Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का – किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया 15 रु. है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया 8 रु. है।
हल-
माना कि टैक्सी का nवें किलोमीटर का किराया a_n से व्यक्त किया जाता है। अतः प्रश्नानुसार
a₁ = 15, a₂ = 15 + 8 = 23, a₃ = 23 + 8 = 31 …….
अब a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8
a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8
यहाँ a₃ – a₂ = a₂ – a₁ = 8
अतः दी गई स्थिति A.P. के रूप की है।

(ii) किसी बेलन (Cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 1/4 भाग बाहर निकाल देता है।
हल-
माना कि एक बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा को a_n से व्यक्त किया जाता है।
प्रश्नानुसार

यहाँ a₃ – a₂ ≠ a₂ – a₁
∴ दी गई स्थिति A.P. का रूप नहीं है।

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रु. है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत 50 रु. बढ़ती जाती है।
हल-
माना कि एक कुआँ खोदने के nवें मीटर की लागत को a_n से व्यक्त किया जाता है।
प्रश्नानुसार a₁ = 150 रु.
a₂ = (150 + 50) रु. = 200 रु.
a₃ = (200 + 50) रु. = 250 रु.
और आगे भी अब a₃ – a₂ = (250 – 200) रु. = 50 रु.
a₂ – a₁ = (200 – 150) रु. = 50 रु.
यहाँ a₃ – a₂ = a₂ – a₁ = 50
∴ दी गई स्थिति A.P. का ही रूप है।

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रु. की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल-
माना कि nवें वर्ष के मिश्रधन को an से व्यक्त किया जाता है।
प्रश्नानुसार a₁ = 10,000 रु.

= 10,800 + 864 रु.
= 11,640 रु. और इसी तरह आगे भी
अब a₃ – a₂ = (11,640 – 10,800) रु. = 840 रु.
a₂ – a₁ = (10,800 – 10,000) रु. = 800 रु.
यहाँ a₃ – a₂ ≠ a₂ – a₁
∴ दी गई स्थिति A.P. के रूप की नहीं है।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अन्तर d निम्नलिखित है :
(i) a = 10, d = 10
हल-
प्रश्नानुसार प्रथम पद = a = 10
और सार्व अन्तर = d = 10
∴ a₁ = a = 10
a₂ = a + d
= 10 + 10
= 20
a₃ = a + 2d
= 10 + 2 × 10
= 10 + 20
= 30
a₄ = a + 3d
= 10 + 3 × 10
= 10 + 30
= 40
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं-
10, 20, 30, 40……

(ii) a = -2, d = 0
हल-
प्रश्नानुसार प्रथम पद = a = -2
और सार्व अन्तर = d = 0
∴ a₁ = a = -2
a₂ = a + d
= -2 + 0
= -2
a₃ = a + 2d
= -2 + 2 × 0
= -2
a₄ = a + 3d
= -2 + 3 × 0
= -2
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं-
-2, -2, -2, -2, ……

(iii) a = 4, d = -3
हल-
प्रश्नानुसार प्रथम पद = a = 4
और सार्व अन्तर = d = -3
∴ a₁ = a = 4
a₂ = a + d
= 4 – 3
= 1
a₃ = a + 2d
= 4 + 2(-3)
= 4 – 6
= -2
a₄ = a + 3d
= 4 + 3(-3)
= 4 – 9
= -5
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं-
4, 1, -2, -5, ……..

अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं-

(v) a = -1.25, d = -0.25
हल-
प्रश्नानुसार प्रथम पद = a = -1.25
और सार्व अन्तर = d = -0.25
∴ a₁ = a = -1.25
a₂ = a + d
= -1.25 – 0.25
= -1.50
a₃ = a + 2d
= -1.25 + 2(-0.25)
= -1.25 – 0.50
= -1.75
a₄ = a + 3d
= -1.25 + 3(-0.25)
= -1.25 – 0.75
= -2
अतः, A.P. के प्रथम चार पद हैं-
-1.25, -1.50, -1.75, -2, …….

