Chapter 16 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 16.4

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Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 16 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 16.4

प्रश्न 1.
1.4 सेमी. त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले की त्रिज्या (r) = 1.4 सेमी.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² गोले का आयतन

प्रश्न 2.
एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी. है, तो गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 616 सेमी².

अतः गोले की त्रिज्या होगी = 7 सेमी.
गोले का आयतन

अतः गोले का आयतन = 1437.33 घन सेमी. उत्तर

प्रश्न 3.
एक अर्ध गोले की त्रिज्या 4.5 सेमी. है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल व आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
अर्ध गोले की त्रिज्या = 4.5 सेमी.
अर्ध-गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

अर्ध-गोले का आयतन

प्रश्न 4.
एक गोले का आयतन 38808 घन सेमी. है तो गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गोले की त्रिज्या r है।
गोले का आयतन = 38808 घन सेमी.
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गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
एक बेलन सीसे का बना हुआ है, जिसकी त्रिज्या 4 सेमी. व ऊँचाई 10 सेमी. है। इसे पिघलाकर 2 सेमी. त्रिज्या के कितने गोले बनाए जा सकते हैं?
हल:
बेलन की त्रिज्या (r) = 4 सेमी.
बेलन की ऊँचाई (h) = 10 सेमी.
बेलन का आयतन = πr²h
= π(4)² × 10
= 160π घन सेमी.
इस बेलन को पिघलाकर 2 सेमी. त्रिज्या के गोले बनाए जाते हैं।
2 सेमी. त्रिज्या के गोले का आयतन
$=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \pi \times(2)^{3}$
$=\frac{32}{3} \pi$ घन सेमी.
2 सेमी. के गोलों की अभीष्ट संख्या
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प्रश्न 6.
एक खोखला गोल शेल 2 सेमी. मोटा है। यदि इसकी बाह्य त्रिज्या 8 सेमी. है तो इसमें लगी धातु का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
खोखले गोलीय कोश की बाह्य त्रिज्या = 8 सेमी.
खोखले गोल शेल की आंतरिक त्रिज्या होगी = 8 – 2 = 6 सेमी.
बाह्य त्रिज्या को r₁ तथा आंतरिक त्रिज्या को r₂ माना गया है।
खोखले गोल शेल में लगी धातु का आयतन
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अतः गोलीय कोश में लगी धातु का आयतन = 1240.38 घन सेमी. उत्तर

प्रश्न 7.
9 सेमी. त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 3 सेमी. त्रिज्या और 6 सेमी. ऊँचाई के कितने शंकु बनाए जा सकते हैं?
हल:
9 सेमी. त्रिज्या वाले गोले का आयतन
$=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

3 सेमी. त्रिज्या व 6 सेमी. ऊँचाई वाले शंकु का आयतन
$=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$\begin{array}{l}{=\frac{1}{3} \pi(3)^{2}(6)} \\ {=\frac{\pi \times 3 \times 3 \times 6}{3}}\end{array}$
18π घन सेमी.
धातु के गोले को पिघलाकर बन सकने वाले शंकुओं की संख्या

अतः बने शंकुओं की संख्या = 54 उत्तर

प्रश्न 8.
10 सेमी. त्रिज्या के धातु के गोले से समान त्रिज्या के 8 गोले बनाए जाते हैं। इस प्रकार बने प्रत्येक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना धातु के बड़े गोले की त्रिज्या R = 10 सेमी. है तथा छोटे गोलों की त्रिज्या r है।
∴ धातु के बड़े गोले का आयतन = 8 × छोटे गोले का आयतन
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अतः समान त्रिज्या वाले आठों गोलों में प्रत्येक का पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 9.
यदि एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 5544 सेमी. है तो गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गोले की त्रिज्यो r सेमी. है, तब
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$
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तब गोले का आयतन

अतः गोले का आयतन = 38808 घन सेमी. उत्तर

प्रश्न 10.
एक सीसे के ठोस आयतफलकी की माप क्रमशः 66 सेमी., 42 सेमी. और 21 सेमी. है। ज्ञात कीजिए कि इसको पिघलाकर इससे 4.2 सेमी. व्यास की कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं।
हल:
सीसे के ठोस आयतफलकी की माप क्रमशः 66 सेमी., 42 सेमी. व 21 सेमी. है,
तब इस आयतफलकी का आयतन = 66 × 42 × 21 घन सेमी.
एक गोली का व्यास = 4.2 सेमी.
तब गोली की त्रिज्या $=\frac{4.2}{2}=2.1$ सेमी.
एक गोली का आयतन
$\begin{array}{l}{=\frac{4}{3} \pi r^{3}} \\ {=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(2.1)^{3}}\end{array}$
माना आयताकार फलक को पिघलाकर n गोलियाँ बनायी जा सकती है अतः
आयताकार फलक का आयतन = n × गोले का आयतन

