Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3
प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 14
x – y = 4
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
x + y = 14 ……(1)
और x – y = 4 ……(2)
(2) से, x = 4 + y …….(3)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
4 + y + y = 14
या 2y = 14 – 4
या 2y = 10
या y = 5
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 4 + 5 = 9
अतः, x = 9 और y = 5
(ii) s – t = 3
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
s – t = 3 ……(1)
या 2s + 3t = 36 ……(2)
(1) से, s = 3 + t ……(3)
s का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
2(3 + t) + 3t = 36
या 6 + 2t + 3t = 36
या 6 + 5t = 36
या 5t = 36 – 6
या 5t = 30
या t = 6
t का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर
s = 3 + 6 = 9
अतः, s = 9 और t = 6
(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
3x – y = 3 ……(1)
और 9x – 3y = 9
(1) से, 3x – 3 = y
या y = 3x – 3 ……(3)
y का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
9x – 3(3x – 3) = 9
या 9x – 9x + 9 = 9
या 9 = 9
यह कथन x के सभी मानों के लिए सत्य है।
फिर भी हम x का कोई विशेष मान हल के रूप में प्राप्त नहीं कर सकते।
इसलिए हम y का भी कोई मान प्राप्त नहीं कर सकते।
यह स्थिति इसलिए पैदा हुई क्योंकि दी गई दोनों समीकरण एक ही हैं।
अतः, समीकरण (1) और (2) के असीमित रूप से अनेक हल हैं।
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
हल-
(v) √2x + √3y = 0
√3x – √8y = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
√2x + √3y = 0 …….(1)
और √3x – √8y = 0 …….(2)
(2) से, √3x = √8y
हल-
प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को (हलं कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
2x + 3y = 11 …..(1)
और 2x – 4y = -24 …..(2)
(2) से,
2x = 4y – 24
2x = 2[2y – 12]
x = 2y – 12 ….(3)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
2(2y – 12) + 3y = 11
या 4y – 24 + 3y = 11
या 7y = 11 + 24
या 7y = 35
या y = 5
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 2(5) – 12
= 10 – 12
= -2
अब y = mx + 3 लीजिए।
x = -2, y = 5 प्रतिस्थापित करने पर
5 = m(-2) + 3
या 5 – 3 = -2m
या 2 = -2m
या -2m = 2
या m = -1
अतः, x = -2, y = 5 और m = -1
प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए-
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि दो संख्याएँ x और y हैं,
पहली शर्त के अनुसार,
x – y = 26 …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
x = 3y ……(2)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3y – y = 26
या 2y = 26
या y = 13
y का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 3 × 13 = 39
अतः दो संख्याएँ 39, 13 हैं।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि दो सम्पूरक कोण x°, y° हैं और x° > y°
पहली शर्त के अनुसार,
x° + y° = 180° …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
x° = y° + 18° …….(2)
x° का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
y° + 18° + y° = 180°
या 2y° = 180° – 18°
या 2y° = 162°
या y° = 81°
y° का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x° = 81° + 18° = 99°
अतः अभीष्ट कोण 99°, 81° हैं।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 रु. में खरीदी। बाद में, उसने 3 बल्ले और 5 गेंदें 1750 रु. में खरीदीं। प्रत्येक
बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि एक बल्ले का मूल्य = x रु.
और एक गेंद का मूल्य = y रु.
पहली शर्त के अनुसार,
7x + 6y = 3800 रु. …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
3x + 5y = 1750 रु. …….(2)
(1) से, 7x = 3800 – 6y
x का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
या 11400 + 17y = 1750 × 7
या 11400 + 17y = 12250
या 17y = 12250 – 11400
या 17y = 850
या y = 50
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर
या x = 500
अतः, एक बल्ले का मूल्य = 500 रु.
और एक गेंद का मूल्य = 50 रु.
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km की दूरी के लिए भाड़ा 105 रु. है तथा 15 km के लिए भाड़ा 155 रु. है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
हल-
माना कि टैक्सी का निश्चित किराया = x रु.
और एक km यात्रा का किराया = y रु.
पहली शर्त के अनुसार,
x + 10y = 105 …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 15y = 155 ……(2)
(1) से, x = 105 – 10y ……(3)
x का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर
105 – 10y + 15y = 155
या 5y = 155 – 105
या 5y = 50
या y = 10
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 105 – 10 × 10
= 105 – 100
= 5
अतः, टैक्सी का निश्चित किराया = 5 रु.
और 1 किमी. यात्रा का किराया = 10 रु.
साथ ही 25 किमी. यात्रा का किराया = (10 × 25) रु. + 5 रु.
= [250 + 5] रु.
= 255 रु.
हल-
माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
या 6(x + 3) = 5(y + 3)
या 6x + 18 = 5y + 15
या 6x – 5y = 15 – 18
या 6x – 5y = -3 ……(2)
x का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?
हल-
माना कि जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
और जैकब के बेटे की वर्तमान आयु = y वर्ष
पाँच वर्ष पश्चात् जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष
उसके पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष
पहली शर्त के अनुसार,
x + 5 = 3(y + 5)
या x + 5 = 3y + 15
या x = 3y + 15 – 5
या x = 3y + 10 ……(1)
पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु = (x – 5) वर्ष
उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष
दूसरी शर्त के अनुसार,
x – 5 = 7(y – 5)
या x – 5 = 7y – 35
या x – 7y = -35 + 5
या x – 7y = -30 ……(2)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
3y + 10 – 7y = -30
या -4y = -30 – 10
या -4y = -40
या y = 10
y का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 3(10) + 10
= 30 + 10
= 40
अत: जैकब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष
तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष