Chapter 15 वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल  Ex 15.2

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी. है तथा केन्द्र पर अन्तरित कोण 60° है। चाप की लम्बाई ज्ञात करो।
हल:
वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 सेमी.
केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 60°

प्रश्न 2.
एक वृत्त की त्रिज्या 10.5 सेमी. और त्रिज्यखण्ड का योग 45° है। लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त की त्रिज्या, (r) = 10.5 सेमी..
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 45°
लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल =

= 43.31 वर्ग सेमी.
अतः त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 43.31 वर्ग सेमी. उत्तर

प्रश्न 3.
एक वृत्त के चाप की लम्बाई 12 सेमी. और त्रिज्या 7 सेमी. है। वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है- वृत्त के चाप की लम्बाई (L) = 12 सेमी.
तथा वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 सेमी.
हम जानते हैं कि यदि चाप की लम्बाई (L) तथा वृत्त की त्रिज्या (r) है तब लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
A =  \frac { 1 } { 2 } \mathbf { L } \times r
A = 

\frac { 1 } { 2 } \times 12 \times 7
= 6 × 7 = 42 वर्ग सेमी.
अतः लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 42 वर्ग सेमी. उत्तर

प्रश्न 4.
त्रिज्या 21 सेमी. वाले वृत्त का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए
(i) चाप की लम्बाई :
(ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
हल:
दिया है-वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 सेमी.
वृत्त के चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण (θ) = 60°
(i) चाप की लम्बाई (L) =

= 22 सेमी. उत्तर

(ii) त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल =

= 231 वर्ग सेमी. उत्तर

(iii) जीवा PQ द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अतः वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 40.047 वर्ग सेमी. उत्तर

प्रश्न 5.
एक घड़ी की मिनट की सुई 10.5 सेमी. लम्बी है। मिनट की सुई। द्वारा 10 मिनट में बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
\left( \pi = \frac { 22 } { 7 } \right)
हल:
घडी की मिनट की सुई की लम्बाई = 10.5 सेमी.
मिनट की सुई द्वारा 60 मिनट में केन्द्र पर बनाया गया कोण = 360°
मिनट की सुई द्वारा 1 मिनट में केन्द्र पर बनाया गया कोण  = \frac { 360 ^ { \circ } } { 60 }
मिनट की सुई द्वारा 10 मिनट में केन्द्र पर बनाया गया कोण  = \frac { 360 } { 60 } \times 10
= 60°
अतः मिनट की सुई द्वारा 10 मिनट में बनाए गए त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल

अत: मिनट की सुई 10 मिनट द्वारा रचित क्षेत्रफल = 57.57 वर्ग सेमी. उत्तर

प्रश्न 6.
3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त में एक जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण 90° है। इस जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
\left( \pi = \frac { 22 } { 7 } \right)
हल:
वृत्त की त्रिज्या (r) = 3.5 सेमी.
जीवा द्वारा केन्द्र पर अन्तरिक कोण (θ) = 90°
जीवा द्वारा बने लघुवृत्तखण्ड का क्षेत्रफल =
= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 } = \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } \sin \theta

अतः जीवा द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 3.5 वर्ग सेमी. उत्तर

प्रश्न 7.
एक वृत्तं के चतुर्थाश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी. है।
हल:
दिया हैवृत्त की परिधि = 22 सेमी.
\Rightarrow \quad 2 \pi r = 22

अतः वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 9.625 वर्ग सेमी. उत्तर

प्रश्न 8.
एक घड़ी के घण्टे की सुई 5 सेमी. लम्बी है। 70 मिनट में इस सुई द्वारा बनाए गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
घण्टे की सुई की लम्बाई = 5 सेमी.
अतः घण्टे की सुई 5 सेमी, त्रिज्या का त्रिज्य खण्ड बनाएगी
घण्टे की सुई द्वारा 12 घण्टे में बनाया गया कोण = 360°
घण्टे की सुई द्वारा 1 घण्टे में बनाया गया कोण  = \frac { 360 } { 12 } = 30 ^ { \circ }
घण्टे की सुई द्वारा 1 मिनट में बनाया गया कोण  = \frac { 30 } { 60 } = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \circ }
अतः घण्टे की सुई द्वारा 7 मिनट में बनाया गया कोण  = \frac { 1 } { 2 } \times 70 = 35 ^ { \circ }
घण्टे की सुई द्वारा निर्मित त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल  = \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 }

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में ABCD एक आयत है। भुजा AB = 10 सेमी., BC = 7 सेमी. है। आयत के प्रत्येक शीर्ष पर 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त खींचे गये हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
\left( \pi = \frac { 22 } { 7 } \right)

हल:
प्रश्नानुसार, आयत ABCD की लम्बाई (AB) = 10 सेमी.
आयत ABCD की चौड़ाई (BC) = 7 सेमी.
आयत के प्रत्येक शीर्ष पर 3.5 सेमी. त्रिज्या के वृत्त खींचे गये हैं।
चारों चतुर्थांश मिलाकर एक वृत्त बनता है जिसका क्षेत्रफल
= \pi r ^ { 2 } = \pi ( 3.5 ) ^ { 2 }
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल