Chapter 13 Surface Areas and Volumes (Hindi Medium)

Chapter 13 Surface Areas and Volumes

प्रश्नावली 13.1

प्रश्न 1.
1.5 मीटर लम्बा, 1.25 मीटर चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए :
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 मीटर शीट का मूल्य 20 है।
हल-
(i) दिया है, प्लास्टिक के डिब्बे की लम्बाई (l) = 1.5 मीटर,
चौड़ाई (b) = 1.25 मीटर तथा
ऊँचाई (h) = 65 सेमी या 0.65 मीटर
डिब्बा ऊपरे से खुला है; अत: इसमें 1 फलक कम होगा।
अतः डिब्बे का पृष्ठ = सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल – ऊपरी फलक का क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl) – (l x b)
= 2 [(1.5 x 1.25) + (1.25 x 0.65) + (0.65 x 1.5)] – (1.5 x 1.25)
= 2 [1.875 + 0.8125 + 0.975] – 1.875
= 2 [3.6625] – 1.875
= 7.325 – 1.875
= 5.45 वर्ग मीटर
अत: डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल = 5.45 वर्ग मीटर।
(ii), प्लास्टिक शीट का मूल्य = शीट का क्षेत्रफल x मूल्य-दर = (5.45 x 20) = 109.00
अतः आवश्यक प्लास्टिक शीट का मूल्य = 109

प्रश्न 2.
एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मीटर, 4 मीटर और 3 मीटर हैं। ₹ 7.50 प्रति मीटर की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, कमरे की लम्बाई (l) = 5 मीटर, चौड़ाई (b) = 4 मीटर व ऊँचाई (h) = 3 मीटर
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = परिमाप x ऊँचाई।
= 2 (l + b) x h = 2 (5 + 4) x 3 = 18 x 3 = 54 वर्ग मीटर
छत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= (5 x 4) = 20 वर्ग मीटर
जिस भाग में सफेदी करानी है, उसका क्षेत्रफल = (54 + 20) वर्ग मीटर = 74 वर्ग मीटर
कमरे में सफेदी कराने का व्यय = क्षेत्रफल x मूल्य-दर = 74 x 7.50 = 555
अतः कमरे में सफेदी कराने का व्यय = 555

प्रश्न 3.
किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मीटर है। यदि 10 प्रति मीटर की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15,000 है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [संकेतः चारों डिब्बों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल]
हल-
माना हॉल की ऊँचाई h मीटर है।
दिया है, हॉल का परिमाप = 250 मीटर
हॉल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = हॉल का परिमाप x ऊँचाई = 250 x h = 250h वर्ग मीटर
तब हॉल की दीवारों पर पेंट कराने का व्यय = हॉल की दीवारों का क्षेत्रफल x पेंट कराने की मूल्य-दर
= 250 h x 10 = 2,500 h
प्रश्नानुसार, पेंट कराने का व्यय = 15,000
2,500 h = 15,000
h = 

 = 6 मीटर
अत: हॉल की ऊँचाई = 6 मीटर

प्रश्न 4.
किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 मीटर के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 सेमी x 10 सेमी x 7.5 सेमी विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?
हल-
दिया है, ईंट की विमाएँ 22.5 सेमी x 10 सेमी x 7.5 सेमी हैं।
l = 22.5 सेमी, b = 10 सेमी और h = 7.5 सेमी
प्रत्येक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 [lb + bh + hl]
= 2 [(22.5 x 10) + (10 x 7.5) + (7.5 x 22.5)]
=2 [2250 + 750 + 168.75]
= 2 x 468.75
= 937.5 वर्ग सेमी
माना कि ईंटों की अभीष्ट संख्या n है।
कुल ईंटों का क्षेत्रफल = 937.5 n वर्ग सेमी।
परन्तु प्रश्न में दिया गया है कि पेंट 9375 वर्ग मीटर क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है।
937.5 n वर्ग सेमी = 9.375 वर्ग मीटर
937.5 n वर्ग सेमी = 9.375 x 10,000 वर्ग सेमी (1 वर्ग मीटर = 10,000 वर्ग सेमी)
937.5 n = 93,750
n =   = 100
अतः ईंटों की अभीष्ट संख्या = 100

