Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

प्रश्न 1.
माचिस की डिब्बी के माप 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
हल:
माना कि माचिस की डिब्बी की लम्बाई l चौड़ाई b तथा ऊँचाई h है। प्रश्नानुसार
l = 4 cm
b = 2.5 cm
तथा h = 1.5 cm

अतः माचिस की डिब्बी का आयतन
= l × b × h
= (4 × 2.5 × 1.5) cm³
= 15 cm³
ऐसी ही 12 माचिस की डिब्बियों का आयतन
= (12 × 15) cm³
= 180 cm³

प्रश्न 2.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 m लम्बी, 5m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? (1 m³ = 1000l)
हल:
प्रश्नानुसार घनाभाकार टंकी में पानी का आयतन
= 6 m × 5 m × 4.5 m [∵ आयतन = l × b × h]

= 135 m³
= 135 × 1000 लीटर
[∵ 1 m³ = 1000 लीटर]
= 135000 लीटर

प्रश्न 3.
एक घनाभाकार बर्तन 10 m लम्बा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?
हल:
माना कि घनाभाकार बर्तन को h मीटर ऊँचा बनाया जाए।
घनाभाकार बर्तन में द्रव का आयतन = 380 घनमीटर
अर्थात् l × b × h = 380
घनमीटर 10 × 8 × h = 380
या h = 10×8 m
h = 4.75 m उत्तर

प्रश्न 4.
8 m लम्बा, 6 m चौड़ा और 3 m गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रुपये प्रति m’ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार खोदे जाने वाले गड्ढे का आयतन
= l × b × h
= 8 m × 6 m × 3 m
= 144 m³
∴ गड्ढा खुदवाने का व्यय = (144 × 30) रु
= 4320 रु.

प्रश्न 5.
एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमश: 2.5 m और 10 m है, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि घनाभाकार टंकी की चौड़ाई = b m है।
इस टंकी की धारिता = 50000 लीटर
अर्थात् l × b × h = 50000 लीटर
या 2.5 m × b × 10 m = 50000
या 2.5 m × b × 10 m = 1000 m
[∵ 1 m³ = 1000l]
या 25b = 50
या b = 50/25 = 2 m

प्रश्न 6.
एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 m × 15 m × 6 m मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
हल:
गाँव में बनी हुई घनाभाकार टंकी की धारिता
= l × b × h
= 20 m × 15 m × 6 m
= 1800 m³
= 1800 × 1000 लीटर
[∵ 1 m = 1000 लीटर]
= 1800000 लीटर प्रतिदिन प्रति व्यक्ति पानी की आवश्यकता
= 150 लीटर

अतः 4000 व्यक्तियों हेतु प्रतिदिन आवश्यक पानी
= 150 × 4000 लीटर
= 600000 लीटर

= 1800000/600000
= 3 दिन

प्रश्न 7.
किसी गोदाम की माप 40 m × 25 m × 10 m हैं। इस गोदाम में 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?
हल:
प्रश्नानुसार घनाभाकार गोदाम का आयतन
= l × b × h
= 40 m × 25 m × 10 m
= 15000 m³

तथा लकड़ी के क्रेट का आयतन = l × b × h
= 1.5 m × 1.25 m × 0.5 m
= 0.9375 m³

अतः गोदाम में रखे जा सकने वाले अधिकतम लकडी के क्रेटों की संख्या

= 15000/0.9375
= 16000

प्रश्न 8.
12 cm भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की क्या भुजा होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल:
ठोस घन का आयतन = (भुजा)³
= (12 cm)³
= 12 cm × 12 cm × 12 cm
= 1728 cm³

प्रश्नानुसार ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। अतः प्रत्येक बनने वाले नए घन का आयतन = 1/8 × (मूल घन का आयतन)
= 1/8 × 1728 cm³
= 216 cm³

अतः बनने वाले नए घन की भुजा

पुनः मूल ठोस घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 6 (भुजा)²
= 6(12)²
= 6 × 12 × 12 cm²
= 864 cm²

तथा नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 (भुजा)²
= 6 (6 cm)²
= 6 × 6 × 6 cm²
= 216 cm²

= 864/216=4/1
अतः मूल घन तथा नए घन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 4 : 1

प्रश्न 9.
3m गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घण्टा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
हल:
प्रश्नानुसार नदी का जल 2 km प्रति घण्टा की चाल से बहकर समुद्र में गिरता है अर्थात् समुद्र में 1 घण्टे में 2 km लम्बी नदी का पानी गिरता है। अतः एक घण्टे में समुद्र में गिर रहे पानी का आयतन = घनाभ का आयतन
= l × b × h
= 2000 m × 40 m × 3 m [क्योंकि 1 km = 1000 m]
= 240000 m³

यह आयतन 1 घण्टे में या 60 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन है। अतः 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन
= 240000/60
= 4000 m³