Chapter 2 Polynomials (बहुपद)

प्रश्नावली 2.1 

Q1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं  और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ उत्तर दीजिए :
(i) 4x2 – 3x + 7 

(ii) y2 + √2
(iii)3√t + t√2
(iv) y + \frac { 2 }{ y }
(v) x10 + y3 + t50
हल:
(i) 4x2 – 3x + 7
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(ii) y2 + √2
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(iii)3√t + t√2
यह एक चर में बहुपद नहीं है क्योंकि चर का घात एक भिन्नात्मक संख्या है कोई प्राकृत संख्या नहीं है |

(iv) y +  \frac { 2 }{ y }
यह एक चर में बहुपद नहीं है |

(v) x10 + y3 + t​50
यह एक चर में बहुपद नहीं है | बल्कि यह तीन चर में बहुपद है |

Q2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x2 का गुणांक लिखिए |
(i) 2 + x2 + x 
(ii) 2 – x2 + x3
iii) \frac { \pi }{ 2 } x2 + x
(iv) √2x −1
हल: 
(i) 2 + x2 + x
x2 का गुणांक = 1

(ii) 2 – x2 + x3
x2 का गुणांक = –1 ​

(iii)  \frac { \pi }{ 2 }  x2 + x
x2 का गुणांक =  \frac { \pi }{ 2 }

(iv) √2x −1
x2 का गुणांक = 0 [क्योंकि यहाँ xनहीं है इसलिए इसका गुणांक शून्य होगा |]

Q3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए|
हल:
35 घात का एक द्विपदी
⇒ 2x35 + 5y ​
Note: द्विपदी का अर्थ दो पदों वाला व्यंजक जैसे –  x + 5, 3a – 2b, 3t + 7 आदि.
100 घात का एक एकपदी
⇒ 3y100
Note: एकपदी का अर्थ एक पद वाला व्यंजक जैसे- 3x, 5t, y, 3xy आदि.

Q4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के घात लिखिए:
(i) 5x3 + 4x2 + 7x

(ii) 4 – y2
(iii) 5t – √7
(iv) 3
हल:
(i) 5x3 + 4x2 + 7x
उत्तर: बहुपद का घात = 3
[नोट: बहुत का घात ज्ञात करने के लिए सभी घातों में से सबसे बड़ी घात को चुना जाता है |]

(ii) 4 – y​2
उत्तर: बहुपद का घात = 2

(iii) 5t – √7
उत्तर: बहुपद का घात = 1

(iv) 3
उत्तर: बहुपद का घात = 0
[नोट: चूँकि यहाँ कोई चर नहीं है इसलिए बहुपद का घात शून्य (0) है |]

Q5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद में वर्गीकृत कीजिए:
(i) x​2 + x 
(ii) x – x3 
(iii) y + y2 + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r2 
(vii) 7x2
हल:
(i) x​2 + x
उत्तर: द्विघात बहुपद

(ii) x – x3
उत्तर: त्रिघात बहुपद

(iii) y + y2 + 4
उत्तर: द्विघात बहुपद

(iv) 1 + x
उत्तर: रैखिक बहुपद

(v) 3t
उत्तर: रैखिक बहुपद

(vi) r2
उत्तर: द्विघात बहुपद

(vii) 7x2
उत्तर: त्रिघात बहुपद

प्रश्नावली 2.2

प्र1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = –1
(iii) x = 2

हल:
(i) p(x) = 5x – 4x+ 3
बहुपद p(x) में x = 0 रखने पर
P(0) = 5(0) – 4(0)+ 3 = 0 – 0 + 3 = 3
अत: बहुपद का मान 3 है |

(ii) p(x) = 5x – 4x+ 3
बहुपद p(x) में x = -1 रखने पर
P(1) = 5(-1) – 4(-1)+ 3 = – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = – 6
अत: बहुपद का मान – 6 है |

(iii) p(x) = 5x – 4x+ 3
बहुपद p(x) में x = 2 रखने पर
P(2) = 5(2) – 4(2)+ 3 = 10 -16 + 3 = – 3
अत: बहुपद का मान – 3 है |

Q2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए| 
(i)  p(y) = y2 – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t 2 – t 3
(iii) p(x) = x3
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p(y) = y– y + 1
P(0) के लिए
P(0) = (0)2– 0 + 1 = 1
P(1) के लिए
P(1) = (1)2– 1 + 1
= 1 – 1 + 1 = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)2– 2 + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t2– t3
P(0) के लिए
P(0) = 2 + 0 + 2(0)2– (0)3 = 2
P(1) के लिए
P(1) = 2 + 1 + 2(1)– (1)3 = 4

P(2) के लिए
P(2) = 2 + 2 + 2(2)2– (2)3
= 4 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x3
P(0) के लिए
P(0) = (0)3 = 0
P(1) के लिए
P(1) = (1)= 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)= 8

(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
P(0) के लिए
P(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1
P(1) के लिए
P(1) = (1 – 1) (1 + 1) = 0 (1) = 0
P(2) के लिए
P(2) = (2 – 1) (2 + 1) = 1(3) = 3

Q3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शुन्यक हैं :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium 2.2 3
हल:  
(i) P(x) = 3x + 1
Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.2 3.1
p(x) = 0, अत: दिया गया x का मान बहुपद का शुन्यक है |
(ii) P(x) = 5x – π
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.2 3.2
= 5 – π
∵ ​P(x) ≠ 0
∴ x के लिए दिया गया मान P(x) का शुन्यक नहीं है|

(iii) P(x) = x– 1
Class 9 Maths NCERT Polynomials Solutions Hindi Medium 2.2 3.3
NCERT Maths Solutions For Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.2 3.4
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NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Polynomials Solutions 2.2 3.6
NCERT Solutions For Maths Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.2 3.7

Q4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति मेंबहुपद का शुन्यक ज्ञात कीजिए :
(i) P(x) = x + 5
(ii) P(x) = x – 5
(iii) Px) = 2x + 5
(iv) P(x) = 3x – 2
(v) P(x) = 3x
(vi) P(x) = ax, a ≠ 0
हल (i) :
(i)   P(x) = x + 5
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = – 5
बहुपद का शुन्यक – 5 हैं |

 हल (ii) :
(ii) P(x) = x – 5
⇒ x – 5  = 0
⇒ x = 5
बहुपद का शुन्यक 5 है|

Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.2 4
बहुपद का शुन्यक  \frac { -5 }{ 2 }  है |

(iv)  P(x) = 3x – 2
3x – 2 = 0 ≠
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.2 4.1
बहुपद का शुन्यक  \frac { 2 }{ 3 }  है |
Maths NCERT Class 9 Solutions Polynomials Hindi Medium 2.2 4.2
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 2.2 4.3

प्रश्नावली 2.3

Q1. x3 + 3x2 + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए : 
(i) x + 1 
(ii) x – \frac { 1 }{ 2 }
(iii) x 
(iv) x + θ
(v) 5 + 2x 
हल : (i) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर 
Polynomials Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 2.3 1
अत: भाग देने पर शेषफल 0 है|

Polynomials Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 2.3 1.1

हल : (iii)  x3 + 3x2 + 3x + 1 को x से भाग देने पर       
Class 9 NCERT Maths Polynomials Solutions Hindi Medium 2.3 1.2
अत: भाग देने पर शेषफल 1 है|

हल : (iv) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x + π से भाग देने पर 
NCERT Solutions For Class 9 Maths Polynomials PDF Hindi Medium 2.3 1.3
अत: भाग देने पर शेषफल – π3 + 3π2 – 3π + 1 है|
हल : (v) x3 + 3x2 + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग देने पर
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.3 1.4
Class 9th Maths NCERT Polynomials Solutions Hindi Medium 2.3 1.5
NCERT Maths Book Class 9 Polynomials Solutions Hindi Medium 2.3 1.6

