Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1
प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:
(i) (x + 1)2 = 2(x – 3)
हल-
प्रश्नानुसार
(x + 1)2 = 2(x – 3)
या x2 + 1 + 2x = 2x – 6
या x2 + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
या x2 + 7 = 0
या x2 + 0x + 7 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
हल-
प्रश्नानुसार
x2 – 2x = (-2) (3 – x)
या x2 – 2x = -6 + 2x
या x2 – 2x + 6 – 2x = 0
या x2 – 4x + 6 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
हल-
प्रश्नानुसार
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
या x2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x – x – 3
या x2 – x – 2 = x2 + 2x – 3
या x2 – x – 2 – x2 – 2x + 3 = 0
या -3x + 1 = 0
जिसमें x2 का कोई पद नहीं है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
हल-
प्रश्नानुसार
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
या 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
या 2x2 – 5x – 3 – x2 – 5x = 0
या x2 – 10x – 3 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
हल-
प्रश्नानुसार
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
या 2x2 – 6x – x + 3 = x2 – x + 5x – 5
या 2x2 – 7x + 3 = x2 + 4x – 5
या 2x2 – 7x + 3 – x2 – 4x + 5 = 0
या x2 – 11x + 8 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
हल-
प्रश्नानुसार
x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
या x2 + 3x + 1 = x2 + 4 – 4x
या x2 + 3x + 1 – x2 – 4 + 4x = 0
या 7x – 3 = 0
जिसमें x2 का पद नहीं है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
हल-
प्रश्नानुसार
(x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
या x3 + (2)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2)2 = 2x3 – 2x
या x3 + 8 + 6x2 + 12x = 2x3 – 2x
या x3 + 8 + 6x2 + 12x – 2x3 + 2x = 0
या -x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0
यहाँ x की उच्चतम घात 3 है।
यह एक विघात समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
हल-
प्रश्नानुसार
x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
या x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – (2)3 + 3(x)2 (-2) + 3(x) (-2)2
या x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6x2 + 12x
या x3 – 4x2 – x + 1 – x + 8 + 6x2 – 12x = 0
या 2x2 – 13x + 9 = 0
जो कि ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए-
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
हल-
माना कि
आयताकार भूखण्ड की चौड़ाई = x m
आयताकार भूखण्ड की चौड़ाई = (2x + 1) m
आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = [x(2x + 1)] m2 = (2x2 + x) m2
प्रश्नानुसार 2x2 + x = 528
या 2x2 + x – 528 = 0
अतः द्विघात समीकरण 2x2 + x – 528 = 0
जहाँ x (मीटर में) भूखण्ड की चौड़ाई है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
हल-
माना कि x और x + 1 दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं।
पूर्णांकों का गुणनफल = x(x + 1) = x2 + x
प्रश्नानुसार x2 + x = 306
या x2 + x – 306 = 0
अतः दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में है-
x2 + x – 306 = 0
जहाँ x लघूत्तर पूर्णांक है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
हल-
माना किरोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
रोहन की माँ की आयु = (x + 26) वर्ष
3 वर्ष पश्चात्,
रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
रोहन की माँ की आयु = (x + 26 + 3) वर्ष = (x + 29) वर्ष
∴ उनका गुणनफल = (x + 3) (x + 29)
= x2 + 29x + 3x + 87
= x2 + 32x + 87
प्रश्नानुसार x2 + 32x + 87 = 360
या x2 + 32x + 87 – 360 = 0
या x2 + 32x – 273 = 0
अतः दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में है-
x2 + 32x – 273 = 0
जहाँ x (वर्षों में) रोहन की वर्तमान आयु है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल-