प्रश्न 5.
एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 सेमी लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी हैं।
(i) किस डिब्बे का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
हल-
(i) घनाकार डिब्बे को पार्व-पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 x भुजा² = 4 x (10)² = 400 वर्ग सेमी
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिमाप x ऊँचाई = 2 (लम्बाई + चौड़ाई) x ऊँचाई
= 2 (12.5 + 10) x 8 = 16 x 22.5 = 3600 वर्ग सेमी
अतः स्पष्ट है कि घनाकार डिब्बे का पृष्ठ (400 – 360) = 40 वर्ग सेमी अधिक है।
(ii) घनाकर डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 x भुजा² = 6 x (10)² = 600 वर्ग सेमी
घनाभाकार डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
=2 [ (12.5 x 10) + (10 x 8) + (8 x 12.5)]
= 2 [125 + 80 + 100]
= 2 x 305
= 610 वर्ग सेमी
अतः स्पष्ट है कि घनाकार डिब्बेका कुलपृष्ठीय क्षेत्रफल (610 – 600) = 10 वर्ग सेमी कम है।

प्रश्न 6.
एक छोटा पौधा-घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा-घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
हल-
(i) पौधा-घर की लम्बाई (l) = 30 सेमी, चौड़ाई (b) = 25 सेमी व ऊँचाई (h) = 25 सेमी।
पौधा-घर (ग्रीन हाउस) को सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
=2 [ (30 x 25) + (25 x 25) + (25 x 30)]
=2 [750 + 625 + 750]
= 2 x 2125
= 4250 वर्ग सेमी
अत: पौधा-घर बनाने में प्रयुक्त काँच का क्षेत्रफल = पौधा-घर (ग्रीन हाउस) का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4250 वर्ग सेमी
(ii) 12 किनारों में 4 लम्बाइयाँ, 4 चौड़ाइयाँ व 4 ऊँचाइयाँ होती हैं।
सभी किनारों की माप = 4 (लम्बाई + चौड़ाई + ऊँचाई) = 4 (30 + 25 + 25) सेमी = 4 x 80 सेमी = 320 सेमी
अतः आवश्यक टेप की लम्बाई = 320 सेमी

प्रश्न 7.
शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 सेमी x 20 सेमी x 5 सेमी और छोटे डिब्बों की माप 15 सेमी x 12 सेमी x 5 सेमी थीं। सभी प्रकार की अतिव्याप्तता.(overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत ₹ 4 प्रति 1000 सेमी² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
हल-
बड़े डिब्बे की विमाएँ 25 सेमी x 20 सेमी x 5 सेमी हैं।
l = 25 सेमी, b = 20 सेमी और h = 5 सेमी
बड़े डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2 [(25 x 20) + (20 x 5) + (5 x 25)]
= 2 (500 + 100 + 125)
= 2 x 725
= 1450 वर्ग सेमी
250 डिब्बों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 250 x 1450 = 3,62,500 वर्ग सेमी
छोटे डिब्बे की विमाएँ 15 सेमी x 12 सेमी x 5 सेमी हैं।
L = 15 सेमी, B = 12 सेमी व H = 5 सेमी
छोटे डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (LB + BH + HL)
= 2 [ (15 x 12) + (12 x 5) + (5 x 15)]
= 2 [180 + 60 + 75]
= 2 x 315
= 630 वर्ग सेमी
250 डिब्बों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 630 x 250 = 1,57,500 वर्ग सेमी
प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बों का कुल पृष्ठ = (3,62,500 + 1,57,500) वर्ग सेमी = 5,20,000 वर्ग सेमी
अतिव्याप्तता (overlaps) के लिए आरक्षित क्षेत्रफल = 5,20,000 का 5% = 5,20,000 x   = 26,000 वर्ग सेमी
डिब्बों के निर्माण में लगे गत्ते का कुल क्षेत्रफल = (5,20,000 + 26,000) वर्ग सेमी = 5,46,000 वर्ग सेमी
डिब्बों के निर्माण हेतु लागत = कुल गत्ते का क्षेत्रफल x मूल्य-दर = 5,46,000 वर्ग सेमी x ₹ 4 प्रति हजार वर्ग सेमी
=   = ₹ 2184
अत: प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की लागत = ₹ 2184

