Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2
प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए-
(i) x2 – 3x – 10 = 0
हल-
प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण
x2 – 3x – 10 = 0 ⇒ S = -3
या x2 – 5x + 2x – 10 = 0 ⇒ P = -10
या x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
या (x – 5)(x + 2) = 0
अर्थात् x – 5 = 0 या x + 2 = 0
x = 5 या x = -2
अतः, 5 और -2 दी गई द्विघात समीकरण के मूल हैं।
(ii) 2x2 + x – 6 = 0
हल-
प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण
2x2 + x – 6 = 0 ⇒ S = 1
या 2x2 + 4x – 3x – 6 = 0 ⇒ P = -6 × 2 = -12
या 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
या (x + 2) (2x – 3) = 0
अर्थात् x + 2 = 0 या 2x – 3 = 0
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
हल-
प्रश्नानुसार समीकरण
√2x2 + 7x + 5√2 = 0 ⇒ S = 7
या √2x2 + 2x + 5x + 5√2 = 0 ⇒ P = √2 × 5√2 = 10
या √2x(x + √2) + 5(x + √2) = 0
या (x + √2) (√2x + 5) = 0
अर्थात् x + √2 = 0 या √2x + 5 = 0
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
हल-
प्रश्नानुसार समीकरण है :
100x2 – 20x + 1 = 0 ⇒ S = -20
या 100x2 – 10x – 10x + 1 = 0 ⇒ P = 100 × 1 = 100
या 10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
या (10x – 1) (10x – 1) = 0
अर्थात् 10x – 1 = 0 या 10x – 1 = 0
प्रश्न 2.
उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए। इन समस्याओं का कथन नीचे दिया गया है :
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरम्भ में उनके पास कितने कंचे थे?
हल-
माना कि जॉन के पास कंचों की संख्या थी = x
तब जीवंती के कंचों की संख्या थी = 45 – x
जॉन के पास, 5 कंचे खो देने के बाद बचे कंचों की संख्या = x – 5
जीवंती के पास, 5 कंचों को खो देने के बाद बचे कंचों की संख्या = 45 – x – 5 = 40 – x
अतः, उनका गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x2 – 200 + 5x
= -x2 + 45x – 200
प्रश्नानुसार
-x2 + 45x – 200 = 124
या -x2 + 45x – 324 = 0 ⇒ S = -45
या x2 – 45x + 324 = 0 ⇒ P = 324
या x2 – 36x – 9x + 324 = 0
या x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
या (x – 36) (x – 9) = 0
अर्थात् x – 36 = 0 या x – 9 = 0
x = 36 या x = 9
∴ x = 36, 9
अतः कंचों की संख्या जो उनके पास आरम्भ में थी 36 और 9 या 9 और 36 है।
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है, प्रत्येक खिलौने का मूल्य (रुपयों में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रु. थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल-
माना कि उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x
इसलिए, उस दिन प्रत्येक खिलौने की निर्माण लागत (रुपयों में) = 55 – x
अतः, उस दिन कुल निर्माण लागत (रुपयों में) = x(55 – x)
प्रश्नानुसार
x(55 – x) = 750
या 55x – x2 = 750
या x2 + 55x – 750 = 0 ⇒ S = -33
या x2 – 55x + 750 = 0 ⇒ P = 750
या x2 – 30x – 25x + 750 = 0
या x(x – 30) – 25(x – 30) = 0
या (x – 30) (x – 25) = 0
अर्थात् x – 30 = 0 या x – 25 = 0
x = 30 या x = 25
∴ x = 30, 25
अतः, उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या 30 और 25 या 25 और 30 है।
प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल-
माना कि पहली संख्या = x
दूसरी संख्या = 27 – x
अतः उनका गुणनफल = x(27 – x) = 27x – x2
प्रश्नानुसार
27x – x2 = 182
या -x2 + 27x – 182 = 0 ⇒ S = -27
या x2 – 27x + 182 = 0 ⇒ P = 182
या x2 – 13x – 14x + 182 = 0
या x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
या (x – 13) (x – 14) = 0
अर्थात् x – 13 = 0 या x – 14 = 0
x = 13 या x = 14
∴ x = 13, 14
अतः, दो संख्याएँ 13 और 14 या 14 और 13 हैं।
प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल-
माना कि पहला धनात्मक पूर्णांक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णांक = x + 1
प्रश्नानुसार
(x)2 + (x + 1)2 = 365
या x2 + x2 + 1 + 2x = 365
या 2x2 + 2x + 1 – 365 = 0
या 2x2 + 2x – 364 = 0
या x2 + x – 182 = 0
या x2 + 14x – 13x – 182 = 0
या x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
या (x + 14) (x – 13) = 0
अर्थात् x + 14 = 0 या x – 13 = 0
x = -14 या x = 13
∵ हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए।
इसलिए x = -14 सम्भव नहीं है।
∴ x = 13
∴ पहला धनात्मक पूर्णांक = 13
और दूसरा धनात्मक पूर्णांक है = 13 + 1 = 14
अतः, दो अभीष्ट क्रमागत पूर्णांक 13 और 14 हैं।
प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
इसलिए समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) = (x – 7) cm
और समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13 cm ….(दिया है)
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
(आधार)2 + (लम्ब)2 = (कर्ण)2
(x)2 + (x – 7)2 = (13)2
या x2 + x2 + 49 – 14x = 169
या 2x2 – 14x + 49 – 169 = 0
या 2x2 – 14x – 120 = 0
या 2[x2 – 7x – 60] = 0
या x2 – 7x – 60 = 0 ⇒ S = -7
या x2 – 12x + 5x – 60 = 0 ⇒ P = -60
या x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
या (x – 12) (x + 5) = 0
अर्थात् x – 12 = 0 या x + 5 = 0
x = 12 या x = -5
∵ त्रिभुज की लम्बाई कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए x = -5 को छोड़ने पर
∴ x = 12
अतः, समकोण त्रिभुज का आधार = 12 cm
समकोण विभुज की ऊँचाई (लम्ब) = (12 – 7) = 5 cm
प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग का निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन निर्माण किये बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रु. थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि एक दिन में उद्योग द्वारा निर्मित बर्तनों की संख्या = x
प्रत्येक नग की निर्माण लागत = (2x + 3) रु.
∴ एक विशेष दिन की कुल निर्माण लागत = [x(2x + 3)] रु. = (2x2 + 3x) रु.
प्रश्नानुसार
2x2 + 3x = 90
या 2x2 + 3x – 90 = 0 ⇒ S = 3
या 2x2 – 12x + 15x – 90 = 0 ⇒ P = 2 × (-90) = -180
या 2x(x – 6) + 15(x – 6) = 0
या (x – 6) (2x + 15) = 0
अर्थात् x – 6 = 0 या 2x + 15 = 0
∴ x = 6
अत: विशेष दिन निर्मित नगों की संख्या = 6
और प्रत्येक नग की निर्माण लागत = [2 × 6 + 3] रु. = 15 रु.