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अन्तर लिखिए-
(i) 3, 1, -1, -3, ……
हल-
प्रश्नानुसार A.P. है, 3, 1, -1, -3, ……
यहाँ a₁ = 3, a₂ = 1, a₃ = -1, a₄ = -3 ……
प्रथम पद = a₁ = 3
अब, a₂ – a₁ = 1 – 3 = -2
a₃ – a₂ = -1 – 1 = -2
a₄ – a₃ = -3 + 1 = -2
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = -2
अतः, सार्व अन्तर = -2 और प्रथम पद = 3

(ii) -5, -1, 3, 7, ……
हल-
प्रश्नानुसार A.P. है- -5, -1, 3, 7, ……..
यहाँ a₁ = -5, a₂ = -1, a₃ = 3, a₄ = 7
प्रथम पद = a₁ = -5
अब, a₂ – a₁ = -1 + 5 = 4
a₃ – a₂ = 3 + 1 = 4
a₄ – a₃ = 7 – 3 = 4
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = 4
अतः, सार्व अन्तर = 4 और प्रथम पद = -5

हल-

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …….
हल-
प्रश्नानुसार A.P. है- 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ……
यहाँ a₁ = 0.6, a₂ = 1.7, a₃ = 2.8, a₄ = 3.9
प्रथम पद = a₁ = 0.6
अब, a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
a₃ – a₂ = 2.8 – 1.7 = 1.1
a₄ – a₃ = 3.9 – 2.8 = 1.1
अतः, सार्व अन्तर = 1.1 और प्रथम पद = 0.6

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. है? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए-
(i) 2, 4, 8, 16, ……
हल-
दिए गए पद हैं : 2, 4, 8, 16, ….
यहाँ a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
∴ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः, दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।

अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 4, 9292 और 5 हैं।

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, …….
हल-
दिए गए पद हैं: -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ……
यहाँ a₁ = -1.2, a₂ = -3.2, a₃ = -5.2, a₄ = -7.2
a₂ – a₁ = -3.2 + 1.2 = -2
a₃ – a₂ = -5.2 + 3.2 = -2
a₄ – a₃ = -7.2 + 5.2 = -2
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = -2
∴ सार्व अन्तर = d = -2
अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।
अब, a₅ = a + 4d
= -1.2 + 4(-2)
= -1.2 – 8
= -9.2
a₆ = a + 5d
= -1.2 + 5(-2)
= -1.2 – 10
= -11.2
a₇ = a + 6d
= -1.2 + 6(-2)
= -1.2 – 12
= -13.2
अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद -9.2, -11.2, -13.2 हैं।

(iv) -10, -6, -2, 2, ……..
हल-
दिए गए पद हैं : -10, -6, -2, 2, …..
यहाँ a₁ = -10, a₂ = -6, a₃ = -2, a₄ = 2
a₂ – a₁ = -6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = -2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 + 2 = 4
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = 4
अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।
∴ सार्व अन्तर = d = 4
अब, a₅ = a + 4d
= -10 + 4(4)
= -10 + 16
= 6
a₆ = a + 5d
= -10 + 5(4)
= -10 + 20
= 10
a₇ = a + 6d
= -10 + 6(4)
= -10 + 24
= 14
अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 6, 10, 14 हैं।

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2 , 3 + 3√2, …….
हल-
दिए गए पद हैं : 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, …….
यहाँ a₁ = 3, a₂ = 3 + √2, a₃ = 3 + 2√2, a₄ = 3 + 3√2
a₂ – a₁ = 3 + √2 – 3 = √2
a₃ – a₂ = 3 + 2√2 – (3 + √2)
= 3 + 2√2 – 3 – √2
= √2
a₄ – a₃ = 3 + 3√2 – (3 + 2√2)
= 3 + 3√2 – 3 – 2√2
= 2
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = √2
अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।
∴ सार्व अन्तर = d = √2
अब, a₅ = a + 4d
= 3 + 4(√2)
= 3 + 4√2
a₆ = a + 5d = 3 + 5√2
a₇ = a + 6d = 3 + 6√2
अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 3 + 4√2, 3 + 5√2, 3 + 6√2 हैं।

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …….
हल-
दिए गए पद हैं : 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …….
यहाँ a₁ = 0.2, a₂ = 0.22, a₃ = 0.222, a₄ = 0.2222
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
∴ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