प्रश्न 8.
परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थायी स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर x 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
हल-
ढाँचे की विमाएँ 4 मीटर x 3 मीटर x 2.5 मीटर हैं।
l = 4 मीटर, b = 3 मीटर व h = 2.5 मीटर
ढाँचे का परिणाम = 2 (लम्बाई + चौड़ाई) = 2 (4 + 3) = 14
ढाँचे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिमाप x ऊँचाई = 14 x 2.5 = 35 वर्ग मीटर
छत या ऊपर के पृष्ठ का क्षेत्रफल = 4 x 3 = 12 वर्ग मीटर
कुल क्षेत्रफल = 35 + 12 = 47 वर्ग मीटर
अत: ढाँचे के निर्माण में 47 वर्ग मीटर तिरपाल की आवश्यकता होगी।

प्रश्नावली 13.2

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π =  लीजिए।
प्रश्न 1.
ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 2.
धातु की एक चादर से 1 मीटर ऊँची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4 सेमी और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है, ज्ञात कीजिए:
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
एक रोलर (roller) का व्यास 84 सेमी है और लम्बाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का वर्ग मीटर में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, रोलर का व्यास = 84 सेमी = 0.84 मीटर
रोलर की त्रिज्या (r) =   मीटर = 0.42 मीटर
और रोलर की लम्बाई (l) = 120 सेमी = 1.20 मीटर
रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2πrl (h = l)
= 2 x   x 0.42 x 120
= 3.168 वर्ग मीटर
रोलर द्वारा 1 चक्कर लगाकर समतल किया गया क्षेत्रफल = 3.168 वर्ग मीटर
रोलर द्वारा 500 चक्कर लगाकर समतल किया गया क्षेत्रफल = 500 x 3.168 = 1584 वर्ग मीटर
अतः खेल के मैदान का क्षेत्रफल = 1584 वर्ग मीटर

प्रश्न 5.
किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई 3.5 मीटर है। ₹ 12.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, बेलनाकार स्तम्भ का व्यास = 50 सेमी = 0.5 मीटर
बेलनाकार स्तम्भ की त्रिज्या (r) =   मीटर = 0.25 मीटर
और स्तम्भ की ऊँचाई (h) = 3.5 मीटर
बेलनाकार स्तम्भ का वक्र पृष्ठ = 2πrh
= 2 x   x 0.25 x 3.5 = 5.5 वर्ग मीटर
स्तम्भ पर पेंट कराने का व्यय = वक्र पृष्ठ x रंगवाने की मूल्य-दर = 5.5 x 12.50 = 368.75
अतः स्तम्भ पर पेंट कराने का व्यय = ₹ 68.75

प्रश्न 6.
एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 44 मीटर है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मीटर है तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई h मीटर है।
बेलन की त्रिज्या (r) = 0.7 मीटर
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 x   x 0.7 x h = 44h
परन्तु प्रश्न में दिया गया है कि बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 44 वर्ग मीटर है।
44 h = 44
h = 1 मीटर
अतः बेलन की ऊँचाई = 1मीटर

प्रश्न 7.
किसी वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास 3.5 मीटर है और यह 10 मीटर गहरा है। ज्ञात कीजिए:
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) ₹ 40 प्रति मीटर की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
हल-
दिया है, वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास = 3.5 मीटर
वृत्ताकार कुएँ की आन्तरिक त्रिज्या (r) =   मीटर
तथा कुएँ की गहराई (h) = 10 मीटर
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 x   x   x 10 = 110 वर्ग मीटर
(ii) वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय = कुएँ का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल x प्लास्टर का प्रति वर्ग मीटर मूल्य
= 110 x 40 = 4400

