Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2

Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2

प्रश्न 1.
x = 10 पर x² – 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
x = 100 पर 99x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
x = 1 पर x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए :
(i) x³ – 27.
हल:
दिया है, f(x) = x³ – 27
f(x + h) = (x + h)³ – 27
= x³ + 3x²h + 3xh² + h³ – 27
f(x + h) – f(x) = (x³ + 3x²h + 3xh² + h³ – 27) – (x³ – 27)
= 3x²h + 3xh² + h³
= h(3x² + 3xh + h²)

(ii) (x – 1)(x – 2).
हल:
f(x) = (x – 1) (x – 2) = x² – 3x + 2 .
f(x + h) = (x + h)² – 3(x + h) + 2
∴ f(x + h) – f(x) = (x² + 2xh + h²) – (3x + 3h) + 2 – (x² – 3x + 2)
= 2xh + h² – 3h
= h(2x + h – 3)

हल:

हल:

प्रश्न 5.

हल:

x = 1 पर, f′(1)= 1 + 1 +…+ x + 1
x = 0 पर, f′(0)= 1
बायाँ पक्ष f′(1)= 100,
दायाँ पक्ष = 100 f′(0) = 100 x 1 = 100
अत: बायाँ पक्ष= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 6.
किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए xⁿ + ax^{n – 1} + a²x^{n – 2} +….+ a^{n – 1} + aⁿ का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
किन्हीं अचरों a और b के लिए
(i) (x – a)(x – b) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
f(x) = (x – a) (x – b)
= x² – (a + b)x + ab
इसका अवकलन करने पर
f′(x) = 2x^{2 – 1} – (a + b) .1 + 0
= 2x – (a + b).

(ii) (ax² + b)² का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = (ax² + b)² = a²x⁴ + 2abx² + b²
∴ f'(x) = a² . 4x³ + 2ab . 2x + 0
= 4a²x³ + 4abx
= 4ax(ax² + b)

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

(ii) (5x³ + 3x – 1) (x – 1).
हल:
माना

(iii) x ^{– 3}(5 + 3x).
हल:
माना f(x) = x ^{– 3}(5 + 3x)
= 5x ^{– 3} + 3x.x ^{– 3} = 5x ^{– 3} + 3x ^{– 3}
अवकलन करने पर
f'(x) = 5 (- 3)x^{– 3 – 1} + 3 (- 2). x^{– 2 – 1}
= – 15 x ^{– 4} – 6x ^{– 3}

(iv) x⁵ (3 – 6x^{– 9}).
हल:
माना f(x) = x⁵ (3 – 6x^{– 9})
= 3x⁵ – 6.x^{5 – 9} = 3x⁵ – 6x^{– 4}
∴ f'(x) = 3 . 5x^{5 – 1} – 6(- 4)x^{– 4 – 1}.

(v) x^{– 4} (3 – 4x^{– 5}).
हल:
माना f(x) = x^{– 4} (3 – 4x^{– 5}).
= 3. x^{– 4} – 4. x^{– 4} . x^{– 5} = 3x^{– 4} – 4x^{– 9}
अवकलज करने पर
f′(x) = 3. (- 4)x^{– 4 – 1} – 4 × (- 9)x^{– 9 – 1}
= – 12x^{– 5} + 36x^{– 10}

हल:
माना

प्रश्न 10.
प्रथम सिद्धांत से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए ।
हल:

प्रश्न 11.
निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) sin x cos x.
हल:
माना
f(x) = sin x cos x
∵ (uv)’ = u’v + uv’

= cosx . cos x + sin x (- sin x)
= cos²x – sin²x = cos 2x.

(ii) sec x.
हल:

(iii) 5 sec x + 4 cos x.
हल:

(iv) cosec x.
हल:
माना
f(x)= cosec x
और f(x + h)= cosec (x + h)
f(x + h) – f(x) = cosec (x + h) – cosec x

(v) 3 cot x + 5 cosec x.
हल:
f(x) = cot x
f(x + h) = cot (x + h)
f(x + h) – f(x) = cot (x + h) – cot x


= 3(- cosec² x) + 5 (- cosec x.cot x)
= – 3 cosec²x – 5 cosec x cot x.

(vi) 5 sin x – 6 cos x + 7.
हल:
माना
f(x) = 5 cos x – 6 – sin x) + 7

= 5 cos x + 6 (- sin x) + 0
= 5 cos x + 6sinx.

(vii) 2 tan x – 7 sec x.
हल: