Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 13 वृत्त एवं स्पर्श रेखा Additional Questions

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में, AT केन्द्र O वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा इस प्रकार है कि OT = 4 सेमी. 30T और ∠OTA = 30° है। तब AT बराबर है–

(क) 4 सेमी.
(ख) 2 सेमी.
(ग)  2 \sqrt{3}  सेमी.
(घ)  4 \sqrt{3}  सेमी.
उत्तर:
(ग)  2 \sqrt{3}  सेमी.

प्रश्न 2.
एक विन्दु P वृत्त के केन्द्र से 25 सेमी. की दूरी पर है। वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी. है और P से वृत्त की खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई होगी
(क)  \sqrt{30}  सेमी.
(ख) 24 सेमी.
(ग) 28 सेमी.
(घ) 30 सेमी.
उत्तर:
(ख) 24 सेमी.

प्रश्न 3.
यदि एक समचतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ एक वृत्त को स्पर्श करती हैं।
(क) AC + DA = BD + CD
(ख) AB + CD = BC + DA
(ग) AB + CD = AC + BC
(घ) AC + AD = BC + BD
उत्तर:
(ख) AB + CD = BC + DA

प्रश्न 4.
वह रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है, कहलाती है
(क) जीवा
(ख) स्पर्श रेखा
(ग) छेदक रेखा
(घ) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(ग) छेदक रेखा

प्रश्न 5.
एक वृत्त के बाह्य बिन्दु से खींची गई अधिकतम स्पर्श रेखाएँ हैं
(क) एक
(ख) दो।
(ग) तीन
(घ) अनन्त
उत्तर:
(ख) दो।

प्रश्न 6.
किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर होती हैं
(क) लम्बवत्
(ख) समान्तर
(ग) प्रतिच्छेदी
(घ) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(ख) समान्तर

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में AB तथा AC वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं, O वृत्त का केन्द्र है, यदि ∠CAB = 60° तो ∠BOC है

(क) 60°
(ख) 70°
(ग) 120°
(घ) 150°
उत्तर:
(ग) 120°

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में बिन्दु B, C तथा D से गुजरने वाले वृत्त के बिन्दु B तथा C पर AB तथा AC स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠BAC = 70° और ∠CBD = 90° तो BF ∠BCD का मान है

(क) 45°
(ख) 55°
(ग) 30°
(घ) 35°
उत्तर:
(घ) 35°

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में AT वृत्त की स्पर्श रेखा है। यदि m ∠ABC = 50° तथा AC = BC तो m ∠BAT है

(क) 50°
(ख) 70°
(ग) 75°
(घ) 80°
उत्तर:
(घ) 80°

प्रश्न 10.
दी गई आकृति में ∠PQR का मान होगा

(क) 30°
(ख) 50°
(ग) 60°
(घ) 90°
उत्तर:
(घ) 90°

प्रश्न 11.
आकृति में O वृत्त का केन्द्र है। यदि ∠APB = 70° तो ∠AQB का मान है

(क) 125°
(ख) 110°
(ग) 20°
(घ) 55°
उत्तर:
(घ) 55°

प्रश्न 12.
दी गई आकृति में O वृत्त का केन्द्र है तथा SCT बिन्दु C पर स्पर्श रेखा है। यदि ∠ACS = 57° हो, तो ∠OAC की माप है

(क) 33°
(ख) 57°
(ग) 23°
(घ) 66°
उत्तर:
(क) 33°

प्रश्न 13.
दी गई आकृति में O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त की त्रिज्या OT = 8 सेमी. तथा OP = 17 सेमी. हैं। स्पर्श रेखा PT की लम्बाई है

(क) 15 सेमी.
(ख) 16 सेमी.
(ग) 17 सेमी.
(घ) 18 सेमी.
उत्तर:
(क) 15 सेमी.

प्रश्न 14.
दिए गए चित्र में AB और CD परस्पर स्पर्श A करने वाले वृत्तों की दो स्पर्श रेखायें हैं। यदि CD = 3 सेमी. है तो AB की लम्बाई है

(क) 3 सेमी.
(ख) 4 सेमी.
(ग) 5 सेमी.
(घ) 6 सेमी.
उत्तर:
(घ) 6 सेमी.