प्रश्न 8.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयन्त्र में 28 मीटर लम्बाई और 5 सेमी व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयन्त्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?
हल-
दिया है, बेलनाकार पाइप का व्यास = 5 सेमी = 0.05 मीटर
बेलनाकार पाइप की त्रिज्या (r) =   = 0.025 मीटर
और पाइप की लम्बाई (l) = 28 मीटर
पाइप की वक्र पृष्ठ = 2πrh = 2πrl = 2 x   x 0.025 x 28 = 44 वर्ग मीटर
अत: संयन्त्र में गर्मी देने वाला कुल पृष्ठ = 4.4 वर्ग मीटर

प्रश्न 9.
ज्ञात कीजिए।
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 मीटर और ऊँचाई 4.5 मीटर है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का   भाग बनाने में नष्ट हो गया है?

प्रश्न 10.
आकृति में, आप एक लैम्प शेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सेमी है और ऊँचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 सेमी अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैम्प शेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।

हल-
लैम्प शेड वृत्ताकार है।
लैम्प शेड का व्यास = 20 सेमी
लैम्प शेड की त्रिज्या (r) =   सेमी = 10 सेमी
और लैम्प शेड की ऊँचाई = 30 सेमी
लैम्प शेड को सजाने में दोनों ओर 2.5 सेमी कपड़ा अतिरिक्त छोड़ा जाता है।
कपड़े की लम्बाई (l) = (30 + 2.5 + 2.5) सेमी = 35 सेमी
कपड़े का क्षेत्रफल = 2πrh = 2πrl [h = l]
= 2 x   x 10 x 35 = 2200 वर्ग सेमी
अत: लैम्प शेड को ढकने के लिए आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल 2200 वर्ग सेमी होगा।

प्रश्न 11.
किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 सेमी त्रिज्या और 10.5 सेमी ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?

प्रश्नावली 13.3

जब तक अन्यथा न कहा जाए π =  लीजिए।
प्रश्न 1.
एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 2.
एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 12 मीटर और आधार का व्यास 24 मीटर है।

प्रश्न 3.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या,
(ii) शंकु को कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।

प्रश्न 4.
शंकु के आकार का एक तम्बू 10 मीटर ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मीटर है। ज्ञात कीजिए:
(i) तम्बू की तिर्यक ऊँचाई
(ii) तम्बू में लगे कैनवास (canvas) की लागत, यदि 1 मीटर² कैनवास की लागत ₹ 70 है।

प्रश्न 5.
8 मीटर ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 मीटर वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 3 मीटर चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कुटाई में 20 सेमी तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14) का प्रयोग कीजिए।

सिलाई इत्यादि में प्रयुक्त तिरपाल = 20 सेमी = 0.20 मीटर
अतः तिरपाल की कुल लम्बाई = (62.80 + 0.20) मीटर = 63 मीटर

प्रश्न 6.
शंकु के आधार की एक गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई और आधार का व्यास क्रमशः 25 मीटर और 14 मीटर है। इसकी वक्र पृष्ठ पर ₹ 210 प्रति 100 मीटर² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7.
एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्यान सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8.
किसी बस स्टॉप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 सेमी है और ऊँचाई 1 मीटर है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर ₹ 12 प्रति मीटर² है तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी? ( π = 3.14 और √1.04 = 1.02 का प्रयोग कीजिए।)

प्रश्नावली 13.4

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π =  लीजिए।
प्रश्न 1.
निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) 10.5 सेमी
(ii) 5.6 सेमी
(iii) 14 सेमी।

प्रश्न 2.
निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) 14 सेमी,
(ii) 21 सेमी,
(iii) 35 मीटर।

प्रश्न 3.
10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4.
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 सेमी से 14 सेमी हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, पहले गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 7 सेमी
गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 4 x π x 7 x 7 = 196π वर्ग सेमी
हवा भरने के बाद गुब्बारे की त्रिज्या (R) = 14 सेमी।
हवा भरने के बाद गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 π x 14 x 14 = 784 π वर्ग सेमी।
अत: गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात = 196π : 784 π = 1 : 4