Q2. x3 – ax2 + 6x – a  को x – a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए |
हल : p(x) = x3 – ax2 + 6x – a  और g(x) = x – a है |
g(x) = x – a का शुन्यक
अत:  x – a = 0
x = a
अत: शेषफल प्रमेय से
p(x) को x – a से भाग देने पर शेषफल प्रमेय द्वारा शेषफल p(a) प्राप्त होगा |
इसलिए, p(a) = (a)3 – a(a)2 + 6(a) – a
= a3 – a3 + 6a – a = 5a
अत: शेषफल 5a है |

Class 9 NCERT Solutions Maths Polynomials Hindi Medium 2.3 3

प्रश्नावली 2.4

Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है|
(i) x3 + x2 + x + 1
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
(iv) x3 – x3 – (2 + √2)x + √2
हल : (i) p(x) = x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.4 1
9th Class Maths NCERT Polynomials Hindi Medium Solutions 2.4 1.1

Q2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
हल : (i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक
⇒  x + 1 = 0
अत: x = – 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1  दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 – 1 = – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 2 = 0
अत: x = – 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1  दिया है |
अब, p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1 = 13 – 14 = – 1
चूँकि p(-2) = – 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक
⇒ x – 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 – 4x2 + x + 6  दिया है |
अब, p(3) = (3)3 – 4(3)2 + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 36 – 36 = 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x – 3 p(x) का एक गुणनखंड है |

Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x2 + x + k
(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
(iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k
हल : (i) p(x) = x2 + x + k
x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = x2 + x + k = 0
p(1) = (1)2 + (1) + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0
k = – 2

हल : (ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है|
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = 2x2 + kx + √2 = 0
p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2  = 0
2 + k + √2 = 0
k = – 2 – √2
k = – (2 + √2)

हल : (iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – √2x + 1 = 0
p(1) = k(1)2 – √2(1) + 1 = 0
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1

हल : (iv) p(x) = kx2 – 3x + k
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – 3x + k = 0
p(1) = k(1)2 – 3(1) + k = 0
k – 3 + k = 0
2k – 3 = 0
2k = 3
k = 3/2

Q4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x2 – 7x + 1
(ii) 2x2 + 7x + 3
(iii) 6x2 + 5x – 6
(iv) 3x2 – x – 4
हल : (i) 12x2 – 7x + 1
⇒ 12x2 – 3x – 4x + 1
⇒ 3x(4x – 1) – 1(4x – 1)
⇒ (4x – 1) (3x – 1)

हल : (ii) 2x2 + 7x + 3
⇒ 2x2 + 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3)
⇒ (x + 3) (2x + 1)

हल :  (iii) 6x2 + 5x – 6
⇒ 6x2 + 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x – 2)

हल : (iv) 3x2 – x – 4
⇒ 3x2 – 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) + 1(3x – 4)
⇒ (3x – 4) (x + 1)

Q5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x3 – 2x2 – x + 2
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
हल : (i) x3 – 2x2 – x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं – ±1 और ±2
अत: बहुपद x3 – 2x2 – x + 2 में x = 1 रखने पर
p(x) = (1)3 – 2(1)2 – (1) + 2
=  1 – 2 – 1 + 2 =  0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

पहली विधि : x – 1 से x3 – 2x2 – x + 2 में भाग देने पर
CBSE Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium Solutions 2.4 5
अत: x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1) (x2 – x – 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]
= (x – 1) (x– 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |

दूसरी विधि : हम यहाँ पर x – 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x – 1 प्राप्त है|
x3 – 2x2 – x + 2 = x2(x -1) – x2 – x + 2
= x2(x -1) – x(x – 1) – 2x + 2
= x2(x -1) – x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x – 1) (x2 – x – 2)
= (x – 1) (x– 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, – 1, 2 और – 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x – 1 एक गुणनखंड है |

