Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.3
प्रश्न 1.
बिन्दुओं (- 2, 3, 5) और (1, – 4, 6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड को अनुपात
(i) 2 : 3 में अंतः
(ii) 2 : 3 में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना बिन्दु A(- 2, 3, 5) और B(1, – 4, 6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड AB को
P(x, y, z), अनुपात 2 : 3 में अंतः विभाजित करता हो, तब
बिन्दु P के निर्देशांक इस प्रकार
(ii) जब बिन्दु P(x, y, z) रेखाखण्ड AB के बाह्यतः विभाजित करता हो, तो निर्देशांक इस प्रकार होंगे
प्रश्न 2.
दिया गया है कि बिन्दु P(3, 2, – 4), Q(5, 4, – 6) और R(9, 8, – 10) सरेख हैं। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें Q, PR को विभाजित करता है।
हल:
माना बिन्दु Q, रेखाखण्ड PR को k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः बिन्दु P, Q, R, सरेख हैं और Q, PR को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 3.
बिन्दुओ (- 2, 4, 7) और (3, – 5, 8) को मिलाने वाली रेखाखण्ड, YZ- तल द्वारा जिस अनुपात में विभक्त होता है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बिन्दु P पर तल YZ रेखाखण्ड AB को k : 1 के अनुपात में प्रतिच्छेद करता है, तब
YZ – तल पर प्रत्येक बिन्दु (0, y, z) के रूप में होगा।
A, B के निर्देशांक क्रमशः (- 2, 4, 7) और (3, – 5, 8) हैं।
अत: AB को YZ – तल 2 : 3 के अनुपात में विभक्त करता है।
प्रश्न 4.
विभाजन सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए
A(2, – 3, 4), B(- 1, 2, 1) तथा C(0, 1/3, 2) संरेख हैं।
हल:
माना A, B, C, सरेख हैं B, रेखाखण्ड AC को k : 1 में विभाजित करता है।
अतः बिन्दु A, B, C सरेख हैं।
प्रश्न 5.
P(4, 2, – 6) और Q(10, – 16, 6) के मिलाने वाली रेखाखण्ड PQ को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु A, B रेखाखण्ड PQ को 3 समान भागों में विभाजित करती है।
बिन्दु A, रेखाखण्ड PQ को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
अत: A तथा B के निर्देशांक क्रमशः (6, – 4, – 2) और (8, – 10, 2) हैं।