प्रश्न 5.
पीतल से बने एक अर्द्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास 10.5 सेमी है। ₹16 प्रति 100 सेमी² की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।
हल-
माना गोले की त्रिज्या r सेमी है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
परन्तु प्रश्न में दिया गया है कि गोले का पृष्ठ 154 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 7.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8.
एक अर्द्धगोलाकार कटोरा 0.5 सेमी मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या 5 सेमी है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, एक लम्बवृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है। ज्ञात कीजिए।
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात

हल-
चित्र में लम्बवृत्तीय बेलन गोले को पूर्णतया घेरे हुए है।
बेलन की त्रिज्या (R) = गोले की त्रिज्या (r)
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πRH
चित्र से स्पष्ट है कि बेलन की ऊँचाई H = 2r
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR(2r)
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR(2r) = 2πr (2r) = 4πr² (∵ R = r)
अतः बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
(iii) उक्त दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात = 4πr² : 4πr² = 1 : 1

प्रश्नावली 13.5

प्रश्न 1.
माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी x 2.5 सेमी x 1.5 सेमी हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
हल-
माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी x 2.5 सेमी x 1.5 सेमी है।
l = 4 सेमी, b = 2.5 सेमी तथा h = 1.5 सेमी
माचिस की डिब्बी का आयतन = lbh = 4 x 2.5 x 1.5 = 15 घन सेमी
अतः 12 माचिसों के पैकेट का आयतन = 15 x 12 = 180 घन सेमी

प्रश्न 2.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 मीटर लम्बी, 5 मीटर चौड़ी और 45 मीटर गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? (1 घन मीटर =1000 लीटर)
हल-
दिया है, घनाभाकार टंकी की लम्बाई (l) = 6 मीटर, चौड़ाई (b) = 5 मीटर और गहराई (h) = 4.5 मीटर।
टंकी का आयतन = lbh = 6 x 5 x 4.5 = 135 घन मीटर
टंकी में समाहित हो सकने वाले पानी का आयतन = 135 घन मीटर = 135 x 1000 लीटर = 1,35,000 लीटर (1 घन मीटर = 1000 लीटर)
अतः टंकी में 135,000 लीटर पानी आ सकता है।

प्रश्न 3.
एक घनाभाकार बर्तन 10 मीटर लम्बा और 8 मीटर चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके?
हल-
माना बर्तन h मीटर ऊँचा बनाया जाए।
दिया है, घनाभाकार बर्तन की लम्बाई (l) = 10 मीटर
और चौड़ाई (b) = 8 मीटर
घनाभाकार बर्तन का आयतन = lbh = 10 x 8 x h = 80 h घन मीटर
प्रश्नानुसार, बर्तन में समा सकने वाले द्रव का आयतन 380 घन मीटर है।
80 h = 380 ⇒ h = 4.75 मीटर
अतः बर्तन की ऊँचाई = 4.75 मीटर

प्रश्न 4.
8 मीटर लम्बा, 6 मीटर चौड़ा और 3 मीटर गहरा एक घनाभाकार गद्बा खुदवाने में ₹ 30 प्रति घन मीटर की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, घनाभाकार गट्टे की लम्बाई (l) = 8 मीटर, चौड़ाई (b) = 6 मीटर तथा गहराई (h) = 3 मीटर
गल्ले का आयतन = lbh = 8 x 6 x 3 = 144 घन मीटर
1 घन मीटर गड्ढा खुदवाने का व्यय = ₹ 30
144 घन मीटर गड्ढा खुदवाने का व्यये = 30 x 144 = ₹ 4320
अतः गद्बा खुदवाने में होने वाला व्यय = ₹ 4320