अब p(-1) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-1)3 – 2(-1)2 -(-1) + 2
= -1 – 2 + 1 + 2 = 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |

अब p(2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (2)3 – 2(2)2 -(2) + 2
= 8 – 8 – 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है अत: x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है |

अब p(-2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-2)3 – 2(-2)2 -(-2) + 2
= -8 – 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0 अत: – 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |
अत:  x3 – 2x2 – x + 2 के गुणनखंड है (x – 1) (x + 1) (x – 2)

हल : (ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x3 – 3x2 – 9x – 5
= (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x3 – 3x2 – 9x – 5 = x2(x + 1) – 4x2 – 9x – 5
= x2(x + 1) – 4x(x + 1) – 5x – 5
= x2(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1) (x2 – 4x – 5)
= (x + 1) (x2 – 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) +1(x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x – 5) और (x + 1) है |

हल : (iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = – 1 रखने पर
p(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20
= (-1)3 + 13(-1)2 + 32(-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x3 + 13x2 + 32x + 20 = x2(x + 1) + 12x2 + 32x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1) (x2 + 12x + 20)
= (x + 1) (x2 + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है|

हल : (iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
= y2(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y2 – 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y – 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y – 1) और (2y + 1)हैं |

उपयोगी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ: 

  1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
  2. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
  3. x2 – y2 = (x + y) (x – y)
  4. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
  5. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
  6. (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
  7. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
  8. x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
  9. (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
  10. x3 + y3 + z– 3xyz = ( x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)

प्रश्नावली 2.5

Q1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1
(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल: 
(i) (x + 4) (x + 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 4) (x + 10) = x2 + (4 + 10)x + (4)(10)
= x2 + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 8) (x – 10) = x2 + [8 + (-10)]x + (8)(-10)
= x2 – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(3x + 4) (3x – 5) = (3x)2 + [4 + (-5)]3x + (4)(-5)
= 9x2 – 3x – 20
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1.1
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1.2

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर  ​
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)2 – (2x)2
= 9 – 4x2

Q2. सीधे गुना किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल:
(i) 103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(100 + 3) (100 + 7) = (100)2​ + (3 + 7)100 + 3×7
=10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96 = (90 + 5) (90 + 6)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(90 + 5) (90 + 6) = (90)2​ + (5 + 6)90 + 5×6
= 8100 + 990 + 30 = 9120

(iii)  104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर  ​
(100)2 – (4)2
= 10000 – 16 = 9984

3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x2 + 6xy + y2 
(ii) 4y2 – 4y + 1
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 3.1
हल:
(i) 9x2 + 6xy + y2 
= (3x)2 + 2.3x.y + (y)2     [ ∵ x2 + 2xy + y2 = (x + y)2]
∴ = (3x + y)2
=  (3x + y)  (3x + y)

(ii) 4y2 – 4y + 1 
= (2y)2 – 2.2y.1 + (1)2     [ ∵ x2 – 2xy + y2 = (x – y)2]
∴ = (2y – 1)2
=  (2y – 1)  (2y – 1)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 3
NCERT Solutions For Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium 2.5 3.2
[ ∵ x2 – y2 = (x + y) (x – y) ​]

Q4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)2 
(ii) (2x – y + z)2 
(iii) (–2x + 3y + 2z)2
(iv) (3a – 7b – c)2 
(v) (–2x + 5y – 3z)2
हल:
(i) (x + 2y + 4z)2  
यहाँ माना कि a = x, b = 2y, c = 4z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (x + 2y + 4z)2 = (x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x – y + z)2 
यहाँ माना कि a = 2x, b = – y, c = z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (2x – y + z)2 = (2x)2 + (- y)2 + (z)2 + 2(2x)(- y) + 2(- y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (–2x + 3y + 2z)2
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 3y, c = 2z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 3y + 2z)2
= (-2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
= 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy  + 12yz – 8zx

