Chapter 4 Quadratic Equations.

प्रश्नावली 4.1

प्र. 1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = ( x – 1)(x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) 2 (x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
(viii) x3 – 4×2 – x + 1 = (x – 2)3



प्र. 2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है| क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है| हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है|
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है| हमेंपूर्णाकों को ज्ञात करना है|
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है|
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है| यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती| हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|



प्रश्नावली 4.2 (NCERT Page 85)

प्र. 1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघातसमीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2×2 ​+ x – 6 = 0
(iii) √2×2 + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2×2 – x + 1/8 = 0
(v) 100×2 – 20x + 1 = 0
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प्र. 2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए| (UPBoardSolutions.com)
(i) x2 ​- 45x + 324 = 0
(ii) x2 ​- 55x + 750 = 0

प्र. 3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो|
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प्र. 4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनकेवर्गों का योग 365 हो| 

प्र. 5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7cm कम है| यदिकर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

प्र. 6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है| एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी| यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए|
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प्रश्नावली 4.3 (NCERT Page 97)

प्र. 1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्वहो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए|
(i) 2×2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2×2 + x – 4 = 0
(iii) 4×2 +4 √3x + 3 = 0
(iv) 2×2 + x + 4 = 0


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प्र. 2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल,द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए|
(i) 2×2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2×2 + x – 4 = 0
(iii) 4×2 +4 √3x + 3 = 0
(iv) 2×2 + x + 4 = 0
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प्र. 3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
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प्र 4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षो में) का व्युत्क्रम और अब से5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

प्र 5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है| यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञातकीजिए|

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प्र 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से60 मीटर अधिक लंबा है| यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
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प्र 7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है| छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है| दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए|

प्र 8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है| यदि यह चाल5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती| रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए|

प्र० 9. दो पानी के नल एक-साथ हौज को भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।


प्र० 10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल,सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए|


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प्र० 11 दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है| यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
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प्रश्नावली 4.4 (NCERT Page 100)

प्र० 1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए| यदि मूलों काअस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2×2 – 3x + 5 = 0
(ii) 3×2 ​ – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2×2 + 6x + 3 = 0
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प्र० 2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञातकीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों|
(i) 2×2 + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2 ) + 6 = 0
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प्र० 3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए|

प्र० 4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञातकीजिए दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था|

प्र० 5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400m2 के एक पार्क को बनाना संभव है ?यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए|
हल : माना पार्क का लंबाई = x m
परिमाप = 80 m