प्रश्न 5.
एक घनाभाकार पानी की टंकी की धारिता 50,000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमशः 2.5 मीटर और 10 मीटर है तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना टंकी की चौड़ाई 5 मीटर है।
दिया है, टंकी की लम्बाई (l) = 2.5 मीटर
और टंकी की गहराई (h) = 10 मीटर।
घनाभाकार टंकी का आयतन = lbh = 2.5 x b x 10 = 25b घन मीटर
टंकी की धारिता = घनाभाकार टंकी का आयतन = 25b घन मीटर
= 25b x 1000 लीटर (1 घन मीटर = 1000 लीटर) = 25,000b लीटर।
परन्तु प्रश्न में दिया गया है कि टंकी की धारिता 50,000 लीटर है।
25,000 b = 50,000 ⇒ b = 2 मीटर
अतः टंकी की चौड़ाई = 2 मीटर

प्रश्न 6.
एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 मीटर x 15 मीटर x 6 मीटर मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
हल-
दिया है, गाँव की जनसंख्या = 4000
प्रति व्यक्ति प्रतिदिन पानी की आवश्यकता = 150 लीटर
प्रतिदिन गाँव के लिए आवश्यक पानी की मात्रा = 4000 x 150 लीटर = 6,00,000 लीटर = 600 घन मीटर (1000 लीटर = 1 घन मीटर)
टंकी का आयतन = l x b x h = 20 x 15 x 6 = 1800 घन मीटर
अतः पानी से भरी टंकी गाँव के लिए   = 3 दिन के लिए पर्याप्त होगी।

प्रश्न 7.
किसी गोदाम की मापें 40 मीटर x 25 मीटर x 10 मीटर हैं। इस गोदाम में 1.5 मीटर x 1.25 मीटर x 0.5 मीटर की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?
हल-
माना लकड़ी के n क्रेट रखे जा सकते हैं।
प्रत्येक क्रेट की माप 1.5 मीटर x 1.25 मीटर x 0.5 मीटर है।
प्रत्येक क्रेट का आयतन = 1.5 x 125 x 0.5 = 0.9375 घन मीटर
सभी n क्रेट्स का आयतन = 09375 n घन मीटर।
गोदाम का आयतन = 40 मीटर x 25 मीटर x 10 मीटर = 10,000 घन मीटर
गोदाम का आयतन लकड़ी के n क्रेट्स के आयतन के बराबर होना चाहिए।
0.9375 n = 10,000 ⇒ n =   = 10666
अत: गोदाम में 10666 क्रेट्स रखे जा सकते हैं।

प्रश्न 8.
12 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की भुजा क्या होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल-
12 सेमी भुजा वाले ठोस घन का आयतन = (12)³ = 12 x 12 x 12 = 1728 घन सेमी
इस घने को 8 समान आयतन वाले घनों में काटा जाता है।

प्रश्न 9.
3 मीटर गहरी और 40 मीटर चौड़ी एक नदी 2 किमी प्रति घण्टा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
हल-
दिया है, नदी की गहराई = 3 मीटर और चौड़ाई = 40 मीटर
नदी का परिच्छेद क्षेत्रफल (sectional area) = 3 x 40 = 120 वर्ग मीटर
नदी के पानी की चाल 2 किमी प्रति घण्टा है।
1 मिनट में नदी के विस्थापित पानी की लम्बाई =   =   मीटर
1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन = 1 मिनट में विस्थापित पानी की लम्बाई x नदी का परिच्छेद क्षेत्रफल
=   x 120 = 4000 घन मीटर
अत: 1 मिनट में समुद्र में 4000 लीटर पानी गिरेगा।

प्रश्नावली 13.6

जब तक अन्यथा न कहा जाए π =  लीजिए।
प्रश्न 1.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी और उसकी ऊँचाई 25 सेमी है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000 सेमी³ = 1 लीटर)

प्रश्न 2.
एक लकड़ी के बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है। इस पाइप की लम्बाई 35 सेमी है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि 1 सेमी लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।

प्रश्न 3.
एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है :
(i) लम्बाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 सेमी है और
(ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा।
किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
हल-
दिया है, टिन के डिब्बे की लम्बाई (l) = 5 सेमी
चौड़ाई (b) = 4 सेमी
और ऊँचाई (h) = 15 सेमी
टीन के डिब्बे की धारिता = lbh = 5 x 4 x 15 = 300 घन सेमी
वृत्तीय आधार वाले डिब्बे का व्यास = 7 सेमी
वृत्तीय आधार वाले डिब्बे की त्रिज्या (r) =   सेमी
और डिब्बे की ऊँचाई (h’) = 10 सेमी
बेलनाकार डिब्बे की धारिता = πr²h’ =   x   x   x 10 घन सेमी = 385 घन सेमी
अतः स्पष्ट है कि बेलनाकार डिब्बे की धारिता 85 घन सेमी अधिक है।

