Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 16 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 16.1

प्रश्न 1.
एक घनाभ 12 सेमी. लम्बा, 9 सेमी. चौड़ा और 5 सेमी. ऊँचा है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
घनाभ की लम्बाई = 12 सेमी.
चौड़ाई = 9 सेमी.
ऊँचाई = 5 सेमी.
घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 [लं. × चौ. + चौ. × ॐ. + ॐ × लं].
= 2 [12 × 9 + 9 × 5 + 5 × 12]
= 2 [108 + 45 + 60] = 2 × 213
= 426 वर्ग सेमी. उत्तर
घनाभ का आयतन = ल. × चौ. × ऊँ.
= 12 × 9 × 5.
= 540 घन सेमी. उत्तर

प्रश्न 2.
तीन घनों की भुजाएँ क्रमशः 8 सेमी., 6 सेमी. और 1 सेमी. हैं। इन्हें पिघलाकर एक नया घने बनाया जाता है। नये घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
तीन घनों की भुजाएँ क्रमशः 8 सेमी., 6 सेमी. व 1 सेमी. है। तीनों घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाने पर बनने वाले नये घन का आयतन
= तीनों घनों के आयतनों का योग
= 83 + 63 + 13
[∵ घन का आयतन = (भुजा)3]
= 512 + 216 + 1
= 729 घन सेमी. तब
घन की भुजा = (729)1/3 = 9 सेमी.
तब नये घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल।
= 6(भुजा)2 = 6 × (9)2
= 6 × 9 × 9 = 486 वर्ग सेमी. उत्तर

प्रश्न 3.
एक सन्दूक की माप 50 सेमी. × 36 सेमी. × 25 सेमी. है। इस संदूक का कवर बनाने के लिए कितने वर्ग सेमी. कपड़े की आवश्यकता होगी ?
हल:
सन्दूक की लम्बाई, चौड़ाई व ऊँचाई की माप ।
= 50 सेमी. × 36 सेमी. × 25 सेमी.
सन्दूक को सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (लं. × चौ. + चौ. × ॐ.+ ॐ × लं.)
= 2 (50 × 36 + 36 × 25 + 25 × 50)
= 2 (1800 + 900 + 1250)
= 2 × 3950
= 7900 वर्ग सेमी.
अतः संदूक का कवर बनाने के लिए 7900 वर्ग सेमी. कपड़े की. आवश्यकता होगी।

प्रश्न 4.
एक घन का प्रत्येक पृष्ठ 100 वर्ग सेमी. है। यदि आधार के समान्तर समतल द्वारा घन को काटकर दो बराबर भागों में बाँट दिया जाए, तो प्रत्येक समान भाग का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि आधार के समान्तर समतल द्वारी घन को काटकर दो बराबर भागों में बाँट दिया जाए तो [हम जानते हैं कि घनाकार आकृति के छः फलक होते हैं] दो फलकों को छोड़कर शेष चार फलकों का क्षेत्रफल प्रत्येक का आधाआधा अर्थात् 50-50 वर्ग सेमी. हो जाएगा। इस प्रकार अलग हुए प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल
= 100 + 100 + (50 + 50 + 50 + 50) वर्ग सेमी.
= 200 + 200 वर्ग सेमी.
= 400 वर्ग सेमी.
अत: दो भाग किए, प्रत्येक आयतफलकी का क्षेत्रफल 400 वर्ग सेमी. होगा। उत्तर
दूसरी विधि-घन की भुजा  = \sqrt { 100 } = 10  सेमी.
आधार के समान्तर समतल द्वारा घन को दो बराबर भागों में बांटा गया।
अतः नये घनाभ की लम्बाई = 10 सेमी., चौड़ाई = 5 सेमी. तथा ऊँचाई = 10 सेमी. है।
अतः सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
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= 2 (लं. × चौ. + चौ. × ॐ. + ऊँ.× लं.)
= 2 (10 × 5 + 5 × 10 + 10 × 10)
= 2 (50 + 50 + 100)
= 2 × 200
= 400 वर्ग सेमी.
अतः प्रत्येक समान भाग का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 400 वर्ग सेमी. उत्तर ।

प्रश्न 5.
बगैर ढक्कन को एक बक्सा 3 सेमी. मोटी लकड़ी का बना हुआ है। इसकी बाहरी लम्बाई 146 सेमी., चौड़ाई 116 सेमी, और ऊँचाई 83 सेमी. है। उसके अन्दर की ओर पेन्ट कराने का खर्च ज्ञात कीजिए, पेन्ट की दर 2 रुपए प्रति 1000 वर्ग सेमी. है।
हल:
संदूक की बाहरी लम्बाई = 146 सेमी.
संदूक की बाहरी चौड़ाई = 116 सेमी.
संदूक की बाहरी ऊँचाई = 83 सेमी.
3 सेमी. मोटी लकड़ी का होने के कारण
संदूक की अन्दर की लम्बाई = 146 – (3 + 3) = 140 सेमी.
संदूक की अन्दर की चौड़ाई = 116 – (3 + 3) = 110 सेमी.
तथा संदूक की अन्दर की ऊँचाई = 83 – 3 = 80 सेमी.।
[∵ बक्सा बगैर ढक्कन को है]
अब अंदर की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × ऊँचाई (लम्बाई + चौड़ाई) वर्ग इकाई
= 2 × 80 (140 + 110) वर्ग सेमी.
= 160 × 250 वर्ग सेमी.
= 40,000 वर्ग सेमी.
पेंदे का क्षेत्रफल = (लम्बाई × चौडाई) वर्ग इकाई
= 140 × 110 वर्ग सेमी.
= 15400 वर्ग सेमी.
∴ रंग करने योग्य कुल क्षेत्रफल = (40000 + 15400) वर्ग सेमी.
= 55400 वर्ग सेमी.
∴ रंग कराने का कुल व्यय  = 55400 \times \frac { 2 } { 1000 }  रुपए।
= 110.80 रुपए उत्तर
अर्थात् बक्सा में अन्दर की ओर रंग कराने का व्यय = ₹ 110.80 होगा।

