)
सिद्ध करना है-
ΔBPQ का क्षेत्रफल = समलम्ब PACQ का क्षेत्रफल या समलम्ब PACQ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \Delta B A C$ का क्षेत्रफल = ΔBPQ का क्षेत्रफल (दिया हुआ है)
अर्थात् ΔBPO का क्षेत्रफल = ΔBAC का क्षेत्रफल भी सिद्ध करेंगे तो प्रश्न हल हो जाएगा।
उपपत्ति-
चूँकि ΔBAC ~ ΔBPQ
या ΔBPQ ~ ΔBAC

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 66

प्रश्न 9.
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

हल:
दिया हुआ है
ΔABC ~ ΔDEF एवं ΔABC का क्षेत्रफल = ΔDEF का क्षेत्रफल
सिद्ध करना है-
ΔABC = ΔDEF
उपपत्ति-
∵ ΔABC ~ ΔDEF
ΔABC एवं ΔDEF समानकोणिक त्रिभुज हैं।

प्रश्न 10.
किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D। इस प्रकार स्थित है कि $\mathbf{B D}=\frac{1}{3} \mathbf{B C}$ है, तो सिद्ध कीजिए 9AD² = 7AB² है। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:
∴ ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है और A से BC पर AE लम्ब डाला है।
अतः किसी भी शीर्ष से सम्मुख भुजा पर डाला गया लम्ब उसका समद्विभाजन करता है।

प्रश्न 11.
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका ∠B समकोण है। माना कि D और E क्रमशः AB एवं BC पर दो बिन्दु स्थित हैं। सिद्ध कीजिए AE² + CD² = AC² + DE² (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)

हल:
ΔABE समकोण त्रिभुज है तथ ∠B = 90⁰

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।
हल:
दिया है-
एक त्रिभुज ABC है जिसमें AC² = AB² + BC²
सिद्ध करना है-
∠ABC = 90°
रचना-
एक अन्य त्रिभुज DEF इस प्रकार बनाया कि DE = AB, EF = BC
∠E = 90°

उपपत्ति-
यह सिद्ध करने के लिए कि ∠ABC = 90° है, हमें केवल यह सिद्ध करना होगा कि ΔABC ~ ΔDEF है।
∴ ΔDEF एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠DEF समकोण है। अतः पाइथागोरस प्रमेय से

प्रश्न 13.
आयत ΔBCD के अन्दर स्थित O कोई बिन्दु है, सिद्ध कीजिए

हल:
आयत ΔBCD के AN अन्दर एक बिन्दु O स्थित है जिससे गुजरती हुई BC के समान्तर रेखा PL भुजाओं AB और DC को क्रमशः P और B पर काटती है।

समकोण त्रिभुजों OPB और ORD में पाइथागोरस प्रमेय से
OB² = OP² + PB² और OD² = OR² + DR²
इन दोनों को जोड़ने पर
= OB² + OD² = Op² + PB²+ OR² + DR²
= OB² + OD² = (OP² + OR²) + (PB² + DR²) ……………(i)
पुनः ‘समकोण त्रिभुजों ORC तथा OPA में पाइथागोरस प्रमेय से

प्रश्न 14.
निम्न में से दी गई आकृति में $\frac{P K}{K S}=\frac{P T}{T R}$ हैं तथा ∠PKT = ∠PRS है। सिद्ध कीजिए कि APSR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल:
प्रश्नानुसार दिया गया है $\frac{P K}{K S}=\frac{P T}{T R}$
अतः KT || SR

: ∠PKT = ∠PSR (संगत कोण) …………………(i)
साथ ही यह दिया हुआ है कि
∠PKT = ∠PRS …………………(ii)
अतः ∠PRS = ∠PSR [(i) व (ii) से]
इसलिए PS = PR (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
अर्थात् APSR एक समद्विबाहु त्रिभुज है। (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 15.
दी गई आकृति में ABC एक त्रिभुज है। यदि $\frac{\mathbf{A D}}{\mathbf{A B}}=\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{A C}}$ सिद्ध कीजिए DE || BC

हल:
दिया गया है–

अतः एक त्रिभुज की भुजाओं AB एवं AC को DE समान अनुपात में विभाजित करती है।

सिद्ध करना है-
DE || BC
रचना-
D से जाने वाली एक अन्य रेखा DF खींची।
उपपत्ति-
माना कि रेखा DE भुजा BC के समान्तर नहीं है तथा D से. होकर जाने वाली एक अन्य रेखा DF भुजा BC के समान्तर है।
अर्थात् DF || BC
अतः आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से,

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Additional Questions 84
यह तब ही सम्भव है जब F एवं E दोनों बिन्दु सम्पाती हों, अर्थात् DF एवं DE सम्पाती रेखाएँ हैं
अतः DE || BC इतिसिद्धम्

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