प्रश्न 4.
यदि एक बेलन का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी है और उसकी ऊँचाई। 5 सेमी है तो ज्ञात कीजिए:
(i) आधार की त्रिज्या,
(ii) बेलन का आयतन (π = 3.14 लीजिए)
हल-
(i) माना बेलन के आधार की त्रिज्या r सेमी है।
दिया है, बेलन की ऊँचाई (h) = 5 सेमी
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 x 3.14 x r x 5 = 314 वर्ग सेमी
परन्तु प्रश्न में दिया गया है कि बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी है।
31.4r = 94.2 ⇒ r = 3 सेमी
अतः बेलन के आधार की त्रिज्या = 3 सेमी
(ii) दिया है, बेलन की त्रिज्या (r) = 3 सेंमी तथा बेलन की ऊँचाई (h) = 5 सेमी
बेलन का आयतन = πr²h = 3.14 x 3 x 3 x 5 = 3.14 x 45 = 1413 घन सेमी
अतः बेलन का आयतन = 141.3 घन सेमी

प्रश्न 5.
10 मीटर गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय ₹ 2200 है। यदि पेंट कराने की दर ₹ 20 प्रति मीटर² है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) बर्तन को आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता

प्रश्न 6.
ऊँचाई 1 मीटर वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?

प्रश्न 7.
सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यन्तर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 मिमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है। यदि पेंसिल की लम्बाई। 14 सेमी है तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8.
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 सेमी ऊँचाई तक भरा जाता है तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
हल-
दिया है, बेलनाकार कटोरे का व्यास = 7 सेमी
कटोरे की त्रिज्या (r) =   सेमी
और कटोरे की ऊँचाई (h) = 4 सेमी
कटोरे में डाले गए सूप का आयतन = πr²h
=   x   x   x 4 = 154 घन सेमी
1 रोगी के लिए आवश्यक सूप की मात्रा = 154 घन सेमी
250 रोगियों के लिए आवश्यक सूप की मात्रा = 250 x 154 = 38,500 घन सेमी
अतः प्रतिदिन 38,500 घन सेमी सूप तैयार किया जाता है।

प्रश्नावली 13.7

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π =  लीजिए।
प्रश्न 1.
उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।
(ii) ऊँचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी है।

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी है तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14) प्रयोग कीजिए।

प्रश्न 4.
यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 48π सेमी है तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 मीटर वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 मीटर गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?

प्रश्न 6.
एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है तो ज्ञात कीजिए :
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सेमी के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 9.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5 मीटर व्यास और 3 मीटर ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए कैनवास से ढंका जाता है। वॉछित कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, गेहूं की देरी से बने शंकु की ऊँचाई (h) = 3 मीटर तथा
आधार का व्यास = 10.5 मीटर =   मीटर

प्रश्नावली 13.8

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π =  लीजिए।
प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्नलिखित हैं:
(i) 7 सेमी
(ii) 0.63 मीटर

प्रश्न 2.
उस डोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्नलिखित है:
(i) 28 सेमी
(ii) 0.21 मीटर

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घन सेमी है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
हल-
माना पृथ्वी का व्यास 4D मीटर है।
पृथ्वी की त्रिज्या (R) = 2D मीटर
प्रश्नानुसार,चन्द्रमा का व्यास =   x पृथ्वी का व्यास

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है।

प्रश्न 6.
एक अर्द्धगोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या 1 मीटर है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, टंकी अर्द्धगोलाकार है और उसकी आन्तरिक त्रिज्या (r) = 1 मीटर
तथा टंकी की चादर की मोटाई = 1 सेमी =   मीटर = 001 मीटर
टंकी की बाह्य त्रिज्या (R) = (1 + 0.01) मीटर = 1.01 मीटर

