Chapter 4 Determinants hindi

Chapter 4 Determinants

प्रश्नावली 4.1

प्रश्न 1.
मान ज्ञात कीजिए ।

हल–

प्रश्न 2.
मान ज्ञात कीजिए

हल–
(i)

(ii)

= (x² – x + 1)(x + 1) – (x + 1) (x – 1)
= (x + 1)[x² – x + 1 – x + 1]
= (x + 1)(x² – 2x + 2)
= x³ – 2x² + 2x + x² – 2x + 2
= x³ – x² + 2

प्रश्न 3.
यदि  तो दिखाइए कि |2A| = 4|A|
हल–
|A|= 1 x 2 – 4 x 2 = -6

प्रश्न 4.

यदि  हो तो दिखाइए कि |3A| = 27|A|

हल–

|A| = 1.(1 x 4 – 0 x 2) – 0 + 0 = 4

∴ बायाँ पक्ष = |3A| = 3 (3 x 12 – 0 x 6) – 0 + 0
= 108
= 27 x 4
= 27|A] = दायाँ पक्ष

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणिकों के मान ज्ञात कीजिए

हल–
(i) द्वितीय पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर,

प्रश्न 6.
यदि  , तो |A| ज्ञात कीजिए।
हल–
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर,

= [1 x (-9) – 4 x (-3)] – (1) [2x(-9) – 5x(-3)] + (-2)[2×4 – 5×1]
= 3 + 3 – 6
= 0

प्रश्न 7.
x के मान ज्ञात कीजिए।

हल–

प्रश्न 8.
यदि

हो तो x बराबर है
(A) 6
(B) ±6
(C) -6
(D) 0
हल–
दिया है,

दोनों ओर सारणिक का विस्तार करने पर,
x × x – 2 × 18 = 6 × 6 – 2 × 18
x² – 36 = 36 – 36
x² – 36 = 0
⇒ x² = 36
x = ±6
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्नावली 4.2

बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 को सिद्ध कीजिए

प्रश्न 1.

हल–
बायाँ पक्ष = ∆

∵ यहाँ दो स्तम्भ (C1 = C3) बराबर है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.

हल–
माना बायाँ पक्ष = ∆

∵ यहाँ पहले स्तम्भ C1 के सभी अवयव शून्य हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.

हल–
माना बायाँ पक्ष =

∵ यहाँ तीसरे स्तम्भ C3 के सभी अवयव शून्य हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 4.

हल–

∵ यहाँ प्रथम स्तम्भ तथा तृतीय स्तम्भ (C1 = C3) बराबर हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.

हल–
माना

R2 और R3 में से -1 उभयनिष्ठ लेने पर इति सिद्धम्

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके प्रश्न 6 से 14 तक को सिद्ध कीजिए

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–
(i)

प्रश्न 12.

हल–

प्रश्न 13.

हल–

प्रश्न 14.

हल–

प्रश्न 15.
यदि A एक 3×3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो |kA| का मान होगा
(A) k[A]
(B) k² |A|
(C) k³ |A|
(D) 3k|A |

हल –
| kA| को |A| के पद में व्यक्त करने पर

प्रश्न 16.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
(A) सारणिक एक वर्ग आव्यूह है।
(B) सारणिक एक आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
(C) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल–
हम जानते हैं कि प्रत्येक n क्रम के वर्ग आव्यूह A = [a_ij] जहाँ a_ij = A का (ij) वा अवयव है, को किसी व्यंजक या संख्या के साथ संबद्ध किया जा सकता है जिसे सारणिक कहते हैं।
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्नावली 4.3

प्रश्न 1.
दिए गए शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(i) (1, 0), (6, 0), 4, 3)
(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)
(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, – 8)

हल–
शीर्ष बिन्दुओं (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) से होकर जाने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु A(a, b + c), B (b, c + a) और c(c, a + b) संरेख हैं।
हल–
ज्ञात है, त्रिभुज के शीर्ष A (a, b + c), B(b, c + a) और C (c, a + b)

प्रश्न 3.
प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है। जहाँ शीर्ष बिन्दु निम्नलिखित हैं।
(i) (k, 0), 4, 0), (0, 2)
(ii) (-2, 0), (0, 4), (0, k)
हल–

प्रश्न 4.
(i) सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली रेखा को समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल–
(i) माना कोई बिन्दु (x, y) है।
इसलिए त्रिभुज के शीर्ष (x, y), (1, 2), (3,6) होंगे।

(ii) माना बिन्दुओं A(3, 1) और B(9, 3) को मिलाने वाली रेखा पर बिन्दु P(x, y) है। तब बिन्दु A, P और B संरेख हैं।
∴ क्षेत्रफल (∆APB) = 0

प्रश्न 5.
यदि शीर्ष (2,-6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो k का मान है|
(a) 12
(b) -2
(c) -12,-2
(d) 12,-2

हल–
दिया है, त्रिभुज के शीर्ष (2, -6), (5, 4) तथा (k, 4)

धनात्मक चिह्न लेने पर, 7 = 5 – k ⇒ k = 5 – 7 = – 2
ऋणात्मक चिह्न लेने पर, -7 = 5 – k ⇒ – 12 = – k ⇒ k = 12
अतः k = 12, -2
अत: विकल्प (d) सही है।

प्रश्नावली 4.4

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखिए।

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड ज्ञात कीजिए

हल–
(i) उपसारणिक M₁₁ = 3, M₁₂ = 0, M₂₁ = -4, M₂₂ = 2
तथा सहखण्ड A₁₁ = 3, A₁₂ = 0, A₂₁ = -(-4) = 4, A₂₂ = 2
(ii) उपसारणिक M₁₁ =d, M₁₂ = b, M₂₁ = c, M₂₂ = a
तथा सहखण्ड A₁₁ = d, A₁₂ = -b, A₂₁ = -c A₂₂ = a

