Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6

Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.6

प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1000 cm = 1 लीटर)
हल:
प्रश्नानुसार बर्तन के आधार की परिधि = 132 cm
माना कि आधार की । त्रिज्या है तो परिधि = 2πr
2πr = 132 cm
या 2 × 22/7 × r = 132
r = 132 ×
r = 21 cm
प्रश्नानुसार बर्तन की ऊँचाई (1) = 25 cm
∴ बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन
= πr²h
= 22/7 × 21 × 21 × 25 cm³
= 22 × 3 × 21 × 25 cm³
= 34650 cm³

हम जानते हैं कि 1000 cm³ = 1 लीटर अतः
= 34650/1000 लीटर
= 34.65 लीटर

प्रश्न 2.
लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लम्बाई 35 cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 cm लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
हल:
बेलनाकार पाइप का
आन्तरिक व्यास = 24 cm

अतः पाइप की आन्तरिक त्रिज्या
(r) = 24/2 = 12 cm

बेलनाकार पाइप का बाहरी व्यास = 28 cm
∴ पाइप की बाह्य त्रिज्या r = 28/2 = 14 cm

प्रश्नानुसार पाइप की लम्बाई = 35 cm
लगी लकड़ी का आयतन = बेलन का बाह्य आयतन – बेलन का आन्तरिक आयतन
= πR²h – πr²h (∵ लम्बाई = ऊँचाई)
= πh(R² – r²)
= 22/7 × 35 [(14) – (12)]
= 22 × 5 [196 – 144]
= 110 × 52
= 5720 cm

∵ 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 gm
∴ 5720 cm लकड़ी का द्रव्यमान
= 0.6 × 5720 gm
= 3432 gm
= 3432/1000 kg [∵ 1000 gm = 1 kg]
= 3.432 kg

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है-
(i) लम्बाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और
(ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
हल:
(i) आयताकार स्थिति में
आयताकार आधार की लम्बाई = 5 cm
आयताकार आधार की चौड़ाई = 4 cm
टिन के डिब्बे की ऊँचाई = 15 cm

अतः आयताकार टिन के डिब्बे का आयतन
= l × b × h
= 5 cm × 4 cm × 15 cm
= 300 cm

(ii) बेलनाकार स्थिति मेंबेलन के आधार का व्यास = 7 cm
अत: बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = 7 cm
तथा बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm

अब बेलन की धारिता = बेलन का आयतन
= πr²h

= 11 × 7 × 5 cm³
= 385 cm³ ………..(ii)
अब बिन्दु (i) व (ii) के आधार पर हम देख सकते हैं कि बेलनाकार डिब्बे की धारिता 385 – 300 = 85 cm³ अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है, तो ज्ञात कीजिए
(i) आधार की त्रिज्या
(ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
प्रश्नानुसार बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 94.2 cm²

बेलन की ऊँचाई (h) = 5 cm

अब माना कि आधार की त्रिज्या r है।
∴ बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
अर्थात् 2πrh = 94.2 cm
या 2 × 3.14 × r × 5 = 94.2 cm

या r = 3 cm

अत: बेलन का आयतन = πr²h
= 3.14 × 3 × 3 × 5 cm
= 141. 3 cm

प्रश्न 5.
10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपये है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपये प्रति m² है, तो ज्ञात कीजिए
(i) बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता।
हल:
प्रश्नानुसार बर्तन के आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेन्ट कराने का व्यय = 2200 रु.
तथा दर = 20 रु. प्रति m²
(i) अतः बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि 1 m³ = 1 किलोलीटर, अतः
= 96.25 किलोलीटर

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?
हल:

अतः बर्तन बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल = बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो वृत्ताकार ढक्कनों का क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr²
= 2πr (h + r)
= 2 × 22/7 × 0.07 (1 + 0.07)
= 44/7 × 0.07 × 1.07
= 44 × 0.01 × 1.07
= 0.4708 m³

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14 cm है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन – ग्रेफाइट का आयतन
= (5.39 – 0.11) cm
= 5.28 cm³

प्रश्न 8.
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
हल:
माना कि रोगी के बेलनाकार कटोरे के वृत्तीय आधार की त्रिज्या r है।
∴ व्यास (2r) = 7 cm
या तथा कटोरे की ऊँचाई (h) = 4 cm
∴ बेलनाकार कटोरे का आयतन = πr²h

चूँकि कटोरा पूरी तरह से सूप से भरा हुआ है । अतः एक कटोरे में भरे गए सूप की मात्रा या आयतन = 154 cm³
अतः अस्पताल द्वारा तैयार किए गए 250 रोगियों हेतु सूप की कुल मात्रा
= (250 × 154) cm³
= 38500 cm³
= 38500/1000 लीटर
क्योंकि 1 लीटर = 1000 cm³
= 38.5 लीटर