Chapter 2 बहुपद Ex 2.3
प्रश्न 1.
x3 + 3x2 + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए
(i) x + 1
हल:
प्रश्नानुसार x3 + 3x2 + 3x + 1 = x + 1
यहाँ शेषफल 0 है।
वैकल्पिक विधि-x + 1 का शून्यक – 1 है।
अत: p (x) में x = – 1 रखने पर
p (- 1) = (-1)3 +3 (-1)2 +3 (-1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 = 0 जो कि शेषफल है।
अतः शेषफल 27/8 है।
(iii) x
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x3 + 3x2+ 3x + 1
यहाँ भाजक x है अत: x = 0 लेने पर
p (0) = (0) + 3 (0) + 3 (0) + 1
= 0 + 0 + 0 + 1 = 1
अर्थात् p (0) = 1
अतः शेषफल 1 है।
(iv) x + π
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 यहाँ x + π भाजक है ।
अतः x + π = 0 लेने पर या x = – π
अब p (x) में x = – π प्रतिस्थापित करने पर
p (- π) = (-π)3 + 3 (-π)2 + 3 (-π) + 1
= – π3 + 3π2 – 3π + 1
अतः शेषफल – π3 + 3π2 – 3π + 1 है।
(v) 5 + 2x
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 यहाँ भाजक 5 + 2x है।
अत: 5 + 2x = 0 लेने पर
2x = -5
प्रश्न 2.
x3 – ax2 + 6x – a को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि p (x) = x3 – ax2 + 6x – a यहाँ भाजक x – a है
∴ माना x – a = 0
या x = a अब बहुपद में x = a
प्रतिस्थापित करने पर
p (a) = (a)3 – a (a)2 + 6 (a)- a
= a3 – a2 + 6a – a
= 5a
अतः शेषफल 5a है।
प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x3 + 7x का एक गुणनखण्ड है या नहीं?
हल:
हम जानते हैं कि दिया हुआ बहुपद p (x) = 7 + 3x का गुणज केवल तब होगा जबकि 7 + 3x से p (x) को भाग देने पर कुछ भी शेष न बचे।
अब 7 + 3x = 0 लेने पर
7+ 3x = 0
या 3x = – 7
या x = -7
दिए हुए बहुपद में x का यह मान प्रतिस्थापित करने पर