प्रश्न 15.
दिये गये चित्र में, KM, MN, NS एवं SK -4K क्रमशः B, R, D और H बिन्दुओं पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि SK + MN = 12 सेमी. हो, तो KM + SN का मान है

(क) 6 सेमी.
(ख) 12 सेमी.
(ग) 18 सेमी.
(घ) 24 सेमी.
उत्तर:
(ख) 12 सेमी.

प्रश्न 16.
दिये गये चित्र में, OA और OB वृत्त की। त्रिज्याएँ हैं। इनके बीच का कोण 100° का है। यदि बाहरी बिन्दु P से PA और PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हों, तो APB का मान

(क) 80°
(ग) 100°
(ख) 90°
(घ) 40°
उत्तर:
(क) 80°

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में AABC का बहिर्वृत्त, भुजाओं को Q, P एवं R पर स्पर्श करता है। यदि AQ = 8 सेमी. हो तो AABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि
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प्रश्न 2.
चित्र में यदि TP और TQ केन्द्र O वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 150° तो ∠PTQ का मान ज्ञात कीजिये।

हल:
∵ PT व QT स्पर्श, रेखाएँ हैं।
∴ ∠POQ+∠PTQ = 180°
⇒ 130° + ∠PTQ = 180°
⇒ ∠PTQ = 180° – 130° = 50°

प्रश्न 3.
दिये गये चित्र में, बाह्य बिन्दु A से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ AB व AC खींची गई हैं। यदि ∠BAC = 48° हो, तो ∠ABC का मान लिखिए।
हल:
∠B +∠C = 180° – 48°
= 132°
लेकिन AB = ∠C
स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में बराबर होती हैं।

\therefore \quad \angle \mathrm{ABC}=\frac{132^{\circ}}{2}
= 66°

प्रश्न 4.
चित्र में AB, BC तथा CA वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि BC = 6.3 सेमी. तथा MC = 2.7 सेमी. हो, तो BL की नाप लिखिए।
उत्तर:
हम जानते हैं
MC = स्पर्श रेखाओं की लम्बाई बराबर होती है।

∴ BN = (6.3 – 2.7)
BN = 3.6 सेमी.
और BN = BL है।
∴ BL = 3.6 सेमी.

प्रश्न 5.
दो वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं। यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 5 सेमी. तथा 3 सेमी. हों, तो उनके केन्द्रों के बीच की दूरी लिखिए।
उत्तर:
5 + 3 = 8 सेमी.

प्रश्न 6.
दो वृत्त एक-दूसरे को अन्त:स्पर्श करते हैं, तो उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या लिखिए।
उत्तर:
एक।

प्रश्न 7.
दिए गए चित्र में PA व PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। ∠APB = 30° है तो ∠AOB का मान लिखिए।

उत्तर:
∠AOB = 180° – 30° = 150°

प्रश्न 8.
दिए गए चित्र में PBQ, बिन्दु B पर वृत्त की स्पर्श रेखा है। ∠ABP का मान लिखिए।

उत्तर:
∠ABP = 90°

प्रश्न 9.
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 12 सेमी. है, यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी. है तो केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी बताइए।
उत्तर:
दूरी  =\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{169}=13  सेमी.

प्रश्न 10.
दिए गए चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। AB व AC वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि OA = 10 सेमी. तथा OB = 6 सेमी. हैं तो AC की 10 सेमी. लम्बाई लिखिए।

हल:
\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{10^{2}-6^{2}} \\ &=\sqrt{100-36} \end{aligned}
= 64 = 8 सेमी.
तथा AB = AC अतः, AC = 8 सेमी.

प्रश्न 11.
वृत्त की सतह पर स्थित बिन्दु पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
उत्तर:
वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।

प्रश्न 12.
यदि बिन्दु R से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर RA व RB स्पर्श रेखाएँ परस्पर θ के कोण पर झुकी हों तथा ∠AOB = 40° हो तो कोण 8 का मान ज्ञात करें।
हल:
∵ RA व RB स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠AOB +∠ARB = 180°
⇒ 40° + ∠ARB = 180°
⇒ ∠ARB = 180° – 40° = 140°

प्रश्न 13.
दी गयी आकृति में O एक वृत्त का केन्द्र है जिसके बाह्य बिन्दु Q से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ QP और QR खींची गई हैं कोण POR का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
PQ व RQ स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠POR +∠PQR = 180°
⇒ ∠POR + 70° = 180°
⇒ ∠POR = 180° – 70° = 110°

प्रश्न 14.
5 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 9 सेमी. दूर बाह्य बिन्दु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
हल:
हम जानते हैं कि वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु से जाने वाली वृत्त पर दो और केवल दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
चित्र में TP और TO, SP O केन्द्र वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠TOQ = 50° हो, तो ∠OTP ज्ञात कीजिये।

हल:
QT एक स्पर्श रेखा

प्रश्न 2.
एक बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जबकि बिन्दु की वृत्त के केन्द्र से दूरी 13 सेमी. है और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी. है।
हल:

प्रश्न 3.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा यदि छोटे वृत्त को स्पर्श करे तो स्पर्श बिन्दु उस जीवा का समद्विभाजन करता है।

हल:
दिया हुआ है-
दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनका केन्द्र O है। AB बड़े वृत्त C की जीवा है। जो छोटे वृत्त C को P बिन्दु पर स्पर्श करती है।
सिद्ध करना है-
AP = PB
उपपत्ति-
AB, वृत्त C को P पर स्पर्श करती है।
अतः OP ⊥ AB (प्रमेय-13.1 से)
चूंकि O वृत्त C का भी केन्द्र है और AB वृत्त C की जीवा है। अतः कक्षा IX के प्रमेय अनुसार वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा का समद्विभाजन करता है।
अतः AP = PB इतिसिद्धम्

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथन का उत्तरे सत्य या असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए। “आकृति के अनुसार ∠A = 70° होगा जहाँ PQ वृत्त के बिन्दु C पर स्पर्श करती है।”

हल:
असत्य, चूँकि ∠PCB का एकान्तर वृत्तखण्ड पर बना कोण ∠A है।
अतः ∠A = ∠PCB
और ∠PCB = 180 – (70 + 30) = 80°
अतः ∠A = 80° होगा।

प्रश्न 5.
आकृति में PQ तथा RS एक वृत्त पर क्रमशः बिन्दु A और C पर स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠ABC = 60° और ∠BAP = 40° हो तो ∠BCR ज्ञात कीजिए।

हल:
स्पर्श र खा PQ और जीवा AB स्पर्श बिन्दु A से गुजरते हैं, (प्रमेय 13.4) अतः
∠ACB = ∠BAP = 40″
इसी प्रकार स्पर्श रेखा CR एवं जीवा NCC के बिन्दु C से गुजरते हैं
अतः ∠ACR = ∠ABC = 60″ ……….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर।
∠ACB +∠ACR = 40 + 60 = 100
या ∠BCR = 100°

प्रश्न 6.
दिये गये चित्र में, यदि PA व PB, केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि कोण APB = 80°, तो कोण AOB का मान ज्ञात कीजिये।

हल:
चित्र में PA और PB, केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ ∠PAO = ∠PB) = 90°
और ∠APB = 80° दिया गया है।
∴ ∠AOB = 360° – (90° + 90° + 80°)
= 360° – 260° = 100°

प्रश्न 7.
यदि एक बिन्दु A से, O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर AB व AC दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 140 तो ∠BAC का मान लिखिये।
हल:
चित्र में AB और AC, केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।

∴ ∠ABO = ∠ACO = 90°
और ∠BOC = 140° दिया गया है।
∴ ∠BAC +∠BOC = 180° होगा।
अतः ∠BAC = 360° – (90° + 90° + 140°)
= 360° – 320° = 40°

प्रश्न 8.
5 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा के बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 13 सेमी. तो PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्नानुसार आकृति बनाने पर

OP = 5 cm. और OQ = 13 cm.
∵ PQ एक स्पर्श रेखा है और OP त्रिज्या है।
∴ ∠OPQ = 90°
अब समकोण ∆OPQ में,
पाइथागोरस प्रमेय से
(OQ)2 = (OP)2 + (PQ)2
मान रखने पर (13)2 = (5)2 + (PQ)2
या 169 = 25 + (PQ)2
या (PQ) = 169 – 25 = 144
या  P Q=\sqrt{144}=12 \mathrm{cm}