(iv) (3a – 7b – c)2 
यहाँ माना कि x = 3a, y = -7b, z = -c और x, y तथा z का मान सर्वसमिका
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zxमें रखने पर
∴ (3a – 7b – c)2
= (3a)2 + (-7b)2 + (-c)2 + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)
= 9a2 + 49b2 + c– 42ab  + 14bc – 6ac

(v) (-2x + 5y – 3z)2
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 5y, c = -3z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 5y – 3z)2
= (-2x)2 + (5y)2 + (-3z)2 + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy  – 30yz + 12zx

Q5. गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz

हल:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)
[∵ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 ]
= (2x + 3y + 4z)2
= (2x + 3y + 4z) (2x + 3y + 4z)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 5
Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 5.1

Q6. निम्नलिखित घनों को विस्तारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)3 

(ii) (2a – 3b)3
Class 9 Maths NCERT Polynomials Solutions Hindi Medium 2.5 6
NCERT Maths Solutions For Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 6.1
हल:
(i) (2x + 1)3 
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
(2x + 1)3 = (2x)3 + 3 (2x)(1) + 3 (2x) (1)2 + (1)3
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1

(ii) (2a – 3b)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3]
(2a – 3b)3 = (2a)3 – 3 (2a)(3b) + 3(2a) (3b)2 – (3b)3
= 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 6.2
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Polynomials Solutions 2.5 6.3
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Polynomials Solutions 2.5 6.4
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
NCERT Solutions For Maths Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 6.5

Q7. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)3 
(ii) (102)3 
(iii) (998)3
हल : 
(i) (99)3 
= (100 – 1)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
(100 – 1)= (100)3 – 3(100)2(1) + 3(100)(1)2 – (1)3
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 1000300 – 30001 = 970299

(ii) (102)3 
= (100 + 2)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
(100 + 2)= (100)3 + 3 (100)(2)+ 3 (100) (2)2 + (2)3
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208

(iii) (998)3
= (1000 – 2)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
(1000 – 2)= (1000)3 – 3 (1000)(2)+ 3(1000) (2)2 – (2)3
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

Q8. निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
(ii) 8a2 – b2 – 12a2b + 6ab2
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 8.1
हल:
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2 
= (2a)3 +(b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x3  + y+ 3x2y + 3xy2 = (x + y)3 ]
= (2a)3 +(b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2 = (2a + b)3
= (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a2 – b2 – 12a2b + 6ab2
= (2a)3 – (b)3 – 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x3 – y– 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (2a)3 – (b)3 – 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2 = (2a – b)3
= (2a – b)(2a – b)(2a – b)

(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
= (3)3 – (5a)3 – 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x3 – y– 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (3)3 – (5a)3 – 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2= (3 – 5a)3
= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)

(iv) 64a– 27b3 – 144a2b + 108ab2  
= (4a)3 – (3b)3 – 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y– 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (4a)3 – (3b)3 – 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2 = (4a – 3b)3
= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y– 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 8.2

Q9. सत्यापित कीजिए :
(i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
हल :
RHS = (x + y) (x2 – xy + y2)
= x(x2 – xy + y2) + y (x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3
Maths NCERT Class 9 Solutions Polynomials Hindi Medium 2.5 8.2
= x3 + y3
∵ LHS = RHS सत्यापित

(ii) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
हल :
RHS = (x – y) (x2 + xy + y2)
x(x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 2.5 8.4
= x3 – y3
∵ LHS = RHS सत्यापित |

Q10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) 27y3 + 125z3 
(ii) 64m3 – 343n3
हल : 
(i) 27y3 + 125z3 
= (3y)3 + (5z)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) ]
(3y)3 + (5z)3​ = (3y + 5y) [(3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2]
= (3y + 5y) (9y2 – 15yz + 25z2)

(ii) 64m3 – 343n3
हल : 
(ii) 64m3 – 343n3
= (4m)3 – (7n)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) ]
(4m)3 – (7n)3​ = (4m – 7n) [(4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2]
= (4m – 7n) (16m2 + 28mn + 49n​2)