अतः बनाई गई गोलियों की संख्या = 1500 उत्तर

प्रश्न 11.
6 सेमी. व्यास का एक गोला 12 सेमी. व्यास के बेलनाकार बर्तन में जिसमें पानी है, डाला जाता है। बर्तन में पानी कितना ऊपर चढ़ जायेगा?
हल:
गोले का व्यास = 6 सेमी.

गोले की त्रिज्या $=\frac{6}{2}=3$ सेमी.
बेलनाकार बर्तन का व्यास = 12 सेमी.
बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या
$=\frac{12}{2}=6$ सेमी.
गोले का आयतन
$\begin{array}{l}{=\frac{4}{3} \pi r^{3}} \\ {=\frac{4}{3} \pi(3)^{3}}\end{array}$
= 36π घन सेमी. ….(i)
बेलन का आयतन = πr²n.
[यहाँ वह ऊँचाई है जितना पानी ऊपर चढ़ता है।
$\begin{array}{l}{=\pi(6)^{2} h} \\ {=36 \pi h}\end{array}$ …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
गोले का आयतन = पानी का आयतन
⇒ 36π = 36πh
⇒ h = 1 सेमी. उत्तर

प्रश्न 12.
9 सेमी. की अन्त:त्रिज्या वाले एक अर्ध गोलाकार कटोरे में एक द्रव भरा है। इस द्रव को 3 सेमी. व्यास और 4 सेमी. ऊँचाई के छोटे-छोटे बेलनाकार बर्तनों में भरना है। ज्ञात कीजिए कि कटोरे के पूरे द्रव को भरने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी?
हल:
अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या = 9 सेमी.
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन

= 486π सेमी.
बेलनाकार बर्तन के आधार का व्यास = 3 सेमी.
∴ बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $=\frac{3}{2}$ सेमी.
बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई = 4 सेमी.
अतः एक बर्तन का आयतन
$\begin{array}{l}{=\pi r^{2} h} \\ {=\pi(3 / 2)^{2} 4}\end{array}$
= 9π सेमी.3
अतः कटोरे के पूरे द्रव को भरने के लिए आवश्यक बोतलों की संख्या
$=\frac{486 \pi}{9 \pi}$
= 54 उत्तर

प्रश्न 13.
एक गोले का व्यास 0.7 सेमी. है। एक पानी की टंकी से 3000 गोले पूर्ण रूप से भरकर पानी बाहर निकाला जाता है तो बाहर निकलने वाले पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले का व्यास = 0.7 सेमी.
∴ त्रिज्या $(r)=\frac{0.7}{2}=0.35$ सेमी.
अतः गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$ घन इकाई
$=\frac{4}{3} \times \pi \times(0.35)^{3}$ घन सेमी.
$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.35 \times 0.35 \times 0.35$ घन सेमी.
∴ पानी की टंकी से 3000 गोले पूर्ण रूप से भरकर पानी बाहर निकाला गया है अतः निकाले गये पानी का आयतन

अतः बाहर निकलने वाले पानी का आयतन = 539 घन सेमी. उत्तर :

प्रश्न 14.
एक खोखले अर्द्ध गोलीय बर्तन के बाह्य और अन्तः व्यास क्रमशः 43 सेमी. और 42 सेमी. हैं। यदि उस पर रंग करवाने का व्यय 7 पैसे प्रति वर्ग सेमी. हो, तो बर्तन पर रंग करवाने की व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अर्द्ध गोलीय बर्तन की बाह्य और अन्तः त्रिज्या r₁ और r₂ हैं।

अर्द्धगोलीय बर्तन का बाह्य पृष्ठ का क्षेत्रफल $=2 \pi r_{1}^{2}$
अर्द्धगोलीय बर्तन का अन्तः पृष्ठ का क्षेत्रफल $=2 \pi r_{2}^{2}$
बाह्य रिंग का क्षेत्रफल $=\pi r_{1}^{2}-\pi r_{2}^{2}$
अतः रंग करवाने के लिए सम्पूर्ण क्षेत्रफल $=2 \pi r_{1}^{2}+2 \pi r_{2}^{2}+\pi r_{1}^{2}-\pi r_{2}^{2}$
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