Chapter 12 Heron’s Formula (हीरोन सूत्र)

Chapter 12 Heron’s Formula (हीरोन सूत्र)

प्रश्नावली 12.1

Q1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a‘ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

Q2. किसी फ्रलाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं (देखिए आकृति 12.9)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु प्रति m² की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?

हल : a = 122 m, b = 22 m और c = 120 m

Q3. किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है । यदि इस दीवार की विमाएँ 15m, 11m और 6m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Q4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल :
a = 18 cm, b = 10 cm और c = ?
परिमाप = 42 cm
a + b + c = 42
या 18 + 10 + c = 42
या c = 42 – 28
या c = 14 cm

Q5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12: 17: 25 है और उसका परिमाप 540cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना भुजाएँ a = 12x, b = 17x और c = 25x है |
अत: a + b + c = 540 cm
या  12x + 17x + 25x = 540
या 54x = 540

Q6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : a = 12 cm, b = 12 cm और c = ?
अत: a + b + c = 30 cm
या  12 + 12 + c = 30 cm
या  c = 30 – 24 cm
या  c = 6 cm

प्रश्नावली 12.2

Q1. एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?

हल : 


= 65.04 m²

Q2. एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है।

हल :



अत: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल
= 7 cm² + 9.166 cm² = 15.2 cm² (Aprox)

Q3. राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाईजहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति 12.15 में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :



हवाई जहाज का क्षेत्रफल = 2.49 cm² + 6.5 cm² + 1.68 cm² + 4.5 cm² + 4.5 cm²
= 19.67 cm²
अत: हवाई जहाज का क्षेत्रफल 19.67 cm² है ।

Q4. एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधर है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधर पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :


अब चूँकि समांतर चतुर्भुज BCDE का क्षेत्रफल ΔABC के बराबर है ।
अत:  समांतर चतुर्भुज BCDE का क्षेत्रफल = 336 cm²
या b × h = 336 cm²
या 28 × h = 336 cm²

Q5. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?

हल : 

Q6. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है (देखिए आकृति 12.16)। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?

हल : 

Q7. एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति 12.17 में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।

हल : 

भाग I का क्षे० = 256 cm²
भाग II का क्षे० = 256 cm²
भाग III का क्षे० = 17.92 cm²

Q8. फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं (देखिए आकृति 12.18)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :

= 36 × 2.45 = 88.2 cm²
अत: इन सभी 16 टाइल्स का क्षेत्रफल = 88.2 × 16
= 1411.2 cm²
टाइलों पर पॉलिश कराने का खर्च = 1411.2 × 0.50
= 705.60 रुपये ।

Q9. एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 
AB के बराबर भुजा BC पर DE काटा
अत: DE = 10 m
इसलिए, EC = DC – DE
= 25 – 10 = 15 m
अब चूँकि AB = DE है और AB || DE इसलिए ABED एक समांतर चतुर्भुज है |
अत: AD = BE = 14 m
DBCE में,
a = 14 m, b = 15 m और c = 13 m