Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 13 वृत्त एवं स्पर्श रेखा Ex 13.1

प्रश्न 1.
निम्न में से प्रत्येक कथन सत्य या असत्य है लिखिए और उत्तर का कारण भी लिखिए।

  1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को दो बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
  2. एक स्पर्श रेखा XY, O केन्द्र वाले वृत्त को P पर स्पर्श करती है और Q स्पर्श रेखा पर अन्य बिन्दु है तो OP = OQ होता है।
  3. वृत्त पर स्थित बिन्दु P व Q पर दो स्पर्श रेखाएँ LM एवं XY खींची। गई हैं। यदि PQ व्यास है तो LMIXY है।
  4. एक वृत्त का केन्द्र O दूसरे वृत्त पर स्थित है जिसका केन्द्र A है। यदि O केन्द्र वाला वृत्त बिन्दु A और B से इस प्रकार गुजरता है कि AOB एक ही रेखा पर हो, तो B से खींची गई स्पर्श रेखाएँ दोनों वृत्तों के प्रतिच्छेदी बिन्दुओं से गुजरती हैं।

हल:

  1. यह कथन असत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि किसी वृत्त की। स्पर्श रेखा उसे एक और केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
  2. यह कथन असत्य है क्योंकि OP स्पर्श रेखा पर लम्ब है तथा लम्ब सभी दूरियों से छोटा होता है।
  3. यह कथन सत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा व्यास पर लम्ब होती है।
  4. यह कथन सत्य है क्योंकि AOB एक व्यास है और अर्द्धवृत्त पर बना कोण समकोण होता है।

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए.

  1. एक वृत्त पर स्थित एक बिन्दु से ………………… स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
  2. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा ………………… कहलाती है।
  3. एक वृत्त की ………………… समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
  4. वृत्त तथा स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को ………………… कहते हैं।

हल:

  1. एक
  2. छेदन रेखा
  3. दो
  4. स्पर्श बिन्दु।

प्रश्न 3.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी. तथा 3 सेमी. हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल:
दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनका एक ही केन्द्र O तथा त्रिज्याएँ क्रमशः 5 cm. और 3 cm, हैं।
माना कि PQ बड़े वृत्त की जीवा है परन्तु छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है।
क्योंकि, OM छोटे वृत्त की त्रिज्या है और PMQ स्पर्श रेखा है।

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अतः, अभीष्ट जीवा की लम्बाई 8 cm. है।

प्रश्न 4.
किसी वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी. दूर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई यदि 4 सेमी. है तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी?
हल:
एक वृत्त जिसका केन्द्र ‘O’ है । वृत्त के बाहर इसके केन्द्र से 10 cm. की दूरी पर कोई बिन्दु A है।
स्पर्श रेखा की लम्बाई = PA
= 4 cm.
क्योंकि OP त्रिज्या है और PA वृत्त पर स्पर्श रेखा है।
∴ ∠OPA = 90°
अब, समकोण ΔOPA में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
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अत: वृत की त्रिज्य  2 \sqrt{21}  सेमि. है

प्रश्न 5.
एक O केन्द्र वाला वृत्त, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को अन्तःस्पर्श इस प्रकार करता है यदि AB को स्पर्श बिन्दु 3:1 भागों में विभाजित करे तथा AB = 8 सेमी. है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जबकि OA = 10 सेमी. है।
हल:
प्रश्नानुसार, चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को स्पर्श करने वाला अन्त:वृत्त का केन्द्र O है। स्पर्श रेखा AB का स्पर्श बिन्दु E, AB को 3 : 1 में अन्त:विभाजित करता है।
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माना वृत्त की त्रिज्या OE = r सेमी. है तथा (OA = 10 सेमी. दिया है।
ΔOEA समकोण त्रिभुज है क्योंकि वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या के लम्बवत् होती है तथा पाइथागोरस प्रमेय से

अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या 8 सेमी. है।

प्रश्न 6.
एक वृत्त एक चतुर्भुज की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि केन्द्र पर सम्मुख भुजाओं द्वारा आन्तरित कोण सम्पूरक होते हैं।
हल:
दिया है-
केन्द्र O वाले वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज PORS जिसकी भुजाएँ PQ, QR, RS N और SP वृत्त को क्रमशः L, M, N, T स्पर्श करती हैं।

सिद्ध करना है-
∠POQ + ∠SOR = 180°
और ∠SOP + ∠ROQ = 180°
रचना-
OP. OL, 00, OM, OR, ON, OS, OT को मिलाइए।
उपपत्ति-
क्योंकि बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ। केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।
∴ ∠2 = ∠3; ∠4 = ∠5; ∠6 = ∠7; ∠8 = ∠1 …………………(i)
हम जानते हैं कि एक बिन्दु पर सभी कोणों का जोड़ 360° होता है।
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°
या ∠1 + ∠2 + 22 + 25 + 25+ ∠6 + 26 + ∠1 = 360°

अतः वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज के आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण आन्तरित करती हैं । ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 7.
आकृति में, वृत्त का केन्द्र O है और बाह्य बिन्दु P से खींची हुई स्पर्श रेखाएँ PA और PB वृत्त को क्रमशः A व B पर स्पर्श करती हैं। सिद्ध कीजिए कि OP रेखाखण्ड AB का समद्विभाजक है।

हल:
दिया गया है-
OP रेखा, जीवा AB को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करती है।
ΔPAC और ΔPBC में PA = PB
∵ किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
∠APC = ∠BPC
∵ PA और PB, OP से बराबर कोण पर झुके हुए हैं। और PC = PC (उभयनिष्ठ है)
∴ भुजा-कोण-भुजा से
ΔPAC = ΔPBC
⇒ AC = BC
और ∠ACP = ∠BCP
किंतु ∠ACP + ∠BCP = 180°
∴ ∠ACP = ∠BCP = 90°
अतः OP रेखाखण्ड AB का समद्विभाजक है। ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 8.
आकृति में, बाह्य बिन्दु P से O केन्द्र वाले वृत्त को PA एवं PB दो स्पर्श रेखाएँ क्रमशः A व B पर स्पर्श करती हैं। सिद्ध कीजिए कि PAOB एक चक्रीय चतुर्भुज है।

हल:
वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्बवत् होती है।