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले के आकार का है। अन्दर से, इसमें सफेदी कराने में ₹ 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 2 प्रति वर्ग मीटर है तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुम्बद को आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन
हल-
(i) माना अर्द्धगोलाकार गुम्बद की त्रिज्या मीटर है।
अर्द्धगोलाकार गुम्बद खोखला होता है।
गुम्बद का आन्तरिक पृष्ठ = 2πr² वर्ग मीटर
तब गुम्बद के आन्तरिक पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय = 2πr² x 2 = 4πr²
परन्तु प्रश्न में दिया गया है कि सफेदी कराने की व्यय ₹ 498.96 है।
4πr² = 498.96

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S” है। ज्ञात कीजिए :
(i) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S” का अनुपात।

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 मिमी व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (मिमी में) की आवश्यकता होगी?

प्रश्नावली 13.9 (ऐच्छिक)

प्रश्न 1.
एक लकड़ी के बुक-शैल्फ (book- shelf) की बाहरी विमाएँ निम्नलिखित हैं ऊँचाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौड़ाई = 85 सेमी। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश कराई जाती है और आन्तरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पॉलिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सेमी है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति सेमी है तो इस बुक-शैल्फ पर पॉलिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल-
बुक-शैल्फ के बाहरी फलकों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 [(25 x 110) + (25 x 85)] + (85 x 110) वर्ग सेमी
= 2 [2,750 + 2,125] + 9,350 वर्ग सेमी।
= (2 x 4,875) + 9,350 वर्ग सेमी
= 9,750 + 9,350 वर्ग सेमी।
= 19,100 वर्ग सेमी
इसके अतिरिक्त सामने के फ्रेम का क्षेत्र और पेंट होगा। फ्रेम के पृष्ठ का क्षेत्रफल
= (110 x 85) – [ (30 + 30 + 30 + 10) x 75] + (75 x 5) + (75 x 5) वर्ग सेमी
= 9,350 – 7,500 + 375 + 375 वर्ग सेमी
= 2,600 वर्ग सेमी

जिस भाग पर पॉलिश होनी है, उसका क्षेत्रफल = 19,100 + 2,600 = 21,700 वर्ग सेमी
अतः पॉलिश कराने का व्यय = 21,700 x 20 पैसे = 4,34,000 पैसे या ₹ 4,340
बुक-शैल्फ के आन्तरिक पृष्ठ को 3 भागों में चार पट्टिकाओं द्वारा बाँटा गया है।
चारों पट्टिकाओं की चौड़ाई = 4 x 5 = 20 सेमी
प्रत्येक खाने की ऊँचाई =   = 30 सेमी
और प्रत्येक खाने की आन्तरिक गहराई = 25 – 5 = 20 सेमी
प्रत्येक खाने का आन्तरिक पृष्ठ
= 2 [(75 x 20) + (30 x 20)] + (75 x 30) वर्ग सेमी है
= 2[ 1,500 + 600] + 2,250 वर्ग सेमी
= 4,200 + 2,250 = 6,450 वर्ग सेमी।
सम्पूर्ण बुक-शैल्फ को आन्तरिक पृष्ठ = 3 x 6,450 वर्ग सेमी = 19,350 वर्ग सेमी
बुक-शैल्फ के आन्तरिक पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय = 19,350 x 10 पैसे = 1,93,500 पैसे = ₹ 1,935
बुक-शैल्फ को रैंगवाने एवं पॉलिश कराने का कुल व्यय = (4,340 + 1,935) = ₹ 6,275
अतः बुक-शैल्फ को रैंगवाने और पॉलिश कराने का व्यय = ₹ 6,275

प्रश्न 2.
किसी घर के कम्पाउण्ड की सामने की दीवार को 21 सेमी व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिकाकर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 सेमी त्रिज्या और ऊँचाई 7 सेमी का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति सेमी² तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति सेमी² हो तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3.
एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?
हल-
माना गोले का व्यास d है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π ( )² (∵ r =  )
गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है।