प्रश्न 9.
यदि एक बिन्दु T से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर TA व TB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 70° के कोण पर झुकी हों, तो ∠AOB को ज्ञात कीजिए।
हल:

चित्रानुसार TA और TB, केन्द्र O वाले विसी बिन्दु पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
∠TAO = ∠TBO = 90°
तथा ∠ATB = 70°
∴ ∠AOB = 360° – (90° + 90° + 70°)
= 360° – 250°
= 110°

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती
अथवा
सिद्ध कीजिए कि एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।

हल:
दिया है-
वृत्त का केन्द्र O है और बाह्य बिन्दु R से दो स्पर्श रेखाएँ RP और RQ हैं।
सिद्ध करना है-
RP = RQ
रचना-
OP, OQ और OR को मिलाया।
उपपत्ति-
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा, वृत्त की त्रिज्या पर लम्बवत् होती है। अतः |
∠OPR = 20QR = 90° …. (i)
अब ∆OPR और ∆OQR में,
∠OPR = ∠OQR = 90° समीकरण (i) से
OR = OR (उभयनिष्ठ भुजा)
OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ समकोण – कर्ण – भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से।
∆OPR = ∆OQR
अतः सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान होंगी।
⇒ RP = RQ (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 11.
यदि किसी वृत्त के किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाये तो सिद्ध कीजिये कि
(i) वे रेखाएँ वृत्त के केन्द्र पर समान कोण बनाती हैं तथा
(ii) वृत्त के केन्द्र से मिलाने वाले रेखाखण्ड के साथ, दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर कोण बनाती हैं।
हल:
दिया है-
एक वृत्त C (O, r) है जिसके बाह्य बिन्दु A से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ AP और AQ खींची ग हैं।
सिद्ध करना है-
(i) ∠AOF = ∠AOQ
(ii) ∠OAP = ∠OAQ
रचना-
OA, OP तथा OQ को मिलाया।

उपपत्ति-
∆OPA और ∆OQA में
AP = AQ (एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ)
OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा)
OP = OQ (त्रिज्याएँ)
S – S – S सर्वांगसमता से
ΔΟΡΑ = ΔOQA
∠AOP = ∠AOQ (CPCT)
तथा ∠OAP = ∠OAQ (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 12.
सिद्ध करो कि वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ, जीवा से समान कोण बनाती हैं।
हल:
माना वृत्त C(O, r) की जीवा AB के सिरे A और B पर स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं जो कि बिन्दु P पर काटती हैं।

माना OP, जीवा AB को बिन्दु C पर काटती है।
सिद्ध करना है-
∠PAC = ∠PBC
उपपत्ति-
APCA और APCB में ।
PA = PB (बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं)
PC = PC (उभयनिष्ठ भुजा)
∠APC = ∠BPC
[∵ स्पर्श रेखाएँ PA वे PB, OP के साथ समान कोण बनाती हैं ।] S-A-S सर्वांगसमता से
∆PCA = ∆PCB
⇒ ∠PAC = ∠PBC इतिसिद्धम्

प्रश्न 13.
केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएँ AB तथा AC खींची गई हैं। सिद्ध कीजिये कि ∠BAC = 2∠OBC.
अथवा
केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 220PQ है।
हल:
हमें केन्द्र O वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिन्दु A तथा वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ AIB और AC, जहाँ B, C स्पर्श बिन्दु हैं, दिये हैं जैसा आकृति में दिखाया गया है।

सिद्ध करना है-
∠BAC = 2∠OBC
माना। ∠BAC = 8
प्रमेय से हम जानते हैं कि AB = AC
अत: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 14.
चित्र में, AD = 15 सेमी., CF = 12 सेमी. और BE = 7 सेमी., तो त्रिभुज ABC की परिमिति ज्ञात कीजिये।
हल:
चूँकि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती है।

∴ AD = AE = 15 सेमी., BE = BF = 7 सेमी.
CF = CD = 12 सेमी.
∆ABC की परिमिति = AB + BC + CA
= (AE + BE) + (BF + CF) + (CD + DA)
= (15 + 7) + (7 + 12) + (12 + 15)
= (22 + 19 + 27) सेमी.
= 68 सेमी.