(vii) 0, -4, -8, -12, …….
हल-
दिए गए पद हैं : 0, -4, -8, -12, …….
यहाँ a₁ = 0, a₂ = -4, a₃ = -8, a₄ = -12
a₂ – a₁ = -4 – 0 = -4
a₃ – a₂ = -8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = -12 + 8 = -4
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃
अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।
∴ सार्व अन्तर = d = -4
अब, a₅ = a + 4d = 0 + 4(-4) = -16
a₆ = a + 5d = 0 + 5(-4) = -20
a₇ = a + 6d = 0 + 6(-4) = -24
अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद -16, -20 और -24 हैं।

हल-

अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।
∴ सार्व अन्तर = d = 0

(ix) 1, 3, 9, 27, …….
हल-
दिए गए पद हैं : 1, 3, 9, 27, …….
यहाँ a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 9, a₄ = 27
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
∴ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
∴ दिए गए पद A.P. नहीं हैं।

(x) a, 2a, 3a, 4a, …….
हल-
दिए गए पद हैं : a, 2a, 3a, 4a, …..
यहाँ a₁ = a, a₂ = 2a, a₃ = 3a, a₄ = 4a
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = a
अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।
∴ सार्व अन्तर = d = a
अब, a₅ = a + 4d
= a + 4(a)
= a + 4a
= 5a
a₆ = a + 5d
= a + 5a
= 6a
a₇ = a + 6d
= a + 6a
= 7a
अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 5a, 6a, 7a

(xi) a, a², a³, a⁴, ……..
हल-
दिए गए पद हैं : a, a², a³, a⁴, …..
यहाँ a₁ = a, a₂ = a², a₃ = a³, a₄ = a⁴
a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)
∴ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

(xii) √2, √8, √18, √32, …….
हल-
दिए गए पद हैं : √2 , √8, √18, √32, …..
यहाँ a₁ = √2, a₂ = √8, a₃ = √18, a₄ = √32
या a₁ = √2, a₂ = 2√2, a₃ = 3√2, a₄ = 4√2
a₂ – a₁ = 2√2 – √2 = √2
a₃ – a₂ = 3√2 – 2√2 = √2
a₄ – a₃ = 4√2 – 3√2 = √2
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = √2
अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।
∴ सार्व अन्तर = d = √2
अब, a₅ = a + 4d
= √2 + 4√2
= 5√2
a₆ = a + 5d
= √2 + 5√2
= 6√2
a₇ = a + 6d
= √2 + 6√2
= 7√2
अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 5√2 , 6√2 और 7√2 हैं।

(xiii) √3, √6, √9, √12, ……..
हल-
दिए गए पद हैं : √3, √6, √9, √12 , ……
यहाँ a₁ = √3, a₂ = √6, a₃ = √9, a₄ = √12
या a₁ = √3, a₂ = √6, a₃ = 3, a₄ = 2√3
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
अतः, a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।
∴ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. नहीं है।

(xiv) 1², 3², 5², 7², ……..
हल-
दिए गए पद हैं : 1², 3², 5², 7², ………
यहाँ a₁ = 1², a₂ = 3², a₃ = 5², a₄ = 7²
या a₁ = 1, a₂ = 9, a₃ = 25, a₄ = 49
a₂ – a₁ = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 25 – 9 = 16
∴ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
∴ दिए गए पद एक A.P. नहीं हैं।

(xv) 1², 5², 7², 73, ……..
हल-
दिए गए पद हैं : 1², 5², 7², 73, ……..
यहाँ a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 7³
या a₁ = 1, a₂ = 25, a₃ = 49, a₄ = 73
a₂ – a₁ = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 73 – 49 = 24
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = 24
अतः, दी गई संख्याओं की सूची A.P. है।
∴ सार्व अन्तर = d = 24
अब, a₅ = a + 4d
= 1 + 4(24)
= 1 + 96
= 97
a₆ = a + 5d
= 1 + 5(24)
= 1 + 120
= 121
a₇ = a + 6d
= 1 + 6(24)
= 1 + 144
= 145
अतः दिये गये अनुक्रम के अगले तीन पद 97, 121 और 145 हैं।