Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 26
(ii) 93
(iii) 112
(iv) 54
हल:
(i) 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
(iii) 93 = 9 × 9 × 9 = 729
(iii) 112 = 11 × 11 = 121
(iv) 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
प्रश्न 2.
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 6 × 6 × 6 × 6
(ii) t × t
(iii) b × b × b × b
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
(v) 2 × 2 × a × a
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
हल:
(i) 6 × 6 × 6 × 6 = 64
(ii) t × t = t2
(iii) b × b × b × b = b4
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 = 52 × 73
(v) 2 × 2 × a × a = 22 × a2
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d = a3 × c4 × d
प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांकीय संकेतन में व्यक्त कीजिए :
(i) 512
(ii) 343
(iii) 729
(iv) 3125
हल:
प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ भी सम्भव हो, बड़ी संख्या को पहचानिए :
(i) 43 या 34
(ii) 53 या 35
(iii) 28 या 82
(iv) 1002 या 2100
(v) 210 या 102
हल:
(i) ∵ 43 = 4 × 4 × 4 = 64
और 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
∵ 81 > 64 ∴ 34 > 43
अतः 34 बड़ा है।
(ii) ∵ 53 = 5 × 5 × 5 = 125
और 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
∵ 243 > 125 ∴ 35 > 53
अतः 35 बड़ा है।
(iii) ∵ 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 256
और 82 = 8 × 8 = 64
∵ 256 > 64 ∴ 28 > 82
अतः 28 बड़ा है।
(iv) ∵ 1002 = 100 × 100 = 10000
और 2100 = (210)10
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)10
= (1024)10 = (1024)5×2
= (1024 × 1024)5
= (1048576)5
∵ 1048576 > 10000
∴ (1048576)5 > 1002
या (210)10 > 1002 या 2100 > 1002
अत: (210)10 बड़ा है।
(v) ∵ 210 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 1024
और 102 = 10 × 10 = 100
∵ 1024 > 100, ∴ 210 > 102
अतः 210 बड़ा है।
प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को उनके अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 648
(ii) 405
(iii) 540
(iv) 3600
हल:
(i) 648
∴ 648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 23 × 34
(ii)405
∴ 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5
= 34 × 5
(iii) 540
∴ 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 22 × 33 × 5
(iv) 3600
∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 24 × 32 × 52
प्रश्न 6.
सरल कीजिए:
(i) 2 × 103
(ii) 72 × 22
(iii) 23 × 5
(iv) 3 × 44
(v) 0 × 102
(vi) 52 × 33
(vii) 24 × 32
(viii) 32 × 104
हल:
(i) 2 × 103 = 2 × 1000 = 2000
(ii) 72 × 22 = 49 × 4 = 196
(iii) 23 × 5 = 8 × 5 = 40
(iv) 3 × 44 = 3 × 256 = 768
(v) 0 × 102 = 0 × 100 = 0
(vi) 52 × 33 = 25 × 27 = 675
(vii) 24 × 32 = 16 × 9 = 144
(viii) 32 × 104 = 9 × 10000 = 90000
प्रश्न 7.
सरल कीजिए:
(i) (-4)3
(ii) (-3) × (-2)3
(iii) (-3)2 × (-5)2
(iv) (-2)3 × (-10)3
हल:
(i) (-4)3 = (-4) × (-4) × (-4)
= -64
(ii) (-3) × (-2)3 = (-3) (-2) (-2) (-2)
= (-3) × (-8) = 24
(iii) (-3)2 × (-5)2 = (-3) (-3) (-5) (-5)
= 9 × 25 = 225
(iv) (-2)3 × (-10)3 = (-2)(-2)(-2) (-10) (-10) (- 10)
= (-8) × (-1000) = 8000
प्रश्न 8.
निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए :
(i) 2.7 × 1012; 1.5 × 108
(ii) 4 × 1014;3 × 1017
हल:
(ii) ∵ 4 × 1014 में 15 अंक होंगे
और 3 × 1017 में 18 अंक होंगे।
∴ 4 × 1014 < 3 × 1017
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 270
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
सरल करके घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 25 × 23
(ii) p3 × p2
(iii) 43 × 42
(iv) a3 × a2 × a7
(v) 53 × 57 × 512
(vi) (-4)100 × (-4)20
हल:
(i) 25 × 23 = 25+3 = 28
(ii) p3 × p2 = p3+2 = p5
(iii) 43 × 42 = 43+2 = 45
(iv) a3 × a2 × a7 = a3+2+7 = a12
(v) 53 × 57 × 512 = 53+7+12 = 522
(vi) (-4)100 × (-4)20 = (-4)100+20 = (-4)120
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 271
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
सरल करके घातांकीय रूप में लिखिए : उदाहरण के लिए, 116 + 113 = 114
(i) 29 ÷ 23
(ii) 108 ÷ 104
(iii) 911 ÷ 97
(iv) 2015 ÷ 2013
(v) 713 ÷ 710
हल:
(i) 29 ÷ 23 = 29-3 = 26
(ii) 108 ÷ 104 = 108-4 = 104
(iii) 911 ÷ 97 = 911-7 = 94
(iv) 2015 ÷ 2013 = 2015-13 = 202
(v) 713 ÷ 710 = 713-10 = 73
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
सरल करके, उत्तर को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) (62)4
(ii) (22)100
(iii) (750)2
(iv) (53)7
हल:
(i) (62)4 = 62×4 = 68
(ii) (22)100 = 22×100 = 2200
(iii) (750)2 = 750×2 = 7100
(iv) (53)7 = 53×7 = 521
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 273
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
am × bm = (ab)m का प्रयोग करके, अन्य रूप में बदलिए:
(i) 43 × 23
(ii) 25 × b5
(iii) a2 × t2
(iv) 56 × (-2)6
(v) (-2)4 × (-3)4
हल:
(i) 43 × 23 = (4 × 2)3 = (8)3
(ii) 25 × b5 = (2 × b)5 = (2b)5
(iii) a2 × t2 = (a × t)2 = (at)2
(iv) 56 × (-2)2 = {5 × (-2)}2
= (-10)6 = (10)6
(v) (-2)4 × (-3)4 = {(-2) × (-3)}4 = (6)4
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
am + bm = ()m का प्रयोग करके, अन्य रूप में बदलिए:
(i) 45 ÷ 35
(ii) 25 ÷ b5
(iii) (-2)3 ÷ b3
(iv) p4 ÷ q4
(v) 56 ÷ (-2)6
हल:
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 276