Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.5
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 66-67
प्रश्न 1.
निम्नलिखित में कौन-से कथन सत्य हैं ?
(a) यदि कोई संख्या 3 से विभाज्य है, तो वह 9 से भी विभाज्य होती है।
(b) यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह 3 से भी अवश्य विभाज्य होगी।
(c) एक संख्या 18 से भी विभाज्य होती है, यदि वह 3 और 6 दोनों से विभाज्य हो।
(d) यदि एक संख्या 9 और 10 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 90 से भी विभाज्य होगी।
(e) यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हों, तो इनमें से कम-से-कम एक अवश्य ही अभाज्य संख्या होगी।
(f) 4 से विभाज्य सभी संख्याएँ 8 से भी अवश्य विभाज्य होनी चाहिए।
(g) 8 से विभाज्य सभी संख्याएँ 4 से विभाज्य होनी चाहिए।
(h) यदि कोई संख्या दो संख्याओं को अलग-अलग पूरा-पूरा विभाजित करती है, तो वह उनके योग को भी पूरा-पूरा विभाजित करेगी।
(i) यदि कोई संख्या दो संख्याओं के योग को पूरी तरह विभाजित करती है, तो वह उन दोनों संख्याओं को अलग-अलग भी विभाजित करेगी।
उत्तर-
(a) असत्य,
(b) सत्य,
(c) असत्य,
(d) सत्य,
(e) असत्य,
(f) असत्य,
(g) सत्य,
(h) सत्य,
(i) असत्य
प्रश्न 2.
यहाँ 60 के लिए दो भिन्न-भिन्न गुणनखण्ड वृक्ष दिए हैं। इनमें अज्ञात संख्याएँ लिखिए।
हल :
प्रश्न 3.
एक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखण्डन में किन गुणनखण्डों को सम्मिलित नहीं किया जाता है?
उत्तर-
1 और स्वयं संख्या को भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखण्डन में सम्मिलित नहीं किया जाता है।
प्रश्न 4.
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999
∴ 9999 = 3 x 3 x 11 x 101
प्रश्न 5.
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या = 10000
∴ 10000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5
प्रश्न 6.
1729 के सभी अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखण्डों में यदि कोई सम्बन्ध है तो लिखिए।
हल :
∴1729 = 7 x 13 x 19
स्पष्ट है कि दो क्रमागत गुणनखण्डों में 6 का अन्तर है।
प्रश्न 7.
तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। इस कथन को कुछ उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए।
हल :
तीन क्रमागत संख्याओं के गुणनफल
(i) 11 x 12 x 13 = 1716
गुणनफल के अंकों का योग = 1 + 7 + 1 + 6 = 15
(ii) 15 x 16 x 17 = 4080
गुणनफल के अंकों का योग = 4 + 0 + 8 + 0 = 12
(iii) 25 x 26 x 27 = 17550
गुणनफल के अंकों का योग = 1 + 7 + 5 + 5 + 0 = 18
(a) प्रत्येक गुणनफल में इकाई का अंक 6, 4 और 0 है अतः गुणनफल 2 से विभाज्य है।
(b) प्रत्येक गुणनफल के अंकों का योग 3 से विभाज्य है
∴2 और 3 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं इसलिए 2 x 3 = 6
प्रत्येक गुणनफल को विभाजित करेगा।
∴अतः तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है।
प्रश्न 8.
दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरण लेकर इस कथन का सत्यापन कीजिए।
हल :
माना कि विषम संख्याओं का योग निम्न है
(i) 211 + 213 = 424
(ii) 405 + 407 = 812
(iii) 541 + 543 = 1084
(iv) 101 + 103 = 204
योगों के दायें से इकाई और दहाई के दो अंक क्रमश: 24, 12, 48 और 04 हैं जो कि 4 से विभाज्य हैं।
अत: दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है।
प्रश्न 9.
निम्न में से किन व्यंजकों में अभाज्य गुणनखण्डन किए गए हैं :
(a) 24 = 2 x 3 x 4
(b) 56 = 1 x 7 x 2 x 2 x 2
(c) 70 = 2 x 5 x 7
(d) 54 = 2 x 3 x 9
हल :
(a) और (d) में क्रमशः 4 और 9 के अभाज्य गुणनखण्डन नहीं हैं।
∴(b) और (c) व्यंजकों में अभाज्य गुणनखण्डन किये गये हैं।
प्रश्न 10.
बिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि क्या 25110 संख्या 45 से विभाज्य है।
[संकेत : 5 और 9 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। दी हुई संख्या की 5 और 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।]
हल :
∵संख्या 25110 में इकाई के स्थान पर 0 है। अतः संख्या 25110, 5 से विभाज्य है।
पुनः संख्या के अंकों का योग = 2 + 5 + 1 + 1 + 0 = 9, जो कि 9 से विभाज्य है।
इसलिए संख्या 25110, 9 से विभाज्य है।
अतः संख्या 25110, 45 से विभाज्य है।
प्रश्न 11.
संख्या 18, 2 और 3 से विभाज्य है। यह 2 x 3 = 6 से भी विभाज्य है। इसी प्रकार एक संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि वह संख्या 4 x 6 = 24 से भी विभाज्य होगी। यदि नहीं, तो अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।
हल :
यह आवश्यक नहीं है कि जो संख्या 4 और 6 से विभाज्य होगी वह उनके गुणनफल 4 x 6 = 24 से भी विभाज्य होगी।
क्योंकि 4 और 6 सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।
संख्या 36, 4 और 6 दोनों से विभाज्य है, परन्तु संख्या 36 संख्या 24 से विभाज्य नहीं है।
प्रश्न 12.
मैं चार भिन्न-भिन्न अभाज्य गुणनखण्डों वाली सबसे छोटी संख्या हूँ। क्या आप मुझे ज्ञात कर सकते
हल :
चार भिन्न-भिन्न अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 हैं।
∴अभीष्ट संख्या = 2 x 3 x 5 x 7 = 210
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 68
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
निम्न का म. स. ज्ञात कीजिए :
(i) 24 और 36
(ii) 15, 25 और 30
(iii) 8 और 12
(iv) 12, 16 और 28
हल :
(i)
इस प्रकार 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
36 = 2 x 2 x 3 x 3
24 और 36 के सार्व गुणनखण्ड 2, 2 और 3 हैं।
अतः 24 और 36 का म. स. = 2 x 2 x 3 = 12
(ii) ∵15 = 3 x 5
25 = 5 x 5
30 = 2 x 3 x 5
∴ म. स. = 5
(iii) ∵8 = 2 x 2 x 2
12 = 2 x 2 x 3
∴म. स. = 2 x 2 =4
(iv) ∵12 = 2 x 2 x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2
28 = 2 x 2 x 7
∴म. स. = 2 x 2 = 4