Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं, तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल-

यहाँ शंकु की त्रिज्या = अर्द्धगोले की त्रिज्या = 1 cm
∴ R = 1 cm
और शंकु की ऊँचाई (H) = 1 cm
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्द्धगोले का आयतन

∴ ठोस का आयतन = π cm³

प्रश्न 2.
एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली ऐलमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लम्बाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंक की ऊँचाई 2 cm हो, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आन्तरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।)
हल-
यहाँ शंकु की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या (R) = 3/2 cm
∴ R = 1.5 cm
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (h) = 2 cm
∴ बेलन की ऊँचाई = 12 – 2 – 2 = 8
H = 8 cm

= 22 × 3
= 66 cm³
अतः बेलन में हवा का आयतन = 66 cm³

प्रश्न 3.
एक गुलाब जामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाब जामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाब जामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्द्धगोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है (देखिए आकृति)।

हल-
गुलाब जामुन बेलन के आकार का है।
यहाँ बेलन का व्यास = अर्द्धगोले का व्यास = 2.8 cm
बेलन की त्रिज्या = अर्द्धगोले की त्रिज्या (R) = 2.8/2 = 1.4 cm
R = 1.4 cm

बेलनाकार भाग की ऊँचाई = 5 – 1.4 – 1.4
H = (5 – 2.8) cm
H = 2.2 cm
एक गुलाब जामुन का आयतन = बेलन का आयतन + 2[अर्द्धगोले का आयतन]

एक गुलाब जामुन का आयतन = 25.05 cm³
अब 45 गुलाब जामुनों का आयतन = 45 × 25.05 cm³ = 1127.25 cm³
∴ चीनी की चाशनी का आयतन = 45 गुलाब जामुनों के आयतन का 30%

= 338.175 cm³
= 338 cm³

प्रश्न 4.
एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।

हल-
प्रश्नानुसार,
घनाभ की लम्बाई (L) = 15 cm
घनाभ की चौड़ाई (B) = 10 cm
घनाभ की ऊँचाई (H) = 3.5 cm
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
शंक्वाकार गड्ढे की ऊँचाई (h) = 1.4 cm
कलमदान में लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 4[शंकु का आयतन]

अतः पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन = 523.533 cm³

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एकचौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-
शंकु की त्रिज्या (R) = 5 cm
शंकु की ऊँचाई (H) = 8 cm
सीसे की प्रत्येक गोली की त्रिज्या (r) = 0.5 cm

माना कि शंक में डाली गई गोलियों की संख्या = N तो पानी का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है।
N [सीसे की एक गोली का आयतन] = 1/4 शंकु में पानी का आयतन

अतः बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या = 100

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तम्भ बना है। इस स्तम्भ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है। (π = 3.14 लीजिए।)
हल-
नीचे वाले बेलन का व्यास = 24 cm
नीचे वाले बेलन की त्रिज्या (R) = 12 cm
नीचे वाले बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm
ऊपर वाले बेलन की त्रिज्या (r) = 8 cm
ऊपर वाले बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm

स्तम्भ का आयतन = नीचे वाले बेलन का आयतन + ऊपर वाले बेलन का आयतन
= πR²H + πr²h 
= 3.14 × 12 × 12 × 220 + 3.14 × 8 × 8 × 60
= 99475.2 + 12057.6
= 111532.8 cm³
स्तम्भ का आयतन = 111532.8 cm³
1 cm³ का द्रव्यमान = 8 gm
111532.8 cm³ का द्रव्यमान = 8 × 111532.8
= 892262.4 gm

= 892.2624 kg
स्तम्भ का द्रव्यमान = 892.26 kg

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्ब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ शंकु की त्रिज्या = अर्द्धगोले की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या

R = 60 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 120 cm
बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm
बेलनाकार बर्तन का आयतन = πR²H
= 22/7 × 60 × 60 × 180
= 22/7 × 3600 × 180
बेलन में डाले गए ठोस का आयतन = अर्द्धगोले का आयतन + शंकु का आयतन

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लम्बाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाले पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपर्युक्त मापन आन्तरिक मापन है और π = 3.14.
हल-
गर्दन का व्यास (बेलनाकार भाग) = 2 cm
∴ गर्दन की त्रिज्या (r) = 1 cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (H) = 8 cm
गोलाकार भाग का व्यास = 8.5 cm
गोलाकार भाग की त्रिज्या (R) = 8.5/2 = 4.25 cm

बर्तन में पानी का आयतन = गोले का आयतन + बेलन का आयतन
= 4/3 πR³ + πr²H
= 4/3 × 3.14 × 4.25 × 4.25 × 4.25 + 3.14 × 1 × 1 × 8
= 321.39 + 25.12
= 346.51 cm³
बर्तन में पानी का आयतन = 346.51 cm³ और बच्चे द्वारा दिया गया उत्तर सही नहीं है।