प्रश्न 2.
निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड ज्ञात कीजिए

हल–

प्रश्न 3.
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके

का मान ज्ञात कीजिए।
हल–
दूसरी पंक्ति के सहखण्ड इस प्रकार होंगे

प्रश्न 4
तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके

का मान ज्ञात कीजिए।
हल–
तीसरे स्तम्भ के सहखण्ड इस प्रकार होंगे

∆ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃ A₂₃ + a₃₃ A₃₃
= yz(z – y) + zx(x – z) + xy (y – x)
= yz² – y²z + zx² – z²x + xy² – x²y
= zx² – x²y + xy² – z²x + yz² – y²z
= x²(z – y) + x(y – z)(y + z) + yz(z – y)
= (z – y)[x² – x(y + z) + yz]
= (z – y)[x² – xy – xz + yz]
= (z – y)[x(x – y) – z(x – y)]
= (z – y)(x – y)(x – z)
= (x – y)(y – z)(z – x)

प्रश्न 5
यदि

और a_ij का सहखण्ड A_ij हो तो Δ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है–
(a) a₁₁ A₃₁ + a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃
(b) a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₂₁ + a₁₃ A₃₁
(c) a₂₁ A₁₁ + a₂₂ A₁₂ + a₂₃ A₁₃
(d) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
हल–
∆ = किसी पंक्ति अथवा स्तम्भ के अवयवों तथा उनके संगत महखण्डों के गुणन का योग
C₁ स्तम्भ के अवयव (a₁₁, a₂₁, a₃₁)
इनके सहखण्ड A₁₁, A₂₁, A₃₁
⇒ ∆ = a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
अत: विकल्प (d) सही है।

प्रश्नावली 4.5

प्रश्न 1 और 2 में प्रत्येक आव्यूह का सहखण्डज (adjoint) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

हल–

प्रश्न 2.

हल–

प्रश्न 3 और 4 में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A = |A|.I है।

प्रश्न 3.

हल–

प्रश्न 4.

हल–

प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूहों के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो ) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5.

हल–

प्रश्न 6.

हल–

प्रश्न 7.

हल–

प्रश्न 8.

हल–

प्रश्न 9.

हल–

प्रश्न 10.

हल–

प्रश्न 11.

हल–

प्रश्न 12.

हल–

प्रश्न 13.
यदि  है तो दर्शाइए कि A² – 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल–

प्रश्न 14.
आव्यू  के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A² + aA + bI = 0 है।
हल–
प्रश्नानुसार, A² + aA + bI = 0

प्रश्न 15.

हल–

प्रश्न 16.

हल–

प्रश्न 17.
यदि A, 3×3 कोटि का आव्यूह है तो |adj A| का मान है|
(a) |A|
(b) |A|²
(c) |A|³
(d) 3|A|
हल–
चूँकि हम जानते हैं कि |adj A| = |A|^n-1 यहाँ n = 3
∴ |adj A| = |A|²
अत: विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 18.
यदि A कोटि 2 को व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A^-1) बराबर है
(a) det (A)
(b) 
(c) 1
(d) 0
हल–

प्रश्नावली 4.6

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 6 तक दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।

प्रश्न 1
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
हल–

प्रश्न 2
2x – y = 5

x + y = 4

हल–

प्रश्न 3
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
हल–

प्रश्न 4.
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
हल–

प्रश्न 5
3x – y – 2z = 2
2y – z = – 1
3x – 5y = 3

हल–

प्रश्न 6
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z = – 1
हल–

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 14 तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।

प्रश्न 7.
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
हल–
दिया हुआ समीकरण निकाय
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5

प्रश्न 8.
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
हल–
दिया हुआ समीकरण निकाय
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है अत: x = A^-1B

प्रश्न 9.
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
हल–

प्रश्न 10.
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
हल–

प्रश्न 11.
2x + y + z = 1
x – 2y – z = 
3y – 5z = 9
हल–

प्रश्न 12.
x – y + 2 = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2
हल–
दिया हुआ समीकरण निकाय
x – y + 2 = 4
2x + y – 3z = 0
x+ y + z = 2
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है अतः x = A^-1B

प्रश्न 13.
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + z = – 4
3x – y – 2z = 3
हल–

प्रश्न 14.
x – y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = – 5
2x – y + 3z = 12
हल–

प्रश्न 15.
यदि  है तो A^-1 ज्ञात कीजिए।
A^-1 का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए
2x – 3y + 5z = 11
3x + 2y – 4z = -5
x + y – 2z = -3
हल–

प्रश्न 16.
4 किग्रा प्याज, 3 किग्रा गेहूँ और 2 किग्रा चावल मूल्य Rs 60 है 2 किग्रा प्याज, 4 किग्रा गेहूँ और 6 किग्रा चावल का मूल्य Rs 90 है। 6 किग्रा प्याज, 2 किग्रा गेहूँ और 3 किग्रा चावल का मूल्य Rs 70 है। आव्यूह द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए।

हल–
माना प्याज का मूल्य Rs प्रतिकिग्रा = x
गेहूं का मूल्य Rs प्रतिकिग्रा = y
चावल को मूल्य Rs प्रतिकिग्रा = z
तब दिये गये प्रतिबन्धों के अनुसार,
4x + 3y + 2z = 60;
2x + 4y + 6z = 90;
6x + 2y + 3z = 70
इस समीकरण निकाय को AX = B के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है।