Q11. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : 27x3 + y3 + z3 – 9xyz
हल : 
= (3x)3 + (y)3 + (z)– 9xyz
∵ x+ y3 + z3 – 3xyz =  (x + y + z) (x2 + y2 + z​2 – xy – yz – zx)
सर्वसमिका के प्रयोग से :
= (3x + y + z) ((3x)2 + (y)2 + (z)2 – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x))
= (3x + y + z) (9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx)

Q12. सत्यापित कीजिए: 
x+ y3 + z3 – 3xyz =  \frac { 1 }{ 2 }  (x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
हल : 
LHS =   \frac { 1 }{ 2 }  (x + y + z) [x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2]
\frac { 1 }{ 2 }  (x + y + z) (2x+ 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2xz)
\frac { 1 }{ 2 }  × 2(x + y + z) (x+ y2 + z2 – xy – yz – xz)
= (x + y + z)(x+ y2 + z2 – xy – yz – xz)
= x+ y3 + z3 – 3xyz [सर्वसमिका के प्रयोग से ]
LHS = RHS

Q13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 + y3 + z= 3xyz है | ​
हल : x + y + z = 0 दिया है |
x3 + y3 + z– 3xyz = ( x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= (0) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0
अत: x3 + y3 + z– 3xyz = 0
या x3 + y3 + z= 3xyz सत्यापित

Q14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए : 
(i) (-12)3 + (7)3 + (5)3
(ii) (28)3 + (-15)3 + (-13)3
हल : (i) (-12)3 + (7)3 + (5)3

प्रश्न 13. में हमने एक सर्वसमीका प्राप्त किया था कि यदि x + y + z = 0 हो तो
x3 + y3 + z= 3xyz है |
अत: इस सर्वसमिका में x = -12, y = 7 और z = 5 रखने पर
चूँकि – 12 + 7 + 5 => -12 + 12 = 0
अत: x + y + z = 0 है |
अब, x3 + y3 + z= 3xyz  [x, y, और z का मान रखने पर ]
=> (-12)3 + (7)3 + (5)3 = 3 × (-12) × 7 × 5
= – 1260

हल : (ii) (28)3 + (–15)3 + (–13)3
28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0
चूँकि x + y + z = 0 है |
इसलिए x3 + y3 + z= 3xyz
अब, (28)3 + (–15)3 + (–13)3​ = 3 × 28 × (-15) × (-13)
= 133380

Q15. नीचे दिए गए आयातों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए है, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये | 
(i) क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12 
(ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y – 12 
हल : (i) क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
अत: 25a2 – 35a + 12 के दो गुणनखंड होंगे जिसमें एक लंबाई होगा और दूसरा चौड़ाई होगा |
गुणनखंड करने पर :
25a2 – 35a + 12 = 25a2 + 15a + 20a + 12
= 5a(5a + 3) + 4(5a + 3)
= (5a + 3) (5a + 4)
चूँकि (5a + 3) < (5a + 4) है |
अत: लंबाई = 5a + 4 और चौड़ाई = 5a + 3

हल : (ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y – 12
गुणनखंड करने पर
35y2 + 13y – 12 ​= 35y2​ + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अत: लंबाई = 5y + 4 और चौड़ाई = 7y – 3

Q16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ? 
(i) आयतन : 3x3 – 12x 
(ii) आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k 
हल : (i) आयतन : 3x3 – 12x
गुणनखंड करने पर
आयतन = 3x3 – 12x = 3x(x – 4)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 3, B = x और H = x – 4

हल : (ii) आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k
आयतन = 12ky2 + 8ky – 20k
= 4k (3y+ 2y – 5)
= 4k (3y+ 5y – 3y – 5)
= 4k [y (3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 4k, B = (3y + 5) और H = (y – 1)

Chapter 2 Polynomials (बहुपद)