प्रश्न 6.
एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का योग 19 सेमी. है तथा विकर्ण की लम्बाई 11 सेमी. है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि घनाभ की लम्बाई l, चौड़ाई b तथा ऊँचाई h मान लें तो प्रश्नानुसार,
l + b + h = 19 सेमी.
तथा  \sqrt { l ^ { 2 } + b ^ { 2 } + h ^ { 2 } } = 11
अर्थात् + b2 + b2 = 121.
लेकिन हम जानते हैं कि–
(t + b + h) = l2 + b2 + h2 + 2bl + 2lh + 2hb
अर्थात् (t + b + h)2 = l2 + b2 + b2 + 2(bl + lh + hb)
या l2 + b2 + h2+ 2(lb + bh + hl) = (l + b + h)2
या 121 + 2 (lb + bh + hl) = (19)2
या 2 (lb + bh + hl) = 361 – 121
या 2 (lb + bh + hl) = 240
∵ 2(lb + bh + hl) = घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्थात् घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 240 वर्ग मीटर उत्तर

प्रश्न 7.
6 मीटर भुजा के वर्गाकार फर्श के कमरे में 180 घन मीटर हवा है। कमरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
घनाभ (कमरे) को आयतन = 180 घन मीटर
वर्गाकार कमरे की लम्बाई और चौड़ाई = 6 मीटर2
कमरे का क्षेत्रफल = 6 × 6 वर्ग मीटर = 36 मीटर


वर्गाकार कमरे की ऊँचाई = 5 मीटर उत्तर

प्रश्न 8.
44 मीटर लम्बी, 1.5 मीटर ऊँची और 35 सेमी. चौड़ी दीवार बनाने में 22 सेमी. × 10 सेमी. ×7 सेमी. माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?
हल:
दीवार की लम्बाई l = 44 मी. = 4400 सेमी.
दीवार की ऊँचाई h = 1.5 मी. = 150 सेमी.
दीवार की चौड़ाई b = 35 सेमी.
दीवार का आयतन = 4400 × 150 × 35 सेमी3.
एक ईंट का आयतन = 22 × 10 × 7 सेमी3.

अतः 15000 ईंटों की आवश्यकता होगी। उत्तर

प्रश्न 9.
10 मीटर लम्बे, 8 मीटर चौड़े और 6 मीटर ऊँचे कमरे में अधिक से अधिक कितनी लम्बी छड़ रखी जा सकती है?
हल:
कमरे की लम्बाई = 10 मीटर
चौड़ाई = 8 मीटर
ऊँचाई = 6 मीटर कमरे में अधिक से अधिक लम्बी रखी जाने वाली छड़ कमरे के विकर्ण के बराबर होगी।

अतः कमरे में अधिक से अधिक 14.14 मीटर लम्बी छड़ रखी जा सकती है। उत्तर

प्रश्न 10.
एक घन का आयतन 512 घनमीटर है। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
हल:
माना घन की भुजा की लम्बाई × मीटर है तब
घन का आयतन = (भुजा)3
⇒ 512 = x3
⇒ x = (512)1/3 = 8
अतः घन की भुजा = 8 मीटर उत्तर

प्रश्न 11.
एक दीवार की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मीटर, 30 सेमी. और 3 मीटर है। दीवार बनाने में 20 सेमी. × 10 सेमी. × 7.5 सेमी. नाप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?
हल:
दीवार की लम्बाई = 5 मीटर = 500 सेमी.
दीवार की चौड़ाई = 30 सेमी.
दीवार की ऊँचाई = 3 मीटर = 300 सेमी.
दीवार को आयतन होगा = 500 × 30 × 300 सेमी.
= 4500000 सेमी.
एक ईंट का आयतन = 20 × 10 × 7.5 सेमी3.
= 1500 सेमी3.
कुल ईंटों की आवश्यकता होगी = 4500000 ÷ 1500
= 3000 ईंटें
अतः दीवार बनाने में ईंटों की संख्या = 3000 उत्तर

प्रश्न 12.
एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5:3:2 है। यदि घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 558 सेमी2. है तो उसकी कोरों का माप ज्ञात कीजिए।
हल:
मानाकि घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई क्रमश: 5x, 3x, 2x, है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 558 सेमी2.
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अत: घनाभ की लम्बाई = 15 सेमी., चौड़ाई = 9 सेमी. तथा ऊँचाई = 6 सेमी. उत्तर