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक वृत्त AABC की भुजा IBC को P पर बाह्य स्पर्श करता है। तथा AB व AC को बढ़ाए जाने पर Q और R पर स्पर्श करता है तो सिद्ध कीजिए कि  \mathrm{AQ}=\frac{1}{2}  (∆ABC की परिमिति)
हल:
दिया हुआ है-
∆ABC की भुजा BC वृत्त को P पर एवं AB वे AC बढ़ाने पर BP P IC क्रमश: Q व R पर स्पर्श करती है।

सिद्ध करना है-
\mathrm{AQ}=\frac{1}{2}
(∆ABC की परिमिति)
उपपत्ति-
AQ = AR (प्रमेय 13.2 से) …………(1)

प्रश्न 2.
∆ABC की भुजाएँ AB, BC एवं CA एक 4 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त को क्रमशः L, M एवं N पर स्पर्श करती हैं। यदि AN = 6 सेमी. एवं CN = 8 सेमी. हो तो AABC की परिमिति ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि त्रिभुज ABC के अन्तर्गत वृत्त का केन्द्र O है।
अर्थात् OL = OM = ON = 4 सेमी.
माना कि BL = x सेमी.
तो BL = BM = x सेमी. (देखिए आकृति में) .
∵ AN = AL = 6 सेमी.
इसी प्रकार CN = CM = 8 सेमी.
तो BC = (x + 8) सेमी. = a एवं AB = (x + 6) = c
तथा AC = 6 + 8 = 14 सेमी. = b

तथा ∆ABC का क्षेत्रफल = ∆AOB का क्षेत्रफल + ∆BOC का क्षेत्रफल + ∆AOC का क्षेत्रफल

या 3x – x = 14
या x = 7
अतः AB = 6 + 7 = 13 एवं BC = 7 + 8 = 15
इस प्रकार ∆ABC की परिमिति = (13 + 15 + 14) सेमी. = 42 सेमी.

प्रश्न 3.
आकृति में PQ, O केन्द्र वाले,P वृत्त की स्पर्श रेखा है जो वृत्त को R पर स्पर्श करती है। यदि कोण TRQ = 30° हो, तो ∠SOR एवं ∠RTO का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
चूँकि SOT वृत्त का व्यास है।
अतः ∠SRT = 90°
तथा RT जीवा द्वारा ∠TRQ का एकान्तर वृत्तखण्ड RST है।
अतः ∠RST =∠TRQ = 30°
परन्तु ∆ORS एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी OS = OR एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
अतः ∠RST =∠SRO = 30°
∴ ∠SOR = 180 – (30 + 30) = 180 – 60 = 120°
∠ORT = ∠SRT – ∠SRO
= 90 – 30 = 60°
अब ∆ORT में।
OR = OT (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
अतः ∠RTO = ∠ORT = 60°
एवं ∠SOR = 120°

प्रश्न 4.
आकृति में रेखाखण्ड AB को मध्य बिन्दु M है। AM, MB एवं AB को व्यास मानकर AB के एक ही ओर अर्द्धवृत्त खींचे गये हैं। ‘O’ को केन्द्र मानकर त्रिज्या का एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है जो तीनों अर्द्धवृत्तों को स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए  r=\frac{1}{6} \mathbf{A B}

हल:
दिया हुआ है-
आकृति में, C, M, D एवं O को केन्द्र मानकर अर्द्धवृत्त प्रश्नानुसार बने हुए हैं।
सिद्ध करना है-
r =  \frac{1}{6}  AB
उपपत्ति है-
माना कि AB = a तो AM =  \frac{a}{2}  परन्तु AC = CM = MD = DM = CP = DQ बराबर अर्द्धवृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

चूँकि ΔOCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा OC = OD है एवं M, CB का मध्य बिन्दु है।
अतः OM ⊥ CD
अब समकोण त्रिभुज OMC में OC2 = CM2 + OM2
अतः समीकरण (1), (2) एवं (3) से

प्रश्न 5.
5 cm. त्रिज्या के एक वृत्त की 8 cm. लम्बी एक जीवा PQ है। P और Q पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर एक बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती हैं (देखिए। आकृति)। TP की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल:
OT को मिलाएँ। माना यह PQ को बिन्दु R पर प्रतिच्छेदित करती है। तब ATPQ समद्विबाहु है और TO, ∠PTQ का कोणार्धक है। इसलिए OT ⊥ PQ और इस प्रकार OT, PO का अर्धक है। जिससे
PR = RQ = 4 cm.
साथ ही  \mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{cm} .=3 \mathrm{cm}
TP को पाइथागोरस प्रमेय द्वारा निम्न प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं। माना TP = x और TR = y तो समकोण ∆PRT में
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर

प्रश्न 6.
किसी बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं PA तथा PB पर स्थित दो बिन्दुओं L व N पर काटने P वाली रेखा वृत्त के बिन्दु M पर स्पर्श करती है, तो सिद्ध करें-PL +LM = PN + NM

हल:
दिया है-
एक वृत्त जिसका केन्द्र O है। P एक बिन्दु है जो वृत्त के बाहर है। PA व PB दो स्पर्श रेखाएँ हैं। M वृत्त पर कोई बिन्दु है। रेखाखण्ड LN बिन्दु M से गुजरता है।
सिद्ध करना है-
PL + LM = PN + NM
उपपत्ति-
P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं।

प्रश्न 7.
समकोण त्रिभुज ABC की भुजा AB को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त कर्ण AC को P पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P पर वृत्त की स्पर्श रेखा भुजा BC को समद्विभाजित करती है।
हल:
सिद्ध करना है-
BQ= QC,
जहाँ Q, P पर खींची गई स्पर्श रेखा एवं BC का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
रचना-
BP को मिलाया।

उपपत्ति-
∵ AB वृत्त का व्यास है।
∴ ∠APB = 90° (अर्द्धवृत्त का कोण समकोण होता है ।)
∴ ∠APB +∠BPC = 180°
∴ 90° + ∠BPC = 180°
∴∠BPC = 90° …..(i)
∵ ∆ABC में ∠ABC = 90°
∴ ∠BAC+∠ACB = 90° …..(ii)
(∵ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।)
समीकरण (i) तथा (ii) से

(बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं ।)
∴ समीकरण (iv) तथा (v) से।
QC = QB
अतः PQ, BC को समद्विभाजित करती है।

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में O एक वृत्त का केन्द्र है जिसके बाह्य बिन्दु K से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ KR, KS खींची गई हैं, तो सिद्ध । कीजिए कि KR = KS.

हल:
दिया है-
वृत्त का केन्द्र O है और बाह्य बिन्दु K से दो स्पर्श रेखाएँ KR और KS

सिद्ध करना है-
KR = KS.
रचना-
OS, OR व OK को मिलाया।
उपपत्ति-
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा वृत्त की त्रिज्या पर लम्बवत् होती है।
अतः ∠OSK = ∠ORK = 90° …..(i)
अब ∆OSK तथा ∆ORK में
∠OSK = ∠ORK = 90° [समीकरण (i) से]
OK = OK (उभयनिष्ठ भुजा)
OS = OR (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ समकोण – कर्ण – भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से
∆OSK = ∆ORK
अतः सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान होंगी।
KR = KS (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में O एक वृत्त का केन्द्र है जिसके बाह्य बिन्दु C से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ CA, CB खींची गईं हैं, तो सिद्ध कीजिए ∠AOB व ∠ACB संपूरक हैं।

हल:
दिया है-
एक वृत्त जिसका केन्द्र O है। C वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु C से CA और CB दिये गये वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।

सिद्ध करना है-
∠AOB + ∠ACB = 180°
उपपत्ति-
OA त्रिज्या है और CA बिन्दु C से दिये गये वृत्त पर स्पर्श रेखा है।
∴ ∠OAC = 90° ………(i)
[∵ वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।]
इसी प्रकार ∠OBC = 90° …………………..(ii)
अब, चतुर